概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明.pdf

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1、.1/30 第一章习题解答 1解：1=0,1,10；2=ini|0,1,100n,其中n为小班人数；3=,其中表示击中,表示未击中；4=yx,|22yx 1.2解：1事件CAB表示该生是三年级男生,但不是运动员；2当全学院运动员都是三年级学生时,关系式 CB 是正确的；3全学院运动员都是三年级的男生,ABC=C 成立；4当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时,A=B 成立.3解：1ABC；2ABC；3CBA；4CBA)(；5CBA；6CBCABA;CBA;BCACBACAB 4解：因 ABCAB,则 PABCPAB可知 PABC=0 所以 A、B、C 至少有一个发生的概率为 PABC=

2、PA+PB+PC-PAB-PAC-PBC+PABC=31/4-1/8+0=5/8 5解：1PAB=PA+PB-PAB=0.3+0.8-0.2=0.9)(BAP=PA-PAB=0.3-0.2=0.1 2因为 PAB=PA+PB-PABPA+PB=+,所以最大值 maxPAB=min；又 PAPAB,PBPAB,故最小值 min PAB=max 6解：设 A 表示事件最小为 5,B 表示事件最大为 5.由题设可知样本点总数310Cn,2425,CkCkA.所以 31025CCAP121；31024CCBP201 7解：设 A 表示事件甲、乙两人相邻,若n个人随机排成一列,则样本点总数为!n,!2!

3、.1 nkA,若n个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置,再考虑乙的位置.i表示按逆时针方向.2/30 乙在甲的第i个位置,1,.,2,1ni.则样本空间=121,.,n,事件 A=11,n所以 8解：设 A 表示事件偶遇一辆小汽车,其牌照中有数 8,则其对立事件A表示偶遇一辆小汽车,其牌照中没有数 8,即中每一位都可从除 8 以外的其他 9 个数中取,因此A包含的基本事件数为449119,样本点总数为410.故 9解：设 A、B、C 分别表示事件恰有 2 件次品、全部为正品、至少有 1 件次品.由题设知样本点总数410Cn,472723,CkCCkBA,61,103nkBPnkAPBA,

4、而CB,所以 10解：设 A、B、C、D 分别表示事件5X 牌为同一花色、3X 同点数且另 2X 牌也同点数、5X 牌中有 2 个不同的对没有 3X 同点、4X 牌同点数.样本点总数552Cn,各事件包含的基本事件数为241123411351314,CCCCkCCkBA 148441131442424213,CCCkCCCCkDC故所求各事件的概率为：11解：2.05.07.0,4.01BAPAPABPBPBP 1972.04.07.07.0|BAPABAPBAAP 2929.02.0|BAPABPBAABP 3 852.015.0|BAPBAPBAAP 12解：令 A=两件产品中有一件是废品

5、,B=两件产品均为废品,C=两件产品中有一件为合格品,D=两件产品中一件是合格品,另一件是废品.则 所求概率为：1 121|mMmAPABPABP 2 12|mMmCPCDPCDP 13解：设 A、B、C 分别表示事件甲、乙、丙得病,由已知有：PA=0.05 PB|A=0.4 PC|AB=0.8 则甲、乙、丙均得病的概率为：.3/30 PABC=PAPB|APC|AB=0.016 14解：令2,1,0,ii，Ai名中国旅游者有从甲团中任选两人 B=从乙团中随机选一人是中国人,则：由全概率公式有：2020222|iimniminiibaiaCCCABPAPBP 15解：令 A=天下雨,B=外出购

6、物则：PA=0.3,PB|A=0.2,PB|A=0.9（1）PB=PAPB|A+PAPB|A=0.69（2）PA|B=232|BPABPAP 16解：令 A=学生知道答案,B=学生不知道答案,C=学生答对 PA=0.5 PB=0.5 PC|A=1 PC|B=0.25 由全概率公式：PC=PAPC|A+PBPC|B =0.5+0.50.25=0.625 所求概率为：PA|C=8.0625.05.0 17解：令事件2,1,iiAi次取到的零件是一等品第 2,1,iiBi箱取到第则 5.021BPBP 1 4.030185.050105.0|2121111BAPBPBAPBPAP 2 4.0|221

7、2121112112BAAPBPBAAPBPAPAAPAAP 18证明：因BAPBAP|则 经整理得：BPAPABP 即事件 A 与 B 相互独立.19解：由已知有 41BAPBAP,又 A、B 相互独立,所以 A 与B相互独立；A与 B相互独立.则可从上式解得：PA=PB=1/2 20解：设A密码被译出,iA第 i 个人能译出密码,i=1,2,3 则41)(,31)(,51)(321APAPAP)()(321AAAPAP又321,AAA相互独立,.4/30 因此)(1)(321AAAPAP)()()(1321APAPAP 6.0)411)(311)(511(1 21解：设iA第i次试验中 A

8、 出现,4,3,2,1i则此 4 个事件相互独立.由题设有：解得 PA=0.2 22解：设 A、B、C 分别表示事件：甲、乙、丙三门大炮命中敌机,D 表示敌机被击落.于是有 D=BCACBACABABC故敌机被击落的概率为：=0.902 23解：设 A、B、C 分别表示事件：甲、乙、丙三人钓到鱼,则 PA=0.4,PB=0.6,PC=0.9（1）三人中恰有一人钓到鱼的概率为：=0.40.40.1+0.60.60.1+0.60.40.9=0.268（2）三人中至少有一人钓到鱼的概率为：=1-0.60.40.1 =0.976 24解：设 D=甲最终获胜,A=第一、二回合甲取胜；B=第一、二回合乙取

9、胜；C=第一、二回合甲、乙各取胜一次.则：2,22CPBPAP .|,0|,1|DPCDPBDPADP由全概率公式得：所以 PD=212 25解：由题设 500 个错字出现在每一页上的机会均为 1/50,对给定的一页,500 个错字是否出现在上面,相当于做 500 次独立重复试验.因此出现在给定的一页上的错字个数服从二项概率公式,所以所求概率为：P=5002500500491115005005050505030110.9974kkkkkkkkCC 26解：设 A=厂长作出正确决策.每个顾问向厂长贡献意见是相互独立的,因此 5 个顾问向厂长贡献正确意见相当于做 5 次重复试验,则所求概率为：PA

10、=53554.06.0kkkkC0.3174 附综合练习题解答 一、填空题 10.3;3/7;0.6.5/30 20.829;0.988 30.2;0.2 40 52/3 67/12 71/4 82/3 9 765361310C 103/64 二、选择题 1.C;2.D;3.D;4.D;5.B;6.B;7.B;8.C;9.C;10.D 三、1.1假；2假；3假；4真；5真 2.解：设 A=所取两球颜色相同 样本点总数为541619CCn,若 A 发生,意味着都取到黑球或白球,故 A 包含的基本事件数为1221213CCk,所以 PA=2/9 3.解：设 A=第三次才取得合格品 3,2,1,ii

11、Ai次取得合格品第 则321AAAA 213121|AAAPAAPAPAP=12078792103 4.解：从 0,1,9 中不放回地依次选取 3 个数,组成一个数码.若 0 在首位,该数码为两位数,否则为三位数,于是可组成的数有 1098=720 个.（1）设 A=此数个位为 5,7289Ak,PA=1/10（2）设 B=此数能被 5 整除,892Bk,PB=1/5 5.解：设 A=系统可靠,5,.,1,iiAi工作正常元件,由全概率公式有：当第 3 号元件工作不正常时,系统变为如下：1 2 4 5 图 1 当第 3 号元件工作正常时,系统变为如下：1 2 4 5 图 2 2232|PPAA

12、P 从而 6.解：设 A=某人买到此书,iA=能从第i个新华书店买到此书,3,2,1i.6/30 由题设 412121321APAPAP 故所求概率为：6437321AAAPAP 第二章习题解答 1.设)(1xF与)(2xF分别是随机变量 X 与 Y 的分布函数,为使)()(21xbFxaF是某个随机变量的分布函数,则ba,的值可取为.A.52,53baB.32,32ba C.23,21baD.23,21ba 2.一批产品 20 个,其中有 5 个次品,从这批产品中随意抽取 4 个,求这 4 个产品中的次品数X的分布律.解：因为随机变量X这 4 个产品中的次品数 X的所有可能的取值为：0,1,

13、2,3,4.且401554209100.2817323C CP XC；3115542045510.4696969C CP XC；221554207020.2167323C CP XC；131554201030.0310323C CP XC；04155420140.0010969C CP XC.因此所求X的分布律为：X 0 1 2 3 4 P 0.2817 0.4696 0.2167 0.0310 0.0010 3 如果X服从 0-1 分布,又知X取 1 的概率为它取 0 的概率的两倍,写出X的分布律和分布函数.解：设1P xp,则01P xp.由已知,2(1)pp,所以23p X的分布律为：X

14、 0 1.7/30 P 1/3 2/3 当0 x 时,()0F xP Xx；当01x时,1()03F xP XxP X；当1x时,()011F xP XxP XP X.X的分布函数为：00()1/30111xF xxx .4.一批零件中有 7 个合格品,3 个不合格品,安装配件时,从这批零件中任取一个,若取出不合格品不再放回,而再取一个零件,直到取得合格品为止,求在取出合格品以前,已取出不合格品数的概率分布.解：设 X=在取出合格品以前,已取出不合格品数.则 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3.7010P x；377110 930P x；32 77210 9 8120P x；32 1 71

15、310 9 8 7120P x.所以 X 的概率分布为：X 0 1 2 3 P 7/10 7/30 7/120 1/120 5.从一副扑克牌52X中发出 5X,求其中黑桃 X 数的概率分布.解：设 X其中黑桃 X 数.则 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3,4,5.051339552210900.22159520C CP xC；1413395522741710.411466640C CP xC；2313395522741720.274399960C CP xC；3213395521630230.0815199920C CP xC；41133955242940.010739984C CP x

16、C；.8/30 5013395523350.000566640C CP xC.所以 X 的概率分布为：X 0 1 2 3 4 5 P 0.2215 0.4114 0.2743 0.0815 0.0107 0.0005 6.自动生产线在调整之后出现废品的概率为 p,当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数X的概率函数.解：由已知,()XG p 所以()(1),0,1,2iP Xippi.7.一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿是相互独立的,且红、绿两种信号显示时间相同.以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数.求 X 的

17、概率分布.解：X的所有可能的取值为 0,1,2,3.且102P X；1111224P X；111122228P X；111132228P X；所以 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 1/2 1/4 1/8 1/8 8.一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训,据以前的培训情况,估计大约有4%的培训者不能完成培训任务.求：（1）恰有 6 个人不能完成培训的概率；（2）不多于 4 个的概率.解：设 X不能完成培训的人数.则(100,0.04)XB,1669410060.040.960.1052P XC;24100100040.040.960.629kkkkP XC.9.一批产品的接收者

18、称为使用方,使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率 p 接受一批产品的概率.假设你是使用方,允许次品率不超过05.0p,你方的验收标准为从这批产品中任取 100 个进行检验,若次品不超过 3 个则接受该批产品.试求使用方风险是多少？假设这批产品实际次品率为 0.06.解：设 X100 个产品中的次品数,则(100,0.06)XB,.9/30 所求概率为10010033(0.06)(0.94)0.1430kkkkP XC.10.甲、乙两人各有赌本 30 元和 20 元,以投掷一枚均匀硬币进行赌博.约定若出现正面,则甲赢 10 元,乙输 10 元；如果出现反面,则甲输 10 元,乙赢 10 元.

19、分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布与相应的概率分布函数.解：设甲X投掷一次后甲的赌本,乙X投掷一次后乙的赌本.则甲X的取值为 20,40,且 120402P XP X甲甲,110302P XP X乙乙,所以甲X与乙X的分布律分别为：甲X 20 40 乙X 10 30 p 1/2 1/2 p 1/2 1/2 0,201,204021,40XxFxxx甲（）,0,101,103021,30XxFxxx乙（）11.设离散型随机变量X的概率分布为：12,1,2,100kP Xkak；22,1,2,kP Xkak,分别求1、2中常数a的值.解：1因为1001001121,kkkP Xka 即100

20、2(12)112a,所以)12(21100a.因为1121,kkkP Xka 即121112a,所以1a.12.已知一 交换台服从4的泊松分布,求：1每分钟恰有 8 次传唤的概率；2每分钟传唤次数大于 8 次的概率.解：设 X每分钟接到的传唤次数,则()XP,查泊松分布表得 18890.05110.02140.0297P XP XP X；.10/30 280.02136P X.13.一口袋中有 5 个乒乓球,编号分别为 1、2、3、4、5,从中任取 3 个,以示 3 个球中最小,写出X的概率分布.解：X的所有可能的取值为 1,2,3.2435631105CP xC；23353210CP xC；

21、22351310CP xC.所以 X 的概率分布为：X 1 2 3 P 6/10 3/10 1/10 14.已知每天去图书馆的人数服从参数为(0)的泊松分布.若去图书馆的读者中每个人借书的概率为(01)pp,且读者是否借书是相互独立的.求每天借书的人数 X 的概率分布.解：设Y 每天去图书馆的人数,则()YP,当Yi时,(,)XB i p,即 X 的概率分布为()e,0,1,2,!kppP Xkkk.15.设随机变量X的密度函数为 ,010,x b axf(x)其它,且3131XPXP,试求常数a和b.解：1301()3183abP Xaxb dx；113142()393abP Xaxb dx

22、,由421183932abab得,71.5,.4ab 16.服从柯西分布的随机变量的分布函数是 F=A+Bxarctan,求常数 A,B;.11/30 1P X 以与概率密度 f.解：由()lim(arctan)02()lim(arctan)12xxFABxABFABxAB 得121AB.所以11()arctan2F xx；1 11(1)(1)0.5P XPxFF；211()()1f xF xx.17.设连续型随机变量X的分布函数为 求：1常数A的值；2X的概率密度函数)(xf；32XP.解：1由()F x的连续性得(10)(10)(1)1FFF 即21lim1xAx,所以1A,20,0(),

23、011,1xF xxxx；22,01()()0,xxf xF x其他；32(2)1P XF.18.设随机变量X的分布密度函数为 ,01 ,1)(2其它当 xxAxf 试求：1系数A；2221XP；3X的分布函数)(xF.解：1因为111211()arcsin1Af x dxdxAxAx 所以1A,21 ,1()10 ,xf xx其它；2121112122211112()arcsin231PXf x dxdxxx；.12/30 当1x 时,()0f xP Xx,当01x时,21111()arcsin21xf xP Xxdtxt,当1x时,1211()11f xP Xxdtt,所以1,111,ar

24、csin1211,0 xxxxxF）（19.假设你要参加在11层召开的会议,在会议开始前5 min你正好到达10层电梯口,已知在任意一层等待电梯的时间服从 0 到 10 min 之间的均匀分布.电梯运行一层的时间为 10 s,从 11层电梯口到达会议室需要 20 秒.如果你不想走楼梯而执意等待电梯,则你能准时到达会场的概率是多少？解：设X=在任意一层等待电梯的时间,则(0,10)XU,由题意,若能准时到达会场,则在 10 等电梯的时间不能超过 4.5 min,所求概率为4.504.50.45100P X.20.设顾客在某银行窗口等待服务的时间Xmin服从51的指数分布.某顾客在窗口等待服务,若

25、超过 10 min,他就离开.若他一个月到银行 5 次,求：一个月内他未等到服务而离开窗口的次数Y的分布；求1YP.解：1由已知,1(),(5,)5XEYBp 其中10101101()pP XP Xf x dx 110250115e dxe 所以Y的分布为 55(1)kkkP YkC pp2255()(1),(0,1,2,3,4,5)kkkCeek；202 02 551101()(1)0.5167P YP YC ee .21.设随机变量)4,5(NX,求使：1903.0XP；201.05XP.解：由)4,5(NX得5(0,1)2XN.13/30 1555()0.903222XP XP 查标准正

26、态分布表得：51.32,所以6.7；2由01.05XP得,50.99PX 所以55PXPX 即()0.9952,查标准正态分布表得2.582,所以16.5 22.设)2,10(2NX,求210 ,1310XPXP.解：由)2,10(2NX得10(0,1)2XN 101013=P 01.5(1.5)(0)0.99320.50.49322XPX；10 11(1)(1)2(1)12 0.841310.68262XP .23.某地 8 月份的降水量服从185 mm,28 mm的正态分布,求该地区 8 月份降水量超过 250 mm的概率.解：设随机变量X该地 8 月份的降水量,则2(185,28)XN,

27、从而185(0,1)28XN 所求概率为 24.测量某一目标的距离时,产生的随机误差(cm)X服从正态分布)400,0(N,求在 3 次测量中至少有 1 次误差的绝对值不超过 30 cm的概率.解：由(0,400)XN得(0,1)20XN 设Y在 3 次测量中误差的绝对值不超过 30 cm的次数,则(3,)YBp 其中30 3030 1.51.5pP XPXPX 所以 P3 次测量中至少有 1 次误差的绝对值不超过 30 cm=1P Y 25.已知测量误差2(7.5,10)XN,X 的单位是 mm,问必须进行多少次测量,才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 mm的概率大于 0.9.解：设必

28、须进行 n 次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 mm的概率大于 0.9.14/30 由已知2(7.5,10)XN,7.5(0,1)10XN 设Yn 次测量中,绝对误差不超过10 mm的次数,则(,)YB n p 其中7.5100.25(0.25)0.598710XpP XP 所求概率为10.9P Y,即00.1P Y 000.59870.40130.1nnC,解之得,3n 必须进行 3 次测量,才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 mm的概率大于 0.9.26.参加某项综合测试的 380 名学生均有机会获得该测试的满分 500 分.设学生的得分)(2，NX,某教授根据得分X将学

29、生分成五个等级：A 级：得分)(X；B 级：)(X；C 级：X)(；D 级：)()2(X；F 级：)2(X.已知 A 级和 C 级的最低得分分别为 448 分和 352 分,则：1和是多少？2多少个学生得 B 级？解：1由已知,448352,解之得40048 201XPXP 由于 0.3413380=129.66,故应有 130 名学生得 B 级.27.已知随机变量X的概率分布如下,X -1 0 1 2 P 0.2 0.25 0.30 0.25 求13XY与12 XZ的概率分布.解：13XY的所有可能的取值为 4,1,-2,-5.且410.2P YP X；100.25P YP X；210.3P

30、 YP X；520.25P YP X.所以13XY的分布律为 13XY-5 -2 1 4 P 0.25 0.3 0.25 0.2 12 XZ的所有可能的取值为 1,2,5 且100.25P ZP X；.15/30 0,1 图 1 2110.5P ZP XP X；520.25P ZP X.所以12 XZ的分布律为 12 XZ 1 2 5 P 0.25 0.5 0.25 28.设随机变量)1,0(NX,求XY21的密度函数.解：由 XN,得2221)(xXexp,设XY21的分布函数为 FY,则 当 y1 时,121)(PyXPyYPyFY；当 y1 时,)21()21(1yFyFXX.即.1,0

31、,1),21()21(1)(yyyFyFyFXXY 29.随机变量 X 的概率密度为 求XYln的密度函数.解：由于 y=lnx 是一个单调函数,其反函数为yex,利用公式得 Y=lnX 的密度函数为 30.设通过点)1,0(的直线与 x 轴的交角在,0上服从均匀分布,求这直线在 x 轴上截距 X的密度函数.解：以 表示过0,1点的直线与 x 轴的交角,见图 1.由题意知：随机变量 在内服从均匀分 布,故得 的概率密度为 设随机变量 X 表示直线在 x 轴上的截矩,易知 ctgX,即ctgX,其分布函数为：)()(xarcctgFxarcctgP.其密度函数为 第三章习题解答 1.设随机变量的

32、联合分布为.16/30 若 X,Y 相互独立,则 A .A.91,92ba B.92,91ba C.31,31ba D.31,32ba 解：根据离散型随机变量独立性的定义,px=1y=2=px=1py=2 即：1/9=1/6+1/9+1/18 1/9+a得：a=2/9 px=1y=3=px=1py=3 得：b=1/9 2.同时掷两颗质体均匀的骰子,以 X,Y 分别表示第 1 颗和第 2 颗骰子出现的点数,则.A.1,1,2,636P Xi Yji j B.361 YXP C.21 YXP D.21 YXP 解：根据离散型随机变量独立性的定义,因为所有的样本点为1,1 1,2 1,3 1,4 1

33、,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6一直到6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6共 36个 X=Y 共 6 个,故 B 选项16P XY,则 C 选项56P XY XY 的样本点数为 21 个,2136P XY 3.若),(),(222211NYNX,且 X,Y 相互独立,则.A.)(,(22121NYX B.),(222121NYX C.)4,2(2222121NYX D.)2,2(2222121NYX 参看课本 69 页推论 2：随机变量)21()(2niNXiii，,且nXXX,21相互独立,常数naaa,21不全为零,则有 4.已 知(3,1),(2,1

34、),XNYNX Y且相 互 独 立,记,72YXZ则Z.A.)5,0(N B.)12,0(N C.)54,0(N D.)2,1(N 5.已知的密度函数为 则 C 的值为.A.21 B.22 C.12 D.12 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 a b X Y.17/30 解：根据二维随机变量密度函数的性质：()d d1f xyx y，即：4400sin()d d1cxy x y 解得：c=12 6为使(23)e,0(,)0,xyAx yf x y其他为二维随机向量的联合密度,则 A 必为.A.0 B.6 C.10 D.16 解：同上题类似 7.设(,)X Y的密度函数为23

35、,02,01(,)20,xyxyf x y其他,则在以,为顶点的三角形内取值的概率为.A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8 解：以,为顶点的三角形内,密度函数解析式不唯一.以,为顶点的三角形内,23(,)2f x yxy 以,为顶点的三角形内,(,)0f x y 所以,2120232xpdxxy dy=0.6 8.设X,Y的联合密度函数为 判断X与Y是否相互独立.解：根据课本 62 页定理 1,先求(),()xYfxfy,然后看()()(,)xYfx fyf x y是否成立.经判断,不独立 9一个袋中有 4 个球,分别标有数字 1、2、2、3,从袋中随机取出 2 个球,令X、Y分别表

36、示第一个球和第二个球上的,求：X,Y的联合分布列.解：根据实际意义得：px=1y=1=0 px=3y=3=0 其它概率直接求即可.Y X 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0 10设随机变量X和Y的分布如下：X 1 0 1 Y 0 1 P 412141 p 2121 又已知01P XY,试求),(YX的联合分布,并判断X和Y是否独立.18/30 解：由01P XY 得：px=-1y=1=0,px=1y=1=0 根据联合分布和边缘分布的关系,py=1=1/2,得 px=0y=1=1/2 px=0=1/2,得 px=0y=0=0,px=1=1/

37、4,得 px=1y=0=1/4 px=-1=1/4,得 px=-1y=0=1/4 联合分布为：Y X 0 1-1 1/4 0 0 0 1/2 1 1/4 0 因为 px=0y=1=1/2,而 px=0 py=1=1/4,所以 X,Y 不独立 11设),(YX的分布列如下,写出X与Y的边缘分布.X,Y -1,1-1,3 2,0 P 1/6 1/3 1/12 5/12 解：根据联合分布和边缘分布的关系得：X-1 0 2 Y 0 1 3 ip 5/12 1/6 5/12 jp 7/12 1/3 1/12 12设二维随机变量X,Y的密度函数为 求常数C与边缘分布密度函数.解：考查二维随机变量密度函数的

38、性质与密度函数与边缘密度函数的关系 由()d d1f xyx y，得：(1)00d d1x yCxex y 所以 C=1 边缘密度公式：()()dYfyf xyx，()()dyXfxf xy，带入得：0,00,)(xxexfxX,0,00,)1(1)(2yyyyfY 13.设二维随机变量X,Y的密度函数为（1）求X和Y的边缘密度,并判断X和Y是否独立；2求1YXP 解：1与上题类似,判断是否独立,看()()(,)xYfx fyf x y是否成立.（2）求区域上的概率.即高等数学上求二重积分.1YXP=122011(+xy)dydx3xx=65/72 14.独立投掷一枚均匀的骰子两次,记B、C为

39、两次中各出现的点数,求一元二次方程02CBxx有实根的概率和有重根的概率.解：方程有实根即22404BCBC,参看选择第二题,样本点数为 19,故 P=19/36.方程有重根即22404BCBC,样本点为 2 个,P=2/36.15.证明二维正态随机变量),(YX相互独立的充要条件是0.19/30 证明：参见教材 61 页例 3.16.设G是由直线0y,8 yx与0 x所围成的三角形区域,二维随机变量),(YX在G上服从均匀分布,求：),(YX的联合概率密度；2,X Y的边缘分布密度函数;条件密度|(|)Y Xfy x和|(|)X Yfx y.解：1 由均 匀 分 布的 定 义 64 页例 6

40、 ,D 为平面上面积为 A 的有界区域.其它，0)(1)(DyxAyxf 求区域的面积A=32,所以其他080,80321,xyxyxf 2边缘密度公式：()()dYfyf xyx，()()dyXfxf xy，,将密度函数带入得 其他080328xxxfX,其他080328yyyfY 3条件密度公式：|,Y XXf x yfy xfx|,X YYf x yfx yfy 17设随机变量X与Y相互独立,且分别服从参数为1和2的泊松分布,求YXZ的概率分布.解：11()!kP Xkek,22()!kP Ykek,1,2,k 即 Z 服从参数为1+2的泊松分布.18设X,Y的概率分布为：Y X-1 1

41、 2-1 5/20 2/20 6/20 2 3/20 3/20 1/20 求：YXZ1和2ZX Y的分布列.解：考查离散型随机变量函数的分布,参看课本 67 页例 1 YXZ1-2 0 1 3 4 .20/30 P 5/20 2/20 9/20 3/20 1/20 XYZ2 -1 -2 1 2 4 P 2/20 9/20 5/20 3/20 1/20 19.系统管理设某系统L由两个相互独立的子系统1L与2L连接而成,已知1L与2L的寿命单位：年分别为随机变量X与Y,它们的分布密度为 式中的,1L与2L的连接方式为1串联；2并联；3留2L备用.若系统L的寿命为Z,试求Z的分布密度,若2.0,1.

42、0,试求10P Z.解：串联的情况.由于当 L1和 L2中有一个损坏时,系统 L 就停止工作,所以这时 L 的寿命为 Z=min 不难求得X与分布函数分别为 于是 Z=min的分布函数 Z=min的密度函数 并联的情况.由于当且仅当 L1和 L2都损坏时,系统 L 才停止工作,所以这时 L 的寿命为 Z=max 其分布函数 于是 Z=max的密度函数 备用的情况.由于当 L1损坏时才启用 L2,因此系统 L 的寿命是 L1和 L2两者寿命之和,即有 Z=X+Y 于是,当 z0 时 Z 的密度函数为 当0z 时()0Zfz,所以 第四章习题解答 1设随机变量 XB30,61,则 EX.A.61；

43、B.65；C.625；D.5.2 已知随机变量 X 和 Y 相互独立,且它们分别在区间-1,3和2,4上服从均匀分布,则 E=A.A.3；B.6；C.10；D.12.因为随机变量 X 和 Y 相互独立所以()()()3E XYE X E Y 3设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为 0.4,则 X2的数学期望 E_18.4_ 4某射手有 3 发子弹,射一次命中的概率为32,如果命中了就停止射击,否则一直射到子弹用尽设表示 X 耗用的子弹数求 EX.21/30 解：X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/9 5设 X 的概率密度函数为 求2(),().E XE X

44、 解：12201()()(2)1E Xxf x dxx dxxx dx,122232017()()(2)6E Xx f x dxx dxxx dx.6设随机向量的联合分布律为：Y X-1 1 2-1 0.25 0.1 0.3 2 0.15 0.15 0.05 求(),(),().E XE YE XY 解：X-1 2 P 0.65 0.35()0.650.3520.05E X .Y-1 1 2 P 0.4 0.25 0.35 7设二维随机向量X,Y的联合概率密度为 求1()E XY;()E XY.解：()()(,)E XYxy f x y dxdy 0()3yxxy e dy dx 8设随机变量

45、 X 与 Y 相互独立,且 D=1,D=2,则 D=3.9 设正方形的边长在区间 0,2 服从均匀分布,则正方形面积 A=X2的方差为_64/45_.41()1,(),123E XD XX 的密度函数1/2,02()0 xf x，其他 10设随机变量 X 的分布律为 X-1 0 1 2 P 1/5 1/2 1/5 1/10 求 D.解：22()()()D XE XE X,1111()10 1255105E X ,22221114()(1)0 1255105E X,.22/30 224119()()()52525D XE XE X.11设随机变量 X 的概率密度函数为|1()e2xf x,求 D

46、 解：1()()02xE Xxf x dxxedx,22201()()222xE Xx f x dxx e dx,22()()()2D XE XE X.12设随机变量 X,Y 相互独立,其概率密度函数分别为 求 D,D,D 解：由本章习题 5 知()1E X,27()6E X,于是有 221()()()6D XE XE X.由(1)YE知()()1E XD X.由于随机变量 X,Y 相互独立,所以 7()()()6D XYD XD Y.13设 D=1,D=4,相关系数0.5XY,则 cov=_1_.cov=()()1XYD X D Y 14设二维随机变量的联合密度函数为 求 cov,XY 解：

47、()(,)E Xxf x y dxdy 22001sin()24xxy dxdy,22011(cos+sin)2282xx dx,2221()()()2162D XE XE X.由对称性()()4E YE X,21()()2162D YD X.cov=22()()()().24E XYE X E Y=-00461，15设二维随机变量有联合概率密度函数 试求 E,E,cov,XY.23/30 解：()(,)E Xxf x y dxdy 220017()86x xy dxdy,由对称性7()6E Y.220014()()(,)()()83E XYxy f x y dxdyxyxy dxdy ,co

48、v=1()()()36E XYE X E Y.222220015()()(,)()()83E Xxf x y dxdyxxy dxdy ,2211()()()36D XE XE X.由对称性11()36D Y.16设 X,Y 相互独立,XN,YN,Z=X+2Y,试求 X 与 Z 的相关系数 解：cov(,)cov(,2)()2cov(,)1 01X ZX XYD XX Y,()(2)()4()9D ZD XYD XD Y,cov(,)13()()xzx zD X D Z.17 设随机变量XN,Y 在0,6上服从均匀分布,相关系数12XY,求 1(2)E XY；2(2)D XY.解：(2)()2

49、()52 31E XYE XE Y ,18设二维随机向量X,Y的概率密度为 求1EXY；2EXY；3XY.解：100()()(,)2()1xE XYxy f x y dxdyxy dy dx ;1001()()(,)2()4xE XYxy f x y dxdyxy dxdy ;cov=1()()()36E XYE X E Y 221()()()18D XE XE X,221()()()18D YE YE Y 第五章习题解答 1.设随机变量X的方差为 2,则根据车比雪夫不等式有估计()2P XE X 1/2 .24/30 2.随机变量X和Y的数学期望分别为-2 和 2,方差分别为 1 和 4,相

50、关系数为-0.5,则根据车比雪夫不等式有估计6PXY1/12.3.电站供应一万户用电 设用电高峰时,每户用电的概率为 09,利用中心极限定理,1计算同时用电的户数在 9030 户以上的概率；2若每户用电 200 w,电站至少应具有多大发电量才能以 095 的概率保证供电？解：设X表示用电户数,则 由中心定理定理 4得 设发电量为Y,依题意 即900090002000.95900900YXP 4.某车间有 150 台同类型的机器,每台机器出现故障的概率都是 002,设各台机器的工作是相互独立的,求机器出现故障的台数不少于 2 的概率 解：设X表示机器出故障的台数,则(150,0.02)XB 5.