解题信息论.pdf

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1、解题信息论 解题信息论认为，数学解题的过程，就是数学问题信息 的获取、存输、处理、输出，从而实现解题目标的运动过程 是 20 世纪 80 年代兴起的一种观点 1 数学解题的信息论解释 1-1 数学解题信息过程的理论解释 我们分五步作出描述（1）解题信息的获取，主要步骤是弄清题意，明确已 知是什么?求证（解）是什么?亦即从题目本身去获取从何处 人手、向何方前进的信息，我们说过，题目的条件和结论是 两个信息源，从条件发出的信息预示可知并启发解题手段，从结论发出的信息预告需知并诱导解题方向为了从中获取 尽可能多的信息，我们需要分析条件、分析结论、分析它们 之间的关系，需要辅以图形或记号，以求得目标与

2、手段的统 一具体说来，要做好 3 件事：弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如 何 弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如 何 弄清题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么 样的结构 （2）从题目本身发出的信息，输入解题主体时，一开 始是孤立的、零散的、混乱的，经过初步的辨认筛选，可确 定哪些是有用的，哪些是无关的，有用的要继续接收，同时，进行短期的储存；至于那些与解本题无关的信息，则予以淘 汰与此同时，解题主体又在努力追忆过去在什么地方、什 么情况下曾出现过类似的题目，从“存储机构”中提取出与 本问题有关的定义、定理、公式、法则与类题，索取已知的 知识，调动潜在的技能，进行

3、信息的对比、借鉴和再生（3）把从题目中捕捉的有用信息与从存储机构中提取 到的有关信息结合起来，进行加工、重组与再生，这实质上 就是解题思路的探求这个过程的往复循环，依信息的反馈 而由大脑来调节捕捉信息、提取信息、加工重组，这三者 缺一不可，波利亚的高明之处就在于，他在解题表中的许多 问句常常“一语三关”，你见过类似的题目吗？这既是启发 你从“题”中捕捉信息，又是催促你从“记忆”中索取信 息如果你“见过”，这是一个信息，告诉你如何运动 两组信息也就沟通了；如果你“没见过”，这也是一个信息，等于告诉你进行下一步的行动（4）随着信息分析、加工的进展，解题的前景也逐渐 明朗，经验表明，通过观察、类比、

4、归纳、猜想等手段去获 取解题大体方向有关信息是十分重要和非常有效的，因为简 单的、具体的、局部的情况总带有系统本身的信息，而特殊 解法的思路中常能显示出一般解法的信息流（5）信息的输出，表现为解题的书写，值得注意的是，书写完成之后，信息过程并没有结束，“解答”依然向我们 输入信息，表现为解后的探究所以，波利亚特地给解题过 程安排了一个必要的环节 回顾，其作用不仅能改进完善 眼前的解题，而且能提炼出对未来解题有指导作用的信息（即形成数学观念的基本素材，或称解题经验的信息储备），进一步升华为人们搜索、捕获、分析、加工和运用信息能力 的总和 数学才能 1-2 数学解题的信息过程 由上面的分析可以看到

5、，数学解题的信息过程包括这样一 个“三位一体”的工作：（1）有用捕捉：从理解题意中捕捉有用的信息，主要是 弄清条件是什么?结论是什么?各有几个?如何建立条件与结 论之间的逻辑联系?从题目的叙述中获取“符号信息”，从题 目图形中获取“形象信息”知识经验是“有用捕捉”的基 础（2）有关提取：即在“有用捕捉”的刺激下，通过联想 而从记忆储存中提取有关的信息，主要是定理、公式、基本 模式等解题依据或解题凭借良好的认知构结和机智的策略 选择是连续提取、不断捕捉的基础 3）有效组合：将两组信息进行有效的组合，使之成为 一个和谐的逻辑结构.逻辑思维能力是有效组合的基础，而“逻辑结构”是否有效，其基本要求应能

6、说服自己、说服朋 友、说服论敌.（如何填示意图中的空白方框，请参看下例的说明）这三个步骤往复循环、依信息的反馈而由大脑来调节.“有用捕捉”、“有关提取”、“有效组合”是心理活 动的外部表现，它恰好对应着人的复杂心理活动的三个环 节：观察试验、联想转化、推理论证.观察试验是前提，联 想转化是关键，推理证明是完成.我们的解题总是在细致观 察、反复试验的基础上，进行广泛的联想、精巧的转化，最 后用合乎逻辑的推理步骤把他写成无懈可击的证明.2 解题信息论的实例说明 2-1 案例 1 例 1 求证：等腰三角形的两个底角相等.2-1-1 案例的呈现 这是初中课本上的一条定理，其思路探求的一个过程是 这样的

7、，如图 1,为了证明两个角相等，我们来找这两个角所在的三角 形；（2）由于已知条件只有一个三角形，所以作辅 助线AD（A的平分线，也可以是BD的中线等），产 生 BAD 与 CAD；（3）证明 BAD CAD；图 1 由三角形全等的性质便得出所求.由此，可以得出课本已经写出的证明.证明 1 如图 1，在等腰:ABC中，作.A的角平分线AD得 BAD 与 CAD，有 AB=AC,（已知）AD二AD,（公共边）又 BAD-CAD,（辅助线作法）得 BAD=CAD,(A)从而 B=/C.（全等三角形的对应角相等）这个处理有分析、有启引，是注重知识的发生过程的，模仿这里的分析与证明，我们能够完成课本的

8、作业，几何论 证能力也会在这潜移默化中获得提高.通常的解题教学进行 到这里就基本告一段落了，我们的建议是继续暴露数学解题 的思维过程，比喻为 摸进黑房间后拉开电灯”或 登上山顶后 的俯瞰”至少可以这样说，我们虽然解出了一道题，但还没 有弄清到底是怎么解的，还没有对自己的认识活动进行再认 识记得笔者初为人师时，讲完这个定理后就曾留下过很多 困惑如（1）我不能说清本定理证明中用到了哪些知识，哪些 方法，这些知识与方法又是怎样组成一个和谐的逻辑结构 的（2）我不能显浅地指出本定理证法的一般认识与基本 困难（3）我不能用一句很简明的话让学生把握这个定理并 终生难忘（4）我还感到，“分析”中“由于已知条

9、件只有一个 三角形”，马上就推出“所以作辅助线 AD”，有点理由 不足 如果把定理比作一首古诗，那么上述证明确实向学生解 释了诗的写作背景、生词生字，也有表情地朗读了一遍；作 为学生，也已经听懂了，甚至经过努力也背熟了但是教师 如果没有接下来对诗中层次结构的分析、写作技巧的剖析、中心思想的揭示等，那么学生的“自发领悟”必然还会有一 批人领悟不到诗中深刻的思想、精妙的意境、优美的文笔与 传颂千古的内在魅力，更谈不上理解诗人的气质与培养出有 气质的诗人了这使我想到，解题教学是不是也应该有一个 类似于语文“课文分析”那样的数学“解题分析”，把定理 与定理证明的本质思想向学生作适合他们认识水平的剖析.

10、2-1-2 解题过程的分解 分解上面的证明我们可以看到有 4 个步骤（解题过程的 结构分析），每一个步骤又有一些信息的获取与加工，共由 8 条信息组成（解题过程的信息流程分析）：第 1 步：作.A的角平分线AD，把UABC分成两个三角形：BAD与CAD.这本身是一个形象信息（从图形中获得，记为 信息 1）,同时，又从记忆储存中提取了一条信息：角平分线 的作法（数学技能，记为信息 2）.第 2 步：验证BAD与CAD满足全等的条件.这使用了 3 条信息（1）从已知条件中提取符号信息 AB=AC（记为信息 3）.（2）从所附图形中提取形象信息 ADAD（记为信息 4）.（3）从记忆储存中提取符号信

11、息：角平分线的定义（记 为信息 5）,从而得NBAD=NCAD（符号信息，记为信息 6）.第 3 步：得出BAD CAD.这从记忆储存中提取了三 角形全等的判别定理SAS作为依据（记为信息 7）.第 4 步：得.B-C.这从记忆储存中提取了三角形全等 的性质定理作为依据（记为信息 8）.这 4 个步骤和 8 条信息可以组成一个和谐的逻辑结构:于是，我们就弄清了：定理证明中用到了哪些知识、哪 些方法，它们又是怎样组成一个和谐的逻辑结构、逐步推进 的.2-1-3 本质步骤的提炼 上面的初步分析可以解决我们的第（1）个困惑，并且 还显化了定理证明的最本质步骤：三角形全等法的应用.为 什么最本质步骤是

12、三角形全等法的应用而不是作辅助线 呢？因为作辅助线是根据全等的需要并为全等服务的；而全 等三角形一旦得出，对应角相等是直接的三段论推理，所以 证三角形全等能使解题产生实质性的进展，也更反映等腰三 角形的深层结构.（具有最本质步骤的两个基本特征：能使 解题产生实质性的进展；更反映问题的深层结构）而这个最本质步骤在操作上是这样一个“由一找三”的过程，为了证明一个等式（NB=NC）,我们去找三个等式（AB=AC,AD=AD，三BAD CAD）,女口果两个三角形和三个 等式都很现成，那问题就解决了；否则，我们就要作辅助线（角平分线AD），产生一对三角形，并且继续进行“由一找 三”的步骤（会出现32个等

13、式）.由此可以看到 全等法”证 几何题的两个主要难点：（1）数量上，欲证等式会按几何级数 3n飞快增长，n=2 就可以是一道很难的题目.（2）作辅助线，这对思维素质提出了很高的要求，也 没有固定的程序.从证明 1 找出“全等法”，并对“全等法”的操作与基 本困难作出分析，可以认为是对第（2）个困惑的思考与回 应.现在让我们回到证明 1,看看从本质步骤（三角形全等 法的应用）出发，作解题分析还能获得点什么？首先，抓住 解题的实质步骤提出问题：什么是全等形？是的，能够完全 重合的两个图形叫做全等形.在图 1 中,BAD与CAD可以重 a 图3 图4 图5B C C ft 合，从而呈现一种对称性的美

14、感.就是说，:BAD绕AD旋转 会与：CAD重合（图3）,CAD绕AD旋转会与ABAD重合（图4）；让这两个直角三角形一齐旋转（图5）你看到了什么？这里的 情景设计是想通过显意识的暗示来营造一个直觉发现的氛 围，让人看到：有两个三角形（图 5），一个是原来的.ABC,一个是旋转中的：ACB,它们能够重合在一起（B与C重合，C 与B重合），从而，一个无需作辅助线的新思路就会在突然的 领悟中产生：证明 2 如图 6,在ABC与ACB中，有 AB 二 AC,A A AC 二 AB.A 又 .A=/A(或 BC=CB),ZA 得 ABC=ACB,B(从而 B=C.图6 说明 1 这个证明相当于对证明

15、1作了一个“加法”的 信息交合：由：BAD=CAD,有 CAD=BAD,相加 ABC 4 CB.（SAS 或 SSS）有趣的是，我们那么熟练地将线段 AD看成两条重合的线 段，将 A看成两个重合的角，可就是不习惯，将一个三角形 看成两个三角形的重合.说明 2 这个证明的可靠直觉是，把等腰 BC纸片拿起 来作一个空中的翻转后，仍与原来的位置能够重合，这个情 景有可能让学生对证明终生难忘.于是，从图 1 到图6的返 璞归真，从原证明到现证明的解题分析，使我们对定理获得 了更多的理解 作辅助线只是一个途径、不作辅助线也是 一个途径.设想等腰三角形是一块木板（或蛋糕），那么沿AD 方向把它切下去当然是

16、一个平分的办法（图 1）,但是，沿水 平方向把它切成两块相等的薄片也是一个平分的办法（图 7）.这可以认为是对第（3）、（4）个困惑进行思考的部分 结果.图 7 然而，事情并没有结束.2-1-4 一个质疑的释疑 中小学数学2004 年第 9 期对上述证明 2 的逻辑合理 性提出了质疑，理由是把 ABC看成两个三角形不妥.因为在 平面几何内，不共线三点惟一确定一个三角形，也就是说 ACB是ABC的另一种表示方式，是指同一个三角形，考虑“ABC与UCB”的先决条件已经是两个全等三角形了，即把一 个三角形偷换成两个全等三角形，以下证明已多余.错误的 性质是违反了同一律 一一偷换论题”.更早的时候已有

17、教师问过笔者：证明“:ABC与ACB全等”只不过是说 ABC自己与自己全等，等于什么也没证.可见，这些质疑的实质涉及全等知识的深入理解.是的，能重合的图形叫全等形，但重合有两种方式，几何学上称为 A A 直接合同（仅经平面上的平移、旋转即可重合）与镜面合同（须有空间的翻转才能重合）.不共线三点A,B,C给定之后，三角形的形状和大小的确已完全确定，但对:ABC作一个空间 的翻转得出的 MCB，已经是另一种位置的三角形了，如图 8,一般情况下，只作平移、旋转不能保证这两个三角形重合（直 观说，是不能保证 ABC的AB边与ACB的AC边为对应边），即 不能 保证这两个三角形直接合同；当 图 8 我们

18、说这两个三角形全等时，只是说这两个三角形经过空间 翻转能够重合，即镜面合同而非直接合同.正确理解上述关于等腰三角形性质定理的证明，说的 是，将MBC作一个空间翻转得出 人ACB后（图 7）,这两个三 角形还能直接合同.这是等腰三角形的特殊性质，ABC与 ACB既直接合同又镜面合同（既 BCABC,又 屈=C）.所以，质疑”是把两种不同的全等混为一谈了，把 ABC三ABC永远成立，当作 厶ABC三ACB永远成立（通常是不 成立的），也忘了三角形全等有对应边、对应角等元素对应 的严格要求.2-1-5 学解题的初步收获 上面，我们实践了解题分析，既改进了解法又提高了对 本例的认识，这些都是具体而重要

19、的收获.下面，我们再从 学解题的认识层面提出 3 点看法.（1）解题分析包括认知与元认知两个阶段.上述过程表明，解题分析包括解题思路的探求分析与探 求结果的反思分析 解题思路的探求分析 这主要是在还没有思路时，努力找出思路的认知过程，在本例中表现为证明 1 的探求与获得证明 1 的得出体现了“把题作为认识对象，把解作为认识目标”的解题活动，更多 的是第一、第二阶段的解题学习 探求结果的反思分析 这主要是在获得初步思路后，对初步思路进行反思的元 认知过程，在本例中表现为证明 1 的反思与证明 2 的获得，即继续把解题活动（包括题目与初步解法）作为认识的对象，继续暴露数学思维过程，已经是第三、第四

20、阶段的解题学习 了 如果把揭示“思路探求”叫做“第一过程”的数学思 维暴露，那么继续揭示“解题活动”就可以叫做“第二过 程”的数学思维暴露了解题思路初步获得是开始“第二过 程”暴露的最好时机，错过这个机会是“进宝山而空还”（2）弄清了数学解题的信息流程.解题过程的分析中，我们既进行逻辑结构的分析又进行 了信息流程的分析，弄清了证明中用到哪些知识、哪些方法，这些知识和方法又是怎样组成一个和谐的逻辑结构的证明 1 的分析已如图 2 所示，下面我们再分 3 步对证明 2 作出分 解：第 1 步，从已知条件 ABC为等腰三角形出发去捕捉有 用的信息.（1）从题目的文字叙述中获取代数“符号信息”一条：信

21、息 1:AB=AC，进而AC=AB（提取了信息 2:等式的对 称性）.（2）从题目的图形中获取几何“形象信息”两条：信息 3：在图 6 中，我们看到ABC与ACB重叠在一起，把 它们拆开就成为图 7.信息 4：我们还看到这两个三角形有 AA（或BC二CB）.第 2 步，根据上面的理解，我们提取三角形全等的判别定 理 SAS（或 SSS）”，可得心ABC=ACB（信息 5）.据此，再提取三角形全等的性质定理，得对应角相等，B C（信息 6）.第 3 步，把这些知识信息（一共 6 条）组成一个和谐的 逻辑结构，可得解题的信息过程是这样一个 三位一体”的工 作：（1）有用捕捉.通过理解题意找出了 3

22、 条信息，一条 是符号信息AB-AC，由题目直接告诉我们；另两条是由图形 显示出来的：两个三角形（AABC与MCB）,公共角ZA=ZA（或公共边BC二CB）(2)有关提取.从记忆网络中检索出了 3 条信息：等 式的对称性，全等三角形的判别定理，全等三角形的性质定 理.(3)有效组合.本例中 6 条信息的组织，详细过程如 图 8,简洁过程为“证明”的书写.从记忆网络/捉班冇关信思 等式的对称性 SAS(1 (弗里德曼：3 个原理的连续作用)这样我们就弄清了证明这个定理的知识基础、逻辑结 构、信息流程.(3)初步体现了解题分析的作用.我们对解题分析的成果有三个层面的预期，在微观层面上，将有助于理解

23、具体问题的深层结构，不仅能修正错误、简化过程、完善解题，而且常常产生陈题 新解、难题简解、佳题巧解、名题多解、悬题获解等效果.从理斛型愿屮捕捉乳用伯息 形象信息 可拆威 磁与 本例中两个证明所用到的知识是一样的，但思维水平略 有不同.也许聪明的学生一开始就能找到证明 2，但是，如 果我不算聪明、甚至还有点笨呢，那么上述历程告诉我们，谁都有机会在原证明的基础上，捕捉到新证明的灵感.我笨 也可以通过解题过程的分析自己学会聪明，自己学会解题，使数学解题与智力发展同行.我们的解题教学应该有学会聪 明”这个环节.在中观层面上，将有助于数学问题解决能力的提高，具体表现为问题的迅速识别和适宜表征，解题思路的

24、主动设 计和知识资源的理性配置，解题方法的灵活运用和解题策略 的自觉调控.在宏观层面上，将有助于理解数学的精神、思想、方 法和价值，开发智力，促进人的发展.对这个具体案例来说，更直接、更具体的作用主要在微 观层面上，中观层面有一些体现，而宏观层面需要长期的积 累和身体力行，并且不能用我们的体会代替读者的体会.2-2 案例 2 例 2 设 f(x)=42 宀(X0)则 L(0)=_(1993.(23)讲解 直接看，这是一个函数值的问题，如果先去找(X)的表达式，就把问题复杂化了，运用方程的观点，设未 知数为X，有 f(0)=x.即 0 二 f(x)=4x-2x1.问题转化为解一个指数方程，这只不

25、过是课本上的一道 例题，易得x=1，从而f J(0)=1.那么，解题中用到了那些知识？它们又是怎样组成一个 和谐的逻辑结构的呢？(1)从理解题意中可以获得两个信息：其一是函数的表达式f(x)=4x2x1；(信息1)其二是f J 0，即反函数f(x)的自变量的取值为 0.(信 息2)(2)从记忆储存中提取函数与反函数的关系作为解题 的依据：f(0)=x：=f(x)=0.(信息 3)问题转化为课本例题的求解 4x-2x 1=0,(信息 4)解方程得出指数方程的解 x=1.再一次应用函数与反函数的关系，得 f(1)=0=f(0)=1.(信息 5)(3)整个解题过程就是 5 条信息的的有效组合，示意

26、如下:2-3 案例 3 例 3 已知ABC的中线AD,BE相交于G，求证S步二SCEGD 分析 从题目的文字叙述（符号信息）我们看到中线的条 件，从结论看到了面积等式.那么中线能得出面积的什么等 式呢？想到（从记忆中提取中线分三角形为等积的两部分）ABD（或BAE）中，四边形CEGD包含在 ADC（或 BEC）中，要使S.ABG二SCEGD，想到只须（从记忆中提取面积的分割或拼接）S A B pS.B E 或 SBAE=S.ADC)问题转化为由、推，这促使我们思考应证 S.ABD-S.ADC-S.BAE-S BEC 这能做到吗？对，这四个三角形的面积都等于 1SABC 于 是思路就打通了.S A B fS.A D，S BAE-S.BEC 其次，从图形看到（形象信息，图 9 不要漏了）,心G包含在 图 9 S.ABG=SCEGD 题目求解的信息过程为 从记忆储存中提取有关的信息 图 io 由这个信息流程图可以看得很清楚，有用捕捉”了 3 条 信息，有关提取了 3 条信息.把逻辑框架抽出来（有效组合）就是证明.（弗里德曼：3 个原理的连续作用）证明 由AD,BE为：ABC的中线知 S 1S ABD=ABC 两边减去SBDG，得-符号宿息一 AD为中线 符号中銭 卜形象信息 s _ s!r s-t _ CEGD *的公共部分