高等数学同济大学第六版总复习六答案.pdf

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1、总 习 题 六 1 一金属棒长 3m 离棒左端 xm 处的线密度为 (kg/m)问 x 为何值时 0 x一段的质量为全棒质量的一半?解 x 应满足 因为 所以 (m)2 求由曲线 asin a(cossin)(a0)所围图形公共部分的面积 解 3 设抛物线 通过点(0 0)且当 x0 1时 y0 试确定 a、b、c 的值 使得抛物线 与直线 x1 y0 所围图形的面积为 且使该图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积最小 解 因为抛物线 通过点(0 0)所以 c0 从而 抛物线 与直线 x1 y0 所围图形的面积为 令 得 该图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为 令 得 于是 b2 4 求由曲线

2、 与直线 x4 x 轴所围图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积 解 所求旋转体的体积为 5 求圆盘 绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积 解 6 抛物线 被圆 所需截下的有限部分的弧长 解 由 解得抛物线与圆的两个交点为 于是所求的弧长为 7 半径为 r 的球沉入水中 球的上部与水面相切 球的比重与水相同 现将球从水中取出 需作多少功?解 建立坐标系如图 将球从水中取出时 球的各点上升的高度均为 2r 在 x 处取一厚度为 dx 的薄片 在将球从水中取出的过程中 薄片在水下上升的高度为 rx 在水上上升的高度为 rx 在水下对薄片所做的功为零 在水上对薄片所做的功为 对球所做的功为 8 边长为 a 和 b 的矩形薄板 与液面成?角斜沉于液体内 长边平行于液面而位于深 h 处 设 ab 液体的比重为 试求薄板每面所受的压力 解 在水面上建立 x 轴 使长边与 x 轴在同一垂面上 长边的上端点与原点对应 长边在 x 轴上的投影区间为0 bcos 在 x 处 x 轴到薄板的距离为 hxtan 压力元素为 薄板各面所受到的压力为 9 设星形线 上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方 在原点 O 处有一单位质点 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力 解 取弧微分 ds 为质点 则其质量为 其中 设所求的引力在 x 轴、y 轴上的投影分别为 Fx、Fy 则有 所以