平面向量基本定理及其坐标表示考点解读.pdf

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1、1/5 基础梳理 1平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理 定理：如果 e1和 e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 a，存在唯一的一对实数 a1，a2，使 aa1e1a2e2.其中，不共线向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2，a1e1a2e2叫做向量 a 关于基底e1，e2的分解式(2)平面向量的正交分解 如果基底的两个基向量 e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解(3)平面向量的坐标表示 在直角坐标系 xOy 内，分别取与 x 轴和 y 轴方向相同的两个单位向量 e1，e2，这时，就在坐标

2、平面内建立了一个正交基底e1，e2，e1，e2分别是与 x 轴和 y 轴同方向的单位向量，这个基底也叫做直角坐标系 xOy 的基底 在坐标平面 xOy 内，任作一向量ABa，由平面向量基本定理知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得 aa1e1a2e2，(a1，a2)就是向量 a 在基底e1，e2下的坐标，即 a(a1，a2)，显然，0(0,0)，e1(1,0)，e2(0,1)在直角坐标系中，一点 A 的位置被点 A 的位置向量OA所唯一确定设 A(x，y)，则OAxe1ye2(x，y)2直线 l 的向量参数方程式 若 A，B 是直线 l 上任意两点，O 是 l 外一点，则对直线 l 上任

3、意一点 P，一定存在唯一的实数 t，使OP(1t)OAtOB，并且满足式的点 P 一定在直线 l 上，向量等式叫做直线 l 的向量参数方程 3平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算：若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|x21y21.(2)向量坐标的求法：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，|AB|x1x22y1y22.(3)平面向量共线与垂直的坐标表示：设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，若 abx1y2x2y10；若 abx1x2y1y20.一个区别 向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐

4、标系中，以原点为起点的向量OAa，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点 A(x，y)，向量 aOA(x，y)当平面向量OA平行移动到O1A1时，向量不变，即O1A1OA(x，y)，但O1A1的起点 O1和终点 A1的坐标都发生了变化 两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息(2)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2有可能等于 0，所以应表示为 x1y2x2y10.2/5

5、 双基自测 1(人教 B 版教材习题改编)已知 a1a2an0，且 an(3,4)，则 a1a2an1的坐标为()资料个人收集整理，勿做商业用途 A(4,3)B(4，3)资料个人收集整理，勿做商业用途 C(3，4)D(3,4)解析 a1a2an1an(3，4)答案 C 2若向量 a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则 c()A3ab B3ab Ca3b Da3b资料个人收集整理，勿做商业用途 解析 设 cxayb，则 xy4，xy2，x3，y1.资料个人收集整理，勿做商业用途 c3ab.答案 B 3(2012郑州月考)设向量 a(m,1)，b(1，m)，如果 a 与 b 共线且方向相反，

6、则 m 的值为()资料个人收集整理，勿做商业用途 A1 B1 C2 D2资料个人收集整理，勿做商业用途 解析 设 ab(0)，即 m 且 1m.解得 m1，由于 0，m1.答案 A 4设向量 a(1，3)，b(2,4)，若表示向量 4a、3b2a、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c()资料个人收集整理，勿做商业用途 A(4,6)B(4，6)C(4，6)D(4,6)资料个人收集整理，勿做商业用途 解析 设 c(x，y)，则 4a(3b2a)c0，462x0，12126y0，x4，y6.资料个人收集整理，勿做商业用途 答案 C 5已知向量 a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(

7、ab)c，则 m_.资料个人收集整理，勿做商业用途 解析 ab(1，m1)(ab)c，2(1)(m1)0，m1.答案 1 考向一 平面向量基本定理的应用 【例 1】(2012南京质检)如图所示，在ABC 中，H 为 BC 上异于 B，C 的任一点，M 为 AH 的中点，若AMABAC，则 _.资料个人收集整理，勿做商业用途 审题视点 由 B，H，C 三点共线可用向量AB，AC来表示AH.资料个人收集整理，勿做商业用3/5 途 解析 由 B，H，C 三点共线，可令AHxAB(1x)AC，又 M 是 AH 的中点，所以AM12AH12xAB12(1x)AC，又AMABAC.所以 12x12(1x)

8、12.资料个人收集整理，勿做商业用途 答案 12 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用 当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的资料个人收集整理，勿做商业用途【训练 1】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若ADxAByAC，则 x_，y_.资料个人收集整理，勿做商业用途 解析 以 AB 所在直线为 x 轴，以 A 为原点建立平面直角坐标系如图，令 AB2，则AB(2,0)，AC(0,2)，过 D 作 DFAB 交 AB 的延长线于 F，由已知得DFBF 3，则AD(2 3，3)资料个人收集整理，勿

9、做商业用途 ADxAByAC，(2 3，3)(2x,2y)资料个人收集整理，勿做商业用途 即有 2 32x，32y，解得 x132，y32.资料个人收集整理，勿做商业用途 另解：ADAFFD132AB32AC，资料个人收集整理，勿做商业用途 所以 x132，y32.答案 132 32 考向二 平面向量的坐标运算【例 2】(2011合肥模拟)已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且CM3CA，CN2CB.求 M，N 的坐标和MN.资料个人收集整理，勿做商业用途 审题视点 求CA，CB的坐标，根据已知条件列方程组求 M，N.资料个人收集整理，勿做商业用途 解 A(2,4)，B(3，1)，

10、C(3，4)，CA(1,8)，CB(6,3)资料个人收集整理，勿做商业用途 CM3CA3(1,8)(3,24)，CN2CB2(6,3)(12,6)资料个人收集整理，勿做商业用途 设 M(x，y)，则CM(x3，y4)4/5 x33，y424，得 x0，y20.M(0,20)资料个人收集整理，勿做商业用途 同理可得 N(9,2)，MN(90,220)(9，18)资料个人收集整理，勿做商业用途 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标资料个人收集整理，勿做商业用途

11、【训练 2】在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3)，则BD()资料个人收集整理，勿做商业用途 A(2，4)B(3，5)C(3,5)D(2,4)解析 由题意得BDADABBCAB(ACAB)ABAC2AB(1,3)2(2,4)(3，5)资料个人收集整理，勿做商业用途 答案 B 考向三 平面向量共线的坐标运算【例 3】已知 a(1,2)，b(3,2)，是否存在实数 k，使得 kab 与 a3b 共线，且方向相反？资料个人收集整理，勿做商业用途 审题视点 根据共线条件求 k，然后判断方向 解 若存在实数 k，则 kabk(1,2)(3,2)(k3，2k2)，

12、a3b(1,2)3(3,2)(10，4)资料个人收集整理，勿做商业用途 若这两个向量共线，则必有(k3)(4)(2k2)100.解得 k13.这时 kab103，43，资料个人收集整理，勿做商业用途 所以 kab13(a3b)即两个向量恰好方向相反，故题设的实数 k 存在 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值资料个人收集整理，勿做商业用途【训练 3】(2011西安质检)已知向量 a(1,2)，b(2，3)，若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c()资料个人收集整理，勿做商

13、业用途 A.79，73 B.73，79资料个人收集整理，勿做商业用途 C.73，79 D.79，73资料个人收集整理，勿做商业用途 解析 设 c(m，n)，则 ac(1m,2n)，ab(3，1)(ca)b，3(1m)2(2n)，又 c(ab)，3mn0，解得 m79，n73.答案 D 阅卷报告 5平面几何知识应用不熟练致误 5/5 【问题诊断】在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题的常规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解资料个人收集整理，勿做商业用途【防范措施】一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特

14、殊点、线段等【示例】(2011湖南)在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设BC错因 搞错向量的夹角或计算错误2BD，CA3CE，则ADBE_.资料个人收集整理，勿做商业用途 实录 12(填错的结论多种)正解 由题意画出图形如图所示，取一组基底AB，AC，结合图形可得AD12(ABAC)，BEAEAB23ACAB，资料个人收集整理，勿做商业用途 ADBE12(ABAC)资料个人收集整理，勿做商业用途 23ACAB13AC2资料个人收集整理，勿做商业用途 12AB216ABAC131216cos 6014.资料个人收集整理，勿做商业用途 答案 14【试一试】(2011天津)已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3PB|的最小值为_资料个人收集整理，勿做商业用途 尝试解析 以 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA(2，x)，PB(1，ax)，PA3PB(5,3a4x)，|PA3PB|225(3a4x)225，|PA3PB|的最小值为 5.资料个人收集整理，勿做商业用途 答案 5