-2019学年高中数学第三章变化率与导数单元测试1北师大版选修1-1甄选.pdf

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1、精品 word.-2019 学年高中数学第三章变化率与导数单元测试 1 北师大版选修 1-1（优选.）第三章第三章 变化率与导数变化率与导数(时间：100 分钟，满分：120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)11已知函数 f(x)，则 f(x)等于()33A3B03C.3D.311解析：选 B.因为 f(x)，所以 f(x)()0.332已知某质点的运动规律为 st23(s 的单位：m，t 的单位：s)，则该质点在 t3 s 到 t(3t)s这段时间内的平均速度为()A(6t)m/sC(3t)m/s9B(6t

2、)m/st9D(t)m/sts（3t）23（323）解析：选 A.平均速度为(6t)m/s.ttf（1）f（1x）3设 f(x)为可导函数，且满足lim1，则过曲线 yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜x02x率为()A2C1B1D2f（1x）f（1）解析：选 D.kf(1)limx0 xf（1）f（1x）2lim2.x02x4已知函数 f(x)在 x1 处的导数为 3，则 f(x)的解析式可能是()Af(x)(x1)33(x1)Bf(x)2(x1)Cf(x)2(x1)2Df(x)x11/7doc 格式 可编辑精品 word.解析：选 A.利用排除法，分别对四个选项求导数 f(x)，再求 f

3、(1)x215已知曲线 y43ln x 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A3C1B21D.2解析：选 B.设切点坐标为(x0，y0)，且 x00，13因为 y2xx，131所以 k2x0 x2，0所以 x02.6已知 y2x xcos x，则 y等于()2A6x2x 3sin x332B6x2x 3sin x21C6x23x 3sin x21D6x23x 3sin x1解析：选 D.y(2x3)(x3)(cos x)216x23x 3sin x.7给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f(x)存在，且导函数 f(x)在 D 上也可导，则称函数 f(x)在 D上存在二阶导函数，

4、记 f(x)(f(x).若 f(x)0 在 D 上恒成立，则称函数 f(x)在 D 上为凸函数，以下四个函数在0，2上不是凸函数的是()Af(x)sin xcos xBf(x)ln x2xCf(x)x32x1Df(x)xex解析：选 D.对故A，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos x00 x2，f(x)在0，2上是凸函数；2/7doc 格式 可编辑精品 word.11对 B，f(x)x2，f(x)x200 x2，故 f(x)在0，2上是凸函数；对 C，f(x)3xx22，f(x)6x00 x2，故xxxxxf(x)在0，2上是凸函数；对 D，f(x)e xe，f(x)e e

5、 xe e故f(x)在0，2上不是凸函数，选(2x)00 x2，D.8已知曲线 C：y2x2，点 A(0，2)及点 B(3，a)，从点 A 观察点 B，要实现不被曲线 C 挡住，则实数 a 的取值范围是()A(4，)C(10，)B(，4)D(，10)2解析：选 D.在曲线 C：y2x2上取一点 D(x0，2x20)(x00)，因为 y2x，所以 y4x，所以 y2x2在 D 点处切线的斜率为 4x0，2x22（2）02令x4x0，解得 x01，此时 D(1，2)，所以 kAD4，100所以直线 AD 的方程为 y4x2，要实现不被曲线 C 挡住，则实数 a43210，即实数 a 的取值范围是(

6、，10)9设 a0，f(x)ax bxc，曲线 yf(x)在点到曲线 yf(x)对称轴距离的取值范围为()1A.0，abC.0，2a1B.0，2ab1D.0，2aP(x0，f(x0)的切线的倾斜角的取值范围是0，4，且2P(x0，f(x0)处切线的倾斜角的取值范围为0，4，则P解析：选 B.因为过a0，P 在对称轴的右侧，所bbb以 P 到曲线 yf(x)对称轴 x2a的距离 dx0 2ax02a.又因为 f(x0)2ax0b0，1，所以b1bx0.，2a2a1b所以 dx02a0，2a.10定义方程 f(x)f(x)的实数根 x0叫做函数 f(x)的“新驻点”，若函数 g(x)2x，h(x)

7、ln x，(x)x3(x0)的“新驻点”分别为 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系为()AabcCacbBcbaDbac3/7doc 格式 可编辑精品 word.1解析：选 B.g(x)2，h(x)x，(x)3x2(x0)解方程 g(x)g(x)，即 2x2，得 x1，即 a111；解方程 h(x)h(x)，即 ln xx，在同一坐标系中画出函数 yln x，yx的图像(图略)，可得 1xe，即 1be；解方程(x)(x)，即 x33x2(x0)，得 x3，即 c3.所以 cba.二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在题中的横线上)11已知 a 为实数，f(

8、x)(x24)(xa)，且 f(1)0，则 a_解析：f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4，1f(1)32a40，所以 a2.1答案：212设 f(x)exx，若 f(x0)2，则在点(x0，y0)处的切线方程为_解析：f(x)ex1，f(x0)2，所以 ex012，所以 x00，y0e001，所以切线方程为 y12(x0)，即 2xy10.答案：2xy1013已知函数 f(x)sin xxcos x，若存在 x(0，)，使得 f(x)x 成立，则实数 的取值范围是_解析：f(x)(sin xxcos x)(sin x)(xcos x)cos x(cos xxsin x)xsin

9、 xx，因为 x(0，)，所以 sin x，因为 sin x(0，1，所以 1.答案：(，1)14抛物线 yx2上到直线 x2y40 距离最短的点的坐标为_解析：y2x，设 P(x0，x20)处的切线平行直线 x2y40，则点 P 到直线 x2y40 的距离最短，11122由抛物线 yx 在点 P(x0，x0)处的切线斜率为 2x0，则 2x02，解得 x04，y016，故所求点的坐标为11(4，16)11答案：(4，16)15对正整数 n，设曲线 yx(1x)在 x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为项和为_解析：由 yxn(1x)得 ynxn1(1x)xn(1)，所以 f(2)n2n12n

10、.又因为切点为(2，2n)所以切线方程为：y2n(n2n12n)(x2)令 x0，得 an(n1)2n.nanan，则数列n1的前n4/7doc 格式 可编辑精品 word.an则数列n1的通项公式为an2n，由等比数列前 n 项和公式求得其和为 2n12.答案：2n12三、解答题(本大题共 5 小题，共 55 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分 10 分)将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹，若最外一圈波纹半径 R 以 4m/s 的波速增加，求在 3 s 末被扰动的水面面积的增长率解：设被扰动水面面积为 S，时间为 t(t0)，所以 SR2(4t)216t2

11、，所以 S(16t2)32t，所以当 t3 时，水面面积的增长率为 96.17(本小题满分 10 分)求下列函数的导数(1)f(x)ln(8x)；xx(2)yx sin2cos2；3x5 xsin x(3)y.x2解：(1)f(x)3ln 2ln x，1f(x)(3ln 2)(ln x)x.xx13(2)yx sin2cos22x sin x，31312y2(x sin x)2(3x sin xx3cos x)32132x sin x2x cos x.x5 xsin x332(3)yx x 2xsin x，x23所以 y(x3)(x 2)(x2sin x)533x22x 22x3sin xx2

12、cos x.18(本小题满分 10 分)已知曲线 C：y3x42x39x24.(1)求曲线 C 在点(1，4)处的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线 C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，请说明理由解：(1)y12x36x218x，所以当 x1 时，y12，所以在点(1，4)处的切线的斜率为12.所以所求的切线方程为 y412(x1)，即 y12x8.5/7doc 格式 可编辑精品 word.432y3x 2x 9x 4，(2)由得y12x8，3x42x39x212x40，2即(x2)(3x2)(x1)0，所以 x12，x23，x31.22所以除切点外，曲线和切线还有交点(2

13、，32)和3，0.19(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)ax2(a2)xln x.(1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当 a1 时，求证：当 x1，e时，f(x)0，其中 e 为自然对数的底数1解：(1)当 a1 时，f(x)x 3xln x，f(x)2x3x，因为 f(1)0，f(1)2.2所以切线方程是 y2.1(2)证明：函数 f(x)ax(a2)xln x 的定义域是(0，)，f(x)2ax(a2)x，22ax2（a2）x1（2x1）（ax1）即 f(x)，xx当 a1 时，在 x1，e上，2x10，ax10，可得 f(x)0.13a22

14、0(本小题满分 13 分)设函数 f(x)3x 2x bxc，其中 a0.曲线 yf(x)在点 P(0，f(0)处的切线方程为 y1.(1)确定 b，c 的值；(2)设曲线 yf(x)在点(x1，f(x1)及(x2，f(x2)处的切线都过点(0，2)，证明：当 x1x2时，f(x1)f(x2)13a2解：(1)由 f(x)3x 2x bxc，得 f(0)c，f(x)x2axb，f(0)b.又由曲线 yf(x)在点 P(0，f(0)处的切线方程为 y1，得 f(0)1，f(0)0.故 b0，c1.13a2(2)证明：f(x)3x 2x 1，f(x)x2ax，由于点(t，f(t)处的切线方程为 y

15、f(t)f(t)(xt)，而点(0，2)在切线上，所以 2f(t)f(t)(t)，化简23a223a2得3t 2t 10，即 t 满足的方程为3t 2t 10.下面用反证法证明：假设 f(x1)f(x2)，由于曲线 yf(x)在点(x1，f(x1)及(x2，f(x2)处的切线都过点(0，2)，则下列等式成立：6/7doc 格式 可编辑精品 word.2x ax 10，32x ax x ax.322221122223a23x12x110，由，得 x1x2a.由，得又2x1x1x2x22324a.a23232)a a，22222x1x1x2x22(x1x2)x1x2a x1(ax1)x1ax1a(x124故由得 xaa12，此时 x22与 x1x2矛盾，所以 f(x1)f(x2)感谢您使用本店文档 您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）-7/7doc 格式 可编辑4