证明数列是等差或等比数列的方法.pdf

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1、.一、证明或判断数列为等差数列的方法1.定义法在数列an中，若an an1 d（d为常数），则数列an为等差数列例：已知正项数列an的前 n 项和为Sn，a1证明：数列an是等差数列证明：由2Sn1 2Sn 3an1得2(Sn an1)2Sn 3an1整理得4Sn 3an12an1则4Sn1 3an2an两式相减得4an 3an13an2an1 2an3an13an 2an1 2an因为an是正项数列，所以an an1 0所以3an1 an 2，即an1 an所以an是首项为 2.等差中项法anan2 2an1an是等差数列例：设数列an的前 n 项和为Sn，已知a11，a2 6，a311，且

2、2222222222，且满足2Sn1 2Sn 3an1（nN*）32322，公差为的等差数列33，2，3，L，(5n8)Sn1(5n2)Sn An B，n 1其中 A、B 为常数（1）求 A 与 B 的值（2）证明数列an是等差数列，S2 7，S318解：（1）因为a11，a2 6，a311，所以S11把n 1，n 2分别代入5n 8Sn15n 2Sn An B得37 71 A B218127 2A B解得：A 20，B 8（2）由（1）知5n 8Sn15n 2Sn 20n 8整理得5nSn1 Sn8Sn1 2Sn 20n 8.下载可编辑.即5nan18Sn1 2Sn 20n 8又5n 1an

3、28Sn2 2Sn1 20n 18-得5n 1an25nan18an2 2an1 20即5n 3an25n 2an1 20又5n 2an35n 7an2 20-得5n 2an3 2an2 an1 0所以an3 2an2 an1 0所以an3 an2 an2 an1 a3 a2 5，又a2 a1 5所以数列an是首项为 1，公差为 5 的等差数列 3.看通项与前 n 项和法（注：这些结论适用于选择题填空题）（1）若数列通项an能表示成an an b（a，b为常数）的形式，则数列an是等差数列；（2）若数列an的前 n 项和Sn能表示成Sn an bn（a，b为常数）的形式，则2数列an是等差数列

4、例：若Sn是数列an的前 n 项和，Sn n，则an是（）2 A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，也是等比数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列解析：根据（2）知an等差数列，不是等比数列二、证明或判断数列为等比数列的方法1.定义法在数列an中，若an q（q为常数），则数列an为等比数列an11an为偶数112n例：设数列an的首项a1 a，且an1，记bn a2n1，44a 1n为奇数n4n 1,2,3.下载可编辑.（1）求a2，a3（2）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论11111 a，a3a2a 44228113113 (2)a4 a3a

5、,a5a4a 42824161111111所以b1 a1 a，b2 a3a(a)444282411111b3 a5a(a)4416441猜想bn是公比为的等比数列2解：（1）a2 a1证明如下：因为bn1 a2(n1)11111111111 a2n1a2n(a2n1)(a2n1)bn442424424211所以bn是首项为a，公比为的等比数列24例 2：已知数列an的首项a1 5，前n项和为Sn，Sn1 2Sn n5(nN N)，证明数列an1是等比数列；*解：由已知Sn1 2Sn n5(n N)可得n 2时,Sn 2Sn1n4两式相减得:Sn1Sn 2(SnSn1)1，即an1 2an1，从

6、而an11 2(an1)，当n 1时，S2 2S115，所以a2a1 2a16，又a1 5，所以a211，从而a21 2(a11)故总有an11 2(an1)，nN N，又a1 5，a11 0，从而an11 2an1所以数列an1是等比数列*例 3：设数列an的前n项的和为Sn，且a11,Sn1 4an 2,n N。（1）设bn an1 2an，求证：数列bn是等比数列；证明：（1）n 2时.下载可编辑.an1 Sn1 Sn 4an 4an1，an12an 2an 2an1，bn 2bn1又b1 a2 2a1 S23a1 a1 2 3bn是首项为 3，公比为 2 的等比数列。例 4：设数列an

7、的首项a11，前n项和sn满足关系3tsn2t 3sn1 3t，求证an为等比数列。（错证）由题意：3tsn2t 3sn1 3t3tsn12t 3sn2 3t两式相减得：3tsn sn12t 3sn1 sn2 0即：3tan2t 3an1 0所以：an2t 3为定值，所以an为等比数列。an13t由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了n的取值范围，导致证明不符合定义的完整性。正确的证明如下：n 3时：3tsn2t 3sn1 3t3tsn12t 3sn2 3t两式相减得：3tsn sn12t 3sn1 sn2 0即：3tan2t 3an1 0所以：an2t 3an13t（这只能

8、说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）又因为n 2时：3ts22t 3s1 3t即3ta1 a22t 3a1 3t.下载可编辑.又因为a11，所以3t 3ta2(2t 3)3t所以a2所以2t 33ta22t 3a13tan2t 3为定值，所以an为等比数列。an13t所以对任意n 2都有总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候，一定要注意下标n的取值范围，不管是an an1；ana还是an1 an2;n1还是其它的情况，都在考虑定义的an1an2完整性，确保任何的后一项与相邻前一项的差（比）为定值，如有不全面的地方须另外加以补充。2.看通项与前 n 项和法（1）若通项an能表示成an cq（c，q均为不为 0 的常数）的形式，则an是等比数列（2）若数列an的前 n 项和Sn能表示成Sn Aq A（A、q均为不等于 0 的常数，且nnq 1）的形式，则数列an是公比不为 1 的等比数列111例：已知数列an的前 n 项和Sn ，则数列an是什么数列323解析：由数列前 n 项和可知，数列an是等比数列，首项a1 n11111公比q，32362.下载可编辑.