2016年高中数学 第一章 算法初步 13算法案例学案 新人教A版必修3甄选.pdf

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1、【优化方案】2016 年高中数学 第一章 算法初步 1.3 算法案例学案 新人教 A 版必修 31 13 3算法案例算法案例1问题导航(1)什么叫辗转相除法？(2)什么叫更相减损术？(3)辗转相除法与更相减损术的区别是什么？(4)什么是秦九韶算法？(5)学习了十进制，知道十进制是使用 09 十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？2例题导读通过对例 1 的学习，学会用更相减损术求最大公约数；通过对例 2 的学习，学会用秦九韶算法求多项式的值；通过对例 3 的学习，学会如何将二进制化为十进制；通过对例 4 的学习，学会如何将 k 进制化为十进制；通过对例 5 的学习，学会如何将十进

2、制化为二进制；通过对例 6 的学习，学会十进制化为 k 进制的方法：即“除 k 取余法”(kN N，2k9)1辗转相除法与更相减损术(1)辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法(2)更相减损术：我国古代数学专著九章算术中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法2秦九韶算法它是一种用于计算一元 n 次多功能项式的值的方法f(x)anxnan1xn1a1xa0(anxn1an1xn 2a1)x改写后的形式a0(anxn2an1xn 3a2)xa1)xa0-1-/12doc 格式 可编辑(anxan1)xan2)xa1)xa0从括号最内层开始，由内向外逐层计算

3、v1anxan1，v2v1xan2，计算方法v3v2xan3，vnvn1xa0，这样，求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值.3.进位制(1)进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几(2)其他进位制与十进制间的转化其他进位制化成十进制其他进位制的数化成十进制时，表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式十进制化成 k 进制的方法“除 k 取余法”1用更相减损术求 294 和 84 的最大公约数时，需做减法运算的次数是()A2 B3C4D5解析：选 C.29484210，21084126，1268442，84424

4、2，共做 4 次减法运算2用秦九韶算法计算多项式 f(x)3x64x55x46x37x28x1 当 x0.4 时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()A6，6C5，5答案：A3完成下列进位制之间的转化(1)1 034(7)_(10)；(2)119(10)_(6)解析：(1)1 034(7)17307237470368.B5，6D6，5-2-/12doc 格式 可编辑(2)119(10)315(6)答案：(1)368(2)3154当所给的多项式按 x 的降幂排列“缺项”时，用秦九韶算法改写多项式时，应注意什么？解：所缺的项写成系数为零的形式，即写成 0 xn的形式1对于任何一个数，我们可以用不

5、同的进位制来表示2表示各种进位制数一般在数字右下角加注来表示，如 111 001(2)表示二进制数，34(5)表示 5 进制数3电子计算机一般都使用二进制4利用除 k 取余法，可以把任何一个十进制数化为 k 进制数，并且操作简单、实用5通过 k 进制数与十进制数的转化，我们也可以将一个 k 进制数转化为另一个不同基数的 M 进制数6利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率求最大公约数用辗转相除法求 612 与 468 的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果(链接教材 P36例 1)解用辗转相除法：6124681144，468144336，144364，即 612 和 468 的最大公约数是

6、 36.用更相减损术检验：612 和 468 为偶数，两次用 2 约简得 153 和 117，15311736，1173681，813645，45369，36927，27918，1899，所以 612 和 468 的最大公约数为 92236.方法归纳(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数(2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数 若是，用 2 约简，也可以不除以 2，直接求

7、最大公约数，这样不影响最后结果-3-/12doc 格式 可编辑1(1)1 624 与 899 的最大公约数是_解析：1 6248991725，8997251174，725174429，174296，故 1 624 与 899 的最大公约数是 29.答案：29(2)用辗转相除法求 80 和 36 的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果解：辗转相除法：803628，36844，8420.故 80 和 36 的最大公约数是 4.用更相减损术检验：803644，44368，36828，28820，20812，1284，844，80 和 36 的最大公约数是 4.秦九韶算法及其应用(2015福州高一检

8、测)用秦九韶算法写出当 x3 时 f(x)2x54x33x25x1 的值解f(x)(2x0)x4)x3)x5)x1，v02，v12306，v263414，v3143345，v44535130，v513031391，所以 f(3)391.方法归纳-4-/12doc 格式 可编辑利用秦九韶算法将 f(x)改写成如下形式 f(x)(anxan1)xan2)xa1)xa0，其计算步骤为：先计算 v1anxan1，再计算v2v1xan2，每次都是把上一次的结果乘以x 再与下一个系数相加，其计算量为乘法 n 次，加法 n 次2 利用秦九韶算法求多项式 f(x)3x612x58x43.5x37.2x25x1

9、3 当 x6 时的值，写出详细步骤解：f(x)(3x12)x8)x3.5)x7.2)x5)x13.v03，v1v061230，v2v168188，v3v263.51 124.5，v4v367.26 754.2，v5v46540 530.2，v6v5613243 168.2.所以 f(6)243 168.2.进位制(1)把二进制数 101 101(2)化为十进制数；(2)把十进制数 458 转化为四进制数(链接教材 P41例 3、例 4)解(1)101 101(2)1250241231220211203284145，所以二进制数 101 101(2)转化为十进制数为 45.(2)45813 02

10、2(4)互动探究将本例(1)中的二进制数 101 101(2)转化为三进制数解：101 101(2)12502412312202112045，451 200(3)，101 101(2)1 200(3)方法归纳(1)将 k 进制转化为十进制的方法是：先将这个 k 进制数写成各个数位上的数字与 k 的幂的乘积之和的形-5-/12doc 格式 可编辑式，再按照十进制的运算规则计算出结果(2)十进制转化为 k 进制，采用除 k 取余法，也就是除基数，倒取余3(1)二进制数算式 1 010(2)10(2)的值是()A1 011(2)C1 101(2)B1 100(2)D1 000(2)解析：选 B.二进

11、制数的加法是逢二进一，所以选 B.(2)下列各组数中最小的数是()A1 111(2)C1 000(4)B210(6)D101(8)解析：选 A.统一化为十进制数为 1 111(2)15；210(6)78；1 000(4)64；101(8)65.易错警示因忽略零系数项而致误利用秦九韶算法求多项式 f(x)x65x56x4x23x2 当 x2 时的值为()A320C320B160D300解析将多项式变式为 f(x)(x5)x6)x0)x1)x3)x2，v01，v12(5)7，v27(2)620，v320(2)040，v440(2)181，v581(2)3159，v6159(2)2320.答案A错因

12、与防范(1)考虑 x2 而认为多项式的值为负值(2)易忽略多项式中系数为 0 的项，致使多项式改写不正确(3)解题时注意多项式变形后有几次乘法和几次加法(4)要注意所给多项式的项数，特别是系数为 0 的项4(1)用秦九韶算法计算多项式 f(x)1235x8x26x45x53x6在 x4 时的值时，v3的值为()A144C57B136D34解析：选 B.根据秦九韶算法多项式可化为f(x)(3x5)x6)x0)x8)x35)x12.由内向外计算 v03；v13(4)57；-6-/12doc 格式 可编辑v27(4)634；v334(4)0136.(2)已知多项式 f(x)3x58x43x35x21

13、2x6，则 f(2)_解析：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)(3x8)x3)x5)x12)x6.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当 x2 时的值v03，v132814，v2142325，v3252555，v455212122，v512226238，所以当 x2 时，多项式的值为 238.答案：2381下列关于利用更相减损术求 156 和 72 的最大公约数的说法中正确的是()A都是偶数必须约简B可以约简，也可以不约简C第一步作差为 1567284；第二步作差为 728412D以上都不对解析：选 B.约简是为了使运算更加简捷，故不一定要约简，A 错C 中第二步应为 8472

14、12，故选2用辗转相除法计算 294 与 84 的最大公约数时，需要做的除法次数是()A1B2C3D4解析：选 B.29484342，84422，至此公约数已求出3二进制数 1 101 111(2)化成十进制数是_解析：1 101 111(2)120121122123024125126111.答案：1114若 k 进制数 123(k)与十进制数 38 相等，则 k_解析：由 k 进制数 123 可知 k4.下面可用验证法：若 k4，则 38(10)212(4)，不合题意；若 k5，则 38(10)123(5)成立，所以 k5.-7-/12doc 格式 可编辑B.答案：5A.基础达标1.45 和

15、 150 的最大公约数和最小公倍数分别是()A5，150B15，450C450，15D15，150解析：选B.利用辗转相除法求 45 和 150 的最大公约数：15045315，45153，45 和 150 的最大公约数为 15.45 和 150 的最小公倍数为 15(4515)(15015)450，故选 B.2把 67 化为二进制数为()A1 100 001(2)B1 000 011(2)C110 000(2)D1 000 111(2)解析：选 B.把 67 化为二进制数为 1 000 011(2)3(2015三明高一检测)计算机中常用十六进制，采用数字 09 和字母 AF 共 16 个计算

16、符号与十进制的对应关系如下表：十六进制十进0123456789制例如用十六进制表示 DE1B，则(2F1)4()A6EB7CC5FDB0解析：选B.(2F1)4 用十进制可以表示为(2151)4124，而12416712，所以用十六进制表示为 7C，故选 B.4.若用秦九韶算法求多项式 f(x)4x5x22 当 x3 时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为()-8-/12doc 格式 可编辑0123456789ABCDEF111111012345A4，2B5，3C5，2D6，2解析：选 C.f(x)4x5x22(4x)x)x1)x)x2，所以需要做 5 次乘法运算和 2 次加减运算5

17、.(2015青海调研)已知一个 k 进制的数 132 与十进制的数 30 相等，那么 k 等于()A7 或 4B7C4D都不对解析：选 C.132(k)1k23k2k23k2，k23k230，即 k23k280，解得 k4 或 k7(舍去)6.三个数 72，120，168 的最大公约数是_解析：由更相减损术，得16812048，1204872，724824，482424，故 120 和 168 的最大公约数是 24.而 722448，482424，故 72 和 24 的最大公约数也是 24，所以 72，120，168 的最大公约数是 24.答案：247.(2015莱芜质检)已知函数 f(x)x

18、32x25x6，用秦九韶算法，则 f(10)_解析：f(x)x32x25x6(x22x5)x6(x2)x5)x6.当 x10 时，f(10)(102)105)106(8105)10675106756.答案：7568.(2015福州高一检测)三进制数 2022(3)化为六进制数为 abc(6)，则 abc_解析：2 022(3)23303223123062.三进制数 2022(3)化为六进制数为 142(6)，abc7.答案：7-9-/12doc 格式 可编辑9.已知函数 f(x)x33x24x5，试用秦九韶算法求 f(2)的值解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)x33x24x5

19、(x23x4)x5(x3)x4)x5.把 x2 代入函数式得f(2)(23)24)257.10.古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火向境内报告来犯敌人数，如图所示，烽火台上点火表示数字 1，未点火表示数字 0，约定二进制数对应的十进制数的单位是 1 000，请你计算一下，这组烽火台表示有多少敌人入侵？解：由题图可知这组烽火台表示的二进制数为 11 011(2)，它表示的十进制数为 11 011(2)12412302212112027，由于约定二进制数对应的十进制数的单位是 1 000，所以入侵的敌人的数目为 271 00027 000(人)B.能力提升1将十进制数 389

20、化成四进制数的末位是()A1B2C3D0解析：选 A.3894971，即第一次用 389 除以 4 余 1，而这就是最后一位数字2(2015盐城质检)m 是一个正整数，对于两个正整数 a，b，如果 ab 是 m 的倍数，则称 a，b 对模 m同余，用符号 ab(Mod m)表示，则下列各式中不正确的为()A127(Mod 5)B2110(Mod 3)C3420(Mod 2)D477(Mod 40)解析：选 B.逐一验证，对于 A，1275 是 5 的倍数；对于 B，211011 不是 3 的倍数；对于 C，342014 是 2 的倍数；对于 D，47740 是 40 的倍数，故选 B.3324

21、，243，135 三个数的最大公约数是_解析：324243181，243813，所以 243 与 324 的最大公约数是 81.又 13581154，8154127，542720，-10-/12doc 格式 可编辑所以 135 与 81 的最大公约数是 27.答案：274.在计算机的运行过程中，常常要进行二进制数与十进制数的转换与计算如十进制数 8 转换成二进制数是 1 000，记作 8(10)1 000(2)；二进制数 111 转换成十进制数是 7，记作 111(2)7(10)等二进制的四则运算，如 11(2)101(2)1 000(2)请计算：11(2)111(2)_，10 101(2)1

22、 111(2)_解析：由题可知，在二进制数中的运算规律是“满二进一”，11(2)111(2)10 101(2)，10 101(2)1 111(2)100 100(2)答案：10 101(2)100 100(2)5有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g、343 g、133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？解：先求 147 与 343 的最大公约数343147196，19614749，1474998，984949.所以 147 与 343 的最大公约数是 49.再求 49 与 133 的最大公约数1334984，844935，493514，351421，21147，1477.所以 147，343，133 的最大公约数为 7.所以每瓶最多装 7 g.6(选做题)已知 175(r)125(10)，求在这种进制里的数 76(r)应记成十进制的什么数？解：1r27r15r0125，r27r1200，r8 或 r15(舍去)，r8.76(r)76(8)78168062(10)感谢您使用本店文档您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）-11-/12doc 格式 可编辑-12-/12doc 格式 可编辑