新教材-学新教材数学人教A版必修第一册_6.pdf

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1、 4.5.2 用二分法求方程的近似解 新课程标准：1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图.2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.3.了解用二分法求方程近似解具有一般性.学业水平要求：水平一 1.能从教材实例中了解二分法概念.（数学抽象）2.能从教材实例中归纳出用二分法求方程近似解的步骤.（逻辑推理）水平二 能了解二分法求方程近似解的思想，能利用二分法求方程的近似解.（数学运算）导思 1.求函数的零点时，如果方程()0f x 无法用所学的方法求根，那么怎样求函数的零点？2.应用二分法求函数的零点有哪些步骤？1.二分法的概念(1)二分法：对于在区间,a b上图象连续不断且)(0)(ff

2、 ba的函数()yf x，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)本质：利用零点存在定理，将零点所在的范围尽量缩小，得到符合一定精确度要求的零点的近似值.(3)应用：求函数的零点、方程的根的近似解.【思考】为什么能用二分法求方程的近似解？提示：方程的根即为对应函数的零点.2.用二分法求函数零点近似值的步骤 (1)步骤：给定精确度，用二分法求函数()yf x零点0 x的近似值的一般步骤如下：确定零点0 x的初始区间,a b，验证()(0)aff b.求区间(),a b的中点c.计算()f c，并进一步确定零点所在的区间：

3、(i)若()0f c(此时0 xc)，则c就是函数的零点；(ii)若()()0f a f c(此时0,()xa c)，则令bc；(iii)若()(0)cff b(此时零点0,()xc b)，则令ac.判断是否达到精确度：若ab，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤.(2)本质：计算过程程序化，算法思想的具体体现.(3)应用：利用二分法的步骤，可以设计程序框图，用有关算法语言编写程序，用信息技术求方程的近似解.【思考】零点的近似解只能是区间的端点a或b吗？提示：不是，区间,a b中任意一个值都是零点0 x满足精确度的近似值.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)任何函数的零

4、点都可以用二分法求得.()(2)用二分法求出的函数零点就是精确值.()(3)用“二分法”求近似解时，精确度越大，零点的精确度越高.()提示：(1).函数需满足在区间,a b上连续不断且()()0f a f b，才能用二分法求零点.(2).用二分法求出的函数零点可能是精确值，也可能是近似值.(3).精确度越大，零点的精确度越低.2.下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()【解析】选 A.只有 A 中图象与x轴交点两侧的函数值不变号，都是正值，因此不能用二分法.3.(教材二次开发：例题改编)若函数322)2(fxxxx 的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表

5、：x 1 1.5 1.25 1.375 1.4375 1.40625()f x 2 0.625 0.984 0.260 0.162 0.054 则方程32220 xxx的一个近似解(精确度0.04)为_.【解析】因为(1)(1.5)0ff，所以015()1.x ，；因为(1.40625)0.0540f，又(1.4375)0.1620f，所以01.406251.4)5(37x，此时1.406251.43750.031250.04.所以0 x可以是1.406251.4375，之间的任意一个数，故取01.40625x.答案：1.40625(答案不唯一)类型一 二分法的概念应用(直观想象、逻辑推理)【

6、题组训练】1.(2020 周口高一检测)下列函数中能用二分法求零点的是 ()2.已知2()6f xxxc有零点，但不能用二分法求出，则c的值是()A.9 B.8 C.7 D.6 3.下列关于函数()yf x，,xa b的叙述中，二分法既是一种求值方法，又是一种解决实际问题的思想，有着广泛应用；若0 x是()f x在,a b上的零点，则可用二分法求0 x的近似值；用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；用二分法求方程的根时，得到的都是近似值.其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】1.选 C.只要函数图象有部分在 x 轴的上下两侧，并且没有间断，就能用二分法求函数

7、零点，观察所给的四个图象，满足条件的只有 C.2.选 A.2()6f xxxc有零点，但不能用二分法求出，则260 xxc，有两个相等的实数根，则3640c，解得9c.3.选 B.二分法除了可以求函数的零点，方程的根外，还广泛应用于实际问题中，如在一个串联多焊点的故障检测中，要查出哪个焊点出现故障时，就可以用二分法，以尽快找到故障焊点.正确；中函数()f x不一定连续，且无法判断是否有()()0f af b，错误；中利用信息技术，步骤循环进行，可以得到小数点后的任一位，正确；中用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，错误.【解题策略】运用二分法求函数的零点应具备的两个条件(1)函数图象在

8、零点附近连续不断.(2)在该零点左右函数值异号.只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.【补偿训练】已知函数()f x的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解出零点的个数分别为()A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3【解析】选 D.由图象可知，函数有4个零点，能用二分法求出的有3个.类型二 用二分法求函数零点的近似解(逻辑推理)【典例】1.(多选题)用二分法求函数()572xf xx的一个零点，其参考数据 如下：x 0.0625 0.09375 0.125 0.15625 0.1875()f x 0.4567 0.1809 0.0978 0.3797 0.6647 根据

9、上述数据，可得()572xf xx的一个零点近似值(精确度0.05)为()A.0.625 B.0.09375 C.0.125 D.0.096 2.用二分法求方程2370 xx在区间1 3，内的根，取区间的中点为02x，那么下一个有根的区间是 _.【解题导引】1.首先确定零点所在的区间，再根据相关的概念判断所取的零点是否正确.2.依据(1)f，(2)f，(3)f的符号作出判断.【解析】1.选 BCD.由参考数据知(0.09375)0.18090(0.125)0.09780ff，即(0.09375)(0.125)0ff 且0.1250.093750.031250.05.所以()572xf xx的一

10、个零点的近似值可取为0.09375，0.125，0.096.2.设()237xf xx，(1)23720f ，(3)100f，(2)30f，()f x零点所在的区间为(1)2，所以方程2370 xx下一个有根的区间是(1)2，.答案：(1)2，【解题策略】二分法求函数零点的关注点(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.(2)区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解.【跟踪训练】1.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(),a b内，当ab(为精确度)时，函数零点近似值0 2abx与真实零点的误差最大 不超过()A.4 B.2 C.D.2【解析】选

11、B.真实零点离近似值0 x最远即靠近a或b，而2222ababbaba 因此误差最大不超过2.2.在用二分法求函数()f x在(0)1，内的零点的近似解时，经计算(0.625)0f，(0.75)0f，(0.6875)0f，则可得出方程零点的一个近似解为_(精确度0.1).【解析】因为0.750.687 50.06250.1，所以0.6875()0.75，内的任意一个值都可作为方程的近似解.答案：0.75(答案不唯一)类型三 用二分法求方程的近似解(数学运算、直观想象)角度 1 求方程的近似解 【典例】用二分法求方程3350 xx的近似解(精确度为0.1).【思路导引】设出方程相应的函数，按照二

12、分法求函数零点的步骤计算.【解析】设函数3()35f xxx，因为函数3yx与35yx在()，上都是增函数，所以()f x在()，上是单调递增的，又因为(0)0055f，(1)1351f ，(2)8659f，所以()f x在区间(1)2，内存在零点0 x，利用二分法可得表，区间 中点m()f m的符号 区间长度 (1)2，1.5 1(1)1.5，1.25 0.5(1)1.25，1.125 0.25 1.125()1.25，1.1875 0.125 1.1251().1875，1.15625 0.0625 方程3350 xx在精确度为0.1的要求下的一个近似值为1.125.【变式探究】本例中，若

13、精确度变为0.001，则要达到精确度要求至少要计算多少次？【解析】设至少需要计算n次，则n满足10.0012n，即21000n，因为1021024，所以至少需要计算10次.角度 2 已知方程根的个数求参数范围 【典例】(2020 南通高一检测)已知函数|1|1(),0,()2|ln()|,0,xxf xxx 设方程()0f xa有4个不同的根，则实数a的取值范围是_.【思路导引】将方程的根的个数变成函数的交点的个数，利用图象解决.【解析】方程()0f xa有4个不同的根，即为()f xa有4个不等实根，作出()yf x的图象，可得1 12a时，()yf x与ya的图象有4个交点.答案：1,1)

14、2 【解题策略】1.关于二分法求方程的根 设出方程对应的函数，函数的零点即为方程的根，因此只需利用二分法求出对应函数的零点即可.2.关于利用方程的根求参数的范围 (1)首先将方程变形为等号两边均为初等函数的等式，设出两个函数，作出两个函数的图象，根的个数即为图象交点的个数，利用图象确定参数的范围；(2)解题思维过程：方程解的个数 函数交点个数方程根的个数，方法是数形结合法.【题组训练】1.利用二分法求方程3log3xx的近似解，初始区间可以取()A.(0)1，B.(1)2，C.(2)3，D.(3)4，【解析】选 C.设3log()3fxxx，因为当连续函数()f x满足)(0)(ff ba时，

15、()f x在区间(),a b上有零点，即方程3log3xx在区间(),a b上有解，又因为3(2)log 210f，3log 330(3)31f，故(2)0(3)ff，故方程3log3xx在区间(2)3，上有解.2.(2020吉林高一检测)已知函数23,()63,xxaf xxxxa若函数()()2xxgfx恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为 _.【解析】因为23,24()3,),xxagfxxxxxxa,所以()g x的图象如图：所以()g x的图象如图：因为()g x恰有2个不同的零点，所以()g x图象与x轴有两个不同的交点.因为若xa时，()g x有两个零点，则令2430 xx，

16、得3x 或1x ；则xa时，没有零点，所以3a.因为若xa时，()g x有一个零点；则xa时，()3g xx有一个零点，所以31a .答案：3)13)，.1.用二分法求函数()yf x在区间2 4，上的唯一零点的近似值时，验证(2)(4)0ff，取区间(2)4，的中点12432x，计算得1(2)()0ff x，则 此时零点0 x所在的区间是()A.(2)4，B.(2)3，C.(3)4，D.无法确定【解析】选 B.由题意可知：对于函数()yf x在区间2 4，上，有(2)(4)0ff，利用函数的零点存在定理，所以函数在(2)4，上有零点.取区间的中点12432x,因为计算得1(02)()ff x

17、，所以利用函数的零点存在定理，函数在(2)3，上 有零点.2.已知函数()yf x为0 1，上的连续函数，且(0)(1)0ff，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少等分的次数为 ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选 C.设需计算n次，则n满足10.12n，即210n.故计算4次就可满足要求，所以将区间等分的次数最少为4次.3.(教材二次开发：例题改编)用二分法求函数()34xf xx的一个零点，其参考数据如下：x 1.6000 1.5875 1.5750 1.5625 1.5562 1.5500()f x的近 似值 0.200 0.133 0.067 0.003 0.029 0.060 据此数据，可得方程340 xx的一个近似解(精确度为0.01)可取_.【解析】1.56250.0030f，1.55620.0290f，方程340 xx的一个近似解在()1.5562 1.5625，上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.5625.答案：1.5625(答案不唯一)4.用二分法求方程3250 xx在区间2 3，内的实根，取区间中点02.5x，那么下一个有根区间为_.【解析】因为(2)0f，(2.5)0f，(3)0f，所以(2)(2.5)0ff，(2.5)(3)0ff.所以下一个有根区间应为(2)2.5，答案：(2)2.5，.