高考数学试题分项版解析专题22立体几何中的角理.doc

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1、1 / 20【2019【2019 最新最新】精选高考数学试题分项版解析专题精选高考数学试题分项版解析专题 2222 立体几何立体几何中的角理中的角理1.【2017 课标 II，理 10】已知直三棱柱中， ， ， ，则异面直线与所成角的余弦值为（）111CCAA C120A2A 1CCC11A1CA B C D3 215 510 53 3【答案】C【解析】试题分析：如图所示，补成四棱柱 ,1111ABCDABC D则所求角为20 1111,2,212 2 1 cos603,5BC DBCBDC DAB 因此，故选 C。1210cos55BC D【考点】异面直线所成的角；余弦定理；补形的应用2.【

2、2017 浙江，9】如图，已知正四面体 DABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R 分别为 AB，BC，CA 上的点，AP=PB，分别记二面角 DPRQ，DPQR，DQRP 的平面角为 ，则2BQCR QCRAAnnn所以直线与平面所成角的正弦值为.MCBDP2 6 9【考点】1.线线，线面的位置关系；2.向量法.13.【2017 天津，理 17】如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC，.点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2.90BAC（）求证：MN平面 BDE；（）求二面角 C-EM-N 的正弦值；（）已知点 H

3、 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为，求线段 AH 的长.7 21【答案】 （1）证明见解析（2） （3）或105 218 51 2试题解析：如图，以 A 为原点，分别以， ，方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得AB ACAP A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（0，4，0） ，P（0，0，4） ，D（0，0，2） ，E（0，2，2） ，M（0，0，1） ，N（1，2，0）.11 / 20（）易知为平面 CEM 的一个法向量.设为平面 EMN 的法向量，则，因为， ，所以.不妨设，可得.1(1,0,0)n2( , , )x y z

4、n2200EMMN nn(0, 2, 1)EM (1,2, 1)MN 2020yzxyz 1y 2( 4,1, 2) n因此有，于是.12 12 124cos,|21 nnn n|nn12105sin,21n n所以，二面角 CEMN 的正弦值为.105 21（）依题意，设 AH=h（） ，则 H（0，0，h） ，进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.04h( 1, 2, )NHh ( 2,2,2)BE 2|22|7|cos,|21|52 3NH BEhNH BENHBEh 2102180hh8 5h 1 2h 所以，线段 AH 的长为或.1 2【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成

5、的角14.【2017 浙江，19】（本题满分 15 分）如图，已知四棱锥 PABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点ADBC/（）证明：平面 PAB；/CE（）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值【答案】 （）见解析；（） 82【解析】试题分析：（）取 PA 中点 F，构造平行四边形 BCEF，可求证；12 / 20（）由题取取 BC，AD 的中点为 M，N ，可得 AD平面 PBN，即 BC平面 PBN，过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连结 MH可知 MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以QMH

6、是直线 CE 与平面 PBC 所成的角依此可在 RtMQH 中，求QMH 的正弦值试题解析：（）如图，设 PA 中点为 F，连结 EF，FB因为 E，F 分别为 PD，PA 中点，所以且，ADEF /ADEF21又因为， ，所以且，ADBC/ADBC21BCEF /BCEF 即四边形 BCEF 为平行四边形，所以，BFCE /因此平面 PAB/CE所以 AD平面 PBN，由 BC/AD 得 BC平面 PBN，那么平面 PBC平面 PBN过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连结 MHMH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角设 CD=1在PC

7、D 中，由 PC=2，CD=1，PD=得 CE=，22在PBN 中，由 PN=BN=1，PB=得 QH=，341在 RtMQH 中，QH=，MQ=，412所以 sinQMH=，所以直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是82 8213 / 20【考点】证明线面平行，求线面角15.【2017 江苏，22】如图, 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1平面 ABCD,且 AB=AD=2,AA1=,3120BAD.（1）求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值；（2）求二面角 B-A1D-A 的正弦值.【答案】 （1） （2）1 77 4【解析】解：在平面 ABCD 内，过点

8、 A 作 AEAD，交 BC 于点 E.因为 AA1 平面 ABCD，所以 AA1AE，AA1AD. 如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系 A-xyz.1,AE AD AA 因为 AB=AD=2，AA1=，.3120BAD则.11(0,0,0), ( 3, 1,0),(0,2,0),( 3,0,0),(0,0, 3),( 3,1, 3)ABDEAC(1) ，11( 3, 1,3),( 3,1, 3)ABAC 则.11 11 11( 3, 1,3) ( 3,1, 3)1cos,77|AB ACAB ACABAC 因此异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值为.1 7(2)平面 A1DA 的

9、一个法向量为.( 3,0,0)AE 设为平面 BA1D 的一个法向量，( , , )x y zm又，1( 3, 1,3),(3,3,0)ABBD 则即10,0,ABBD mm330,330.xyzxy不妨取 x=3，则，3,2yz所以为平面 BA1D 的一个法向量，(3, 3,2)m14 / 20从而,( 3,0,0) (3, 3,2)3cos,4|34AEAEAE mmm设二面角 B-A1D-A 的大小为，则.3|cos|4因为，所以.0, 27sin1 cos4因此二面角 B-A1D-A 的正弦值为.7 4量；第四，破“应用公式关”.16.【2015 高考天津，理 17】 （本小题满分 1

10、3 分）如图，在四棱柱中，侧棱,1111ABCDABC D-1A AABCD 底面ABAC1AB =12,5ACAAADCD=,且点 M 和 N 分别为的中点.11CDBD和(I)求证：平面；/MNABCD(II)求二面角的正弦值；11DACB-(III)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长E11ABNEABCD1 31AE【答案】(I)见解析； (II)； (III).3 10 1072【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，A(0,0,0), (0,1,0),(2,0,0),(1, 2,0)ABCD，又因为分别为和的中点，得.,M N1BC1D D11,1

11、,(1, 2,1)2MN(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量， ，(0,0,1)n ABCD50,02MN 由此可得， ，又因为直线平面，所以平面0MN n MN ABCD/MNABCD(II) ，设为平面的法向量，则1(1, 2,2),(2,0,0)ADAC 1( , , )nx y z1ACD15 / 2011100nADnAC ，即，不妨设，可得，22020xyzx 1z 1(0,1,1)n 设为平面的一个法向量，则，又，得2( , , )nx y z 1ACB21200nABnAC 1(0,1,2)AB 20 20yz x ，不妨设，可得1z 2(0, 2,1)n 因此有，于是，

12、12 121210cos,10nnn nnn 123 10sin,10n n 所以二面角的正弦值为.11DACB3 10 10(III)依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得111AEAB 0,1(0, ,2)E( 1,2,1)NE (0,0,1)n ABCD22211cos,3( 1)(2)1NE nNE nNEn ，整理得，2430又因为，解得，0,172所以线段的长为.1AE7217.【2016 高考新课标 1 卷】 （本小题满分为 12 分）如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,且二面角D-AF-E 与二面角 C

13、-BE-F 都是90AFD60（I）证明：平面 ABEF 平面 EFDC；（II）求二面角 E-BC-A 的余弦值【答案】 （I）见解析（II）2 19 19【解析】试题解析：（I）由已知可得,所以平面FDFA FFA FA FDC又平面,故平面平面FA FAFA FDC16 / 20（II）过作,垂足为,由（I）知平面DDGF GDG FA以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系GGF xGF Gxyz由（I）知为二面角的平面角,故,则,可得,DFDFA DF60 DF2DG31,4,0A3,4,0 3,0,0 D 0,0, 3由已知,所以平面/ FA /AF

14、DC又平面平面,故,CDAFDCDC/CDACD/ F由,可得平面,所以为二面角的平面角,/ F A FDCC F CFC F60 从而可得C2,0, 3所以,C1,0, 3 0,4,0 C3, 4, 3A 4,0,0A 设是平面的法向量,则, ,nx y zC C00nn ,即,3040xzy所以可取3,0,3n 设是平面的法向量,则,mCDAC00mmAA 同理可取则0, 3,4m 2 19cos,19n mn mn m 故二面角的余弦值为CA2 19 19考点：垂直问题的证明及空间向量的应用18. 【2014 天津，理 17】如图，在四棱锥中，底面， ， ， ， ，点为棱的中点 PABC

15、D-PAABCDADAB/ABDC2ADDCAP=1AB =EPC（）证明：；BEDC（）求直线与平面所成角的正弦值；BEPBD（）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值FPCBFAC17 / 20FABP-【答案】 （）详见试题分析；（）直线与平面所成角的正弦值为；（） BEPBD3 33 10 10【解析】试题分析：（）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明。也可以利用综合法：要证，由于是异面直线，可将问题转化为证明线面垂直。由于点为棱的中点，可以先取中点，连结，从而可证得。由线面垂直的判定定理易证平面，从而，最后证得；（）向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直线与平面所成角的正弦

16、值综合法：在（I）的基础上，可BEDCBEDC,BE DCEPCPDMAM/BEAMCD PADDCAMBEDCPBDsincos,n BEn BE nBE q= BEPBDzyxPEDCBA（）向量， ，故 ()0,1,1BE = ()2,0,0DC =0BE DC= BEDC18 / 20（）向量， 设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量于是有，直线与平面所成角的正弦值为()1,2,0BD = - ()1,0,2PB =- (), ,nx y z=PBD0,0,n BDn PB= 20,20.xyxz -+=-= 1y =()2,1,1n =PBD23cos,362n BEn

17、 BE nBE= BEPBD3 3（）向量， ， ， 由点在棱上，设， ，故，由，得，因此， ，解得，即设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量取平面的法向量，则易知，二面角是锐角，其余弦值为()1,2,0BC = ()2,2,2CP = - ()2,2,0AC =()1,0,0AB = FPCCFCPl= 01l()12 ,22 ,2BFBCCFBCCPllll=+=+=- BFAC0BF AC= ()()2 122 220ll-+-=3 4l=1 1 3,2 2 2BF= - ()1, ,nx y z=FAB110,0,nABnBF= 0, 1130.222xxyz=-+=1z

18、 =()10,3,1n =-FABABP()20,1,0n = 12 121133 10cos,10101n nn n nn-= - FABP-3 10 10（方法二） （）如图，取中点，连结， 由于分别为的中点，故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，PDMEMAM,E M,PC PD/EMDC1 2EMDC=/EMABEMAB=ABEM/BEAM（）如图，在中，过点作交于点底面，故底面，从而又，得平面，因此在底面内，PACDF/FHPAACHPAABCDFH ABCDFHACBFACAC FHBACBHABCD可得，从而在平面内，作交于点，于是由于，故，四点共面由， ，得平面，故，

19、为二面角的平面角在中， ， ， ，由余弦定理可得， 二面角的斜率值为3CHHA=3CFFP=PDC/FGDCPDG19 / 203DGGP=/DCAB/GFAB, ,A B F GABPAABADAB PADABAGPAGFABP-PAGD2PA=12 42PGPD=45APG=10 2AG =3os10 0c1PAG=FABP-3 10 10考点：1空间两条直线的位置关系、直线与平面位置关系；2二面角、直线与平面所成角的计算19.【2016 高考新课标 3 理数】如图，四棱锥中，地面， ， ， ，为线段上一点， ，为的中点PABCPAABCDADBCA3ABADAC4PABCMAD2AMMD

20、NPC（I）证明平面；MNAPAB（II）求直线与平面所成角的正弦值.ANPMN【答案】 （）见解析；（） 8 5 25【解析】试题解析：（）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.232ADAMBPTTNAT,NPCBCTN /221BCTN又，故，四边形为平行四边形，于是.BCAD/TN AMAAMNTATMN /因为平面，平面，所以平面.ATPABMNPAB/MNPAB（）取的中点，连结，由得，从而，且.BCEAEACAB BCAE ADAE 5)2(2222BCABBEABAE以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，AAE xxyzA由题意知， ， ， ， ，)4 , 0 , 0(P)0 , 2 , 0(M)0 , 2 , 5(C)2 , 1 ,25(N(0,2, 4)PM ， ，.)2, 1 ,25(PN)2 , 1 ,25(AN20 / 20设为平面的法向量，则，即，可取，( , , )nx y z PMN 00PNnPMn0225042zyxzx (0,2,1)n 于是.|8 5|cos,|25|n ANn ANnAN 考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积