正弦定理和余弦定理(含解析答案).pdf

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1、第 1 页 共 6 页正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理A A 级级保大分专练保大分专练sinsin A Acoscos B B1 1在在ABCABC 中，内角中，内角 A A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为 a a，b b，c c.若若a ab b，则，则 B B 的大小为的大小为()A A3030 C C6060 B B4545 D D9090 sinsin A Acoscos B B解析：解析：选选 B B由正弦定理知，由正弦定理知，sinsin A Asinsin B B sinsin B Bcoscos B B，B B4545.2 2在在ABCABC 中，内角中，内角 A

2、 A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为 a a，b b，c c.已知已知 b b4040，c c2020，C C6060，则此三角形的解的情况是则此三角形的解的情况是()A A有一解有一解C C无解无解解析：解析：选选 C C由正弦定理得由正弦定理得404020203 32 2B B有两解有两解D D有解但解的个数不确定有解但解的个数不确定b bc c，sinsin B Bsinsin C C sinsin B Bb bsinsin C Cc c 31.31.角角 B B 不存在，即满足条件的三角形不存在不存在，即满足条件的三角形不存在a a3 3(2018(2018重庆六校联考重庆六

3、校联考)在在ABCABC 中，中，coscos B Bc c(a a，b b，c c 分别为角分别为角 A A，B B，C C 的对边的对边)，则则ABCABC 的形状为的形状为()A A直角三角形直角三角形C C等腰三角形等腰三角形B B等边三角形等边三角形D D等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形a a2 2c c2 2b b2 2a aa a解析：解析：选选 A A因为因为 coscos B B，由余弦定理得，由余弦定理得，整理得，整理得b b2 2a a2 2c c2 2，即，即C C 为为c cc c2 2acac直角，则直角，则ABCABC 为直角三角形为直角三角形4 4在

4、在ABCABC 中，中，a a，b b，c c 分别是内角分别是内角 A A，B B，C C 的对边若的对边若 b bsinsin A A3 3c csinsin B B，a a3 3，2 2coscos B B，则，则 b b()3 3A A1414C.C.1414B B6 6D.D.6 6解析：解析：选选 D D b bsinsin A A3 3c csinsin B Babab3 3bcbca a3 3c cc c1 1，b b2 2a a2 2c c2 22 2acaccoscos B B9 91 1第 2 页 共 6 页2 22 23 31 1 6 6，b b 6.6.3 35 5(

5、2019(2019莆田调研莆田调研)在在ABCABC 中，内角中，内角A A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为 a a，b b，c c，若，若a asinsin B Bcoscos C C1 1c csinsin B Bcoscos A A b b，且，且 a a b b，则，则 B B()2 2 A.A.6 622C.C.3 3 B.B.3 355D.D.6 61 1解析：解析：选选 A A a asinsin B Bcoscos C Cc csinsin B Bcoscos A A b b，根据正弦定理可得根据正弦定理可得 sinsin A Asinsin B Bcoscos C

6、Csinsin2 21 11 11 1C Csinsin B Bcoscos A A sinsin B B，即即 sinsin B B(sin(sin A Acoscos C Csinsin C Ccoscos A A)sinsin B B sinsin B B0 0，sin(sin(A AC C)，2 22 22 21 1 即即 sinsin B B.a a b b，A A B B，即，即 B B 为锐角，为锐角，B B.2 26 66 6(2019(2019山西大同联考山西大同联考)在在ABCABC 中，角中，角 A A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为 a a，b b，c c，若

7、，若 2(2(b bcoscos A Aa acoscos B B)c c2 2，b b3,3cos3,3cos A A1 1，则，则 a a()A.A.5 5C.C.1010B B3 3D D4 4解析：解析：选选 B B由正弦定理可得由正弦定理可得 2(sin2(sin B Bcoscos A Asinsin A Acoscos B B)c csinsin C C，2(sin2(sin B Bcoscos A Asinsin A Acoscos B B)2sin(2sin(A AB B)2sin2sin C C，2sin2sin C Cc csinsin C C，sinsin C C00，

8、c c2 2，由余弦定理得，由余弦定理得 a a2 2b b2 2c c2 22 2bcbccoscos A A3 32 22 22 21 12 23 32 2 9 9，a a3.3.3 37 7在在ABCABC 中，中，ABAB 6 6，A A7575，B B4545，则，则 ACAC_._.解析：解析：C C180180 7575 4545 6060，ABABACAC由正弦定理得由正弦定理得，sinsin C Csinsin B B即即ACAC6 6，解得，解得 ACAC2.2.sin 60sin 60sin 45sin 45答案答案：2 21 18 8设设ABCABC 的内角的内角 A

9、A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为 a a，b b，c c，且，且 a a2 2，coscos C C，3sin3sin A A4 42sin2sin B B，则，则 c c_._.解析：解析：3sin3sin A A2sin2sin B B，3 3a a2 2b b.又又a a2 2，b b3.3.第 3 页 共 6 页由余弦定理可知由余弦定理可知 c c2 2a a2 2b b2 22 2ababcoscos C C，1 1 1616，c c4.4.c c2 22 22 23 32 22 22 23 3 4 4 答案：答案：4 49 9(2018(2018浙江高考浙江高考)在在A

10、BCABC 中，角中，角 A A，B B，C C 所对的边分别为所对的边分别为 a a，b b，c c.若若 a a 7 7，b b2 2，A A6060，则，则 sinsin B B_，c c_._.a ab b解析：解析：由正弦定理由正弦定理，sinsin A Asinsin B Bb b2 23 32121得得 sinsin B B sinsin A A.a a7 77 72 2由余弦定理由余弦定理 a a2 2b b2 2c c2 22 2bcbccoscos A A，得得 7 74 4c c2 24 4c ccos 60cos 60，即即 c c2 22 2c c3 30 0，解得，

11、解得 c c3 3 或或 c c1(1(舍去舍去)答案：答案：21213 37 71010在在ABCABC 中，中，a a，b b，c c 分别为角分别为角 A A，B B，C C 所对的边，所对的边，sinsin A A，sinsin B B，sinsin C C 成等差成等差数列，且数列，且 a a2 2c c，则，则 coscos A A_._.解析：解析：因为因为 sinsin A A，sinsin B B，sinsin C C 成等差数列，所以成等差数列，所以 2sin2sin B Bsinsin A Asinsin C C由正弦定理由正弦定理3 3得得 a ac c2 2b b，又

12、因为，又因为 a a2 2c c，可得，可得 b b c c，所以，所以 coscos A A2 21 1答案：答案：4 41111在在ABCABC 中，内角中，内角 A A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为 a a，b b，c c，且，且 A A2 2B B.(1)(1)求证：求证：a a2 2b bcoscos B B；(2)(2)若若 b b2 2，c c4 4，求，求 B B 的值的值解：解：(1)(1)证明：因为证明：因为 A A2 2B B，所以由正弦定理，所以由正弦定理2 2b bcoscos B B.(2)(2)由余弦定理，由余弦定理，a a2 2b b2 2c c2

13、22 2bcbccoscos A A，因为因为 b b2 2，c c4 4，A A2 2B B，3 3所以所以 1616c cosos2 2B B4 4161616cos 216cos 2B B，所以，所以 c cosos2 2B B，4 4因为因为 A AB B2 2B BB B，a ab ba ab b，得，得，所以，所以 a asinsin A Asinsin B Bsin 2sin 2B Bsinsin B Bb b2 2c c2 2a a2 22 2bcbc9 92 22 2c c c c 4 4c c2 24 41 1.3 34 42 2 c c2 22 2第 4 页 共 6 页

14、3 3 所以所以 B B ，所以，所以 coscos B B，所以，所以 B B.3 32 26 61212(2019(2019绵阳模拟绵阳模拟)在在ABCABC 中，中，a a，b b，c c 分别为内角分别为内角 A A，B B，C C 的对边，且的对边，且 2 2a asinsin A A(2(2b bc c)sin)sin B B(2(2c cb b)sin)sin C C.(1)(1)求求 A A 的大小；的大小；(2)(2)若若 sinsin B Bsinsin C C1 1，试判断，试判断ABCABC 的形状的形状解：解：(1)(1)由已知，结合正弦定理，由已知，结合正弦定理，得

15、得 2 2a a2 2(2(2b bc c)b b(2(2c cb b)c c，即，即 a a2 2b b2 2c c2 2bcbc.又由余弦定理，得又由余弦定理，得 a a2 2b b2 2c c2 22 2bcbccoscos A A，1 1所以所以 bcbc2 2bcbccoscos A A，即，即 coscos A A.2 222由于由于 A A 为为ABCABC 的内角，所以的内角，所以 A A.3 3(2)(2)由已知由已知 2 2a asinsin A A(2(2b bc c)sin)sin B B(2(2c cb b)sin)sin C C，结合正弦定理，得结合正弦定理，得 2

16、sin2sin2 2A A(2sin(2sin B Bsinsin C C)sin)sin B B(2sin(2sin C Csinsin B B)sin)sin C C，223 3即即 sinsin2 2A Asinsin2 2B Bsinsin2 2C Csinsin B Bsinsin C Csinsin2 2.3 34 4又由又由 sinsin B Bsinsin C C1 1，得得 sinsin2 2B Bsinsin2 2C C2sin2sin B Bsinsin C C1 1，1 1所以所以 sinsin B Bsinsin C C，结合，结合 sinsin B Bsinsin

17、C C1 1，4 41 1解得解得 sinsin B Bsinsin C C.2 2 因为因为 B BC C A A，所以，所以 B BC C，3 36 6所以所以ABCABC 是等腰三角形是等腰三角形B B 级级创高分自选创高分自选A AB B1 1(2019(2019郑州质量预测郑州质量预测)在在ABCABC 中，角中，角A A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为 a a，b b，c c.若若 2 2c cosos2 22 2cos 2cos 2C C1,4sin1,4sin B B3sin3sin A A，a ab b1 1，则，则 c c 的值为的值为()A.A.1313C.C.

18、3737解析：解析：选选 A A由由 2 2c cosos2 2B.B.7 7D D6 6A AB Bcoscos 2 2C C1 1，得，得 1 1c cos(os(A AB B)(2(2c cosos2 2C C1)1)2 22 2c cosos2 2C C2 2第 5 页 共 6 页1 1coscos C C1 1，即，即 2 2c cosos2 2C Ccoscos C C1 10 0，解得，解得 coscos C C 或或 coscos C C1(1(舍去舍去)由由 4sin4sin B B3sin3sin A A2 2及正弦定理，及正弦定理，得得4 4b b3 3a a，结合结合a

19、 ab b1 1，得得a a4 4，b b3.3.由余弦定理，由余弦定理，知知c c2 2a a2 2b b2 22 2ababcoscos1 1C C4 42 23 32 22 24 43 3 1313，所以，所以 c c 13.13.2 22 2(2019(2019长春模拟长春模拟)在在ABCABC 中，内角中，内角 A A，B B，C C 所对的边分别为所对的边分别为 a a，b b，c c，且，且 c c 3 3，2sin2sin A At ta an n C Ca ac c，若，若 sin(sin(A AB B)sinsin C C2sin 22sin 2B B，则，则 a ab b

20、_._.2sin2sin A At ta an n C Csinsin C C解析：解析：，且由正弦定理可得，且由正弦定理可得a a2 2R Rsinsin A A，c c2 2R Rsinsin C C(R R 为为ABCABCa ac cc ccoscos C C1 1 的外接圆的半径的外接圆的半径)，coscos C C.C C(0(0，)，C C.sin(sin(A AB B)sinsin C C2sin 22sin 2B B，sinsin C Csin(sin(A A2 23 3 B B)，2sin2sin A Acoscos B B4sin4sin B Bcoscos B B当当

21、coscos B B0 0 时，时，B B，则，则 A A，c c 3 3，a a2 26 6a a2 2b b2 2c c2 21 11 1，b b2 2，则，则a ab b3.3.当当 coscos B B0 0 时，时，sinsin A A2sin2sin B B，即，即a a2 2b b.coscos C C，2 2abab2 2b b2 21 1，即，即 b b1 1，a a2 2，则，则 a ab b3.3.综上，综上，a ab b3.3.答案：答案：3 33 3在在ABCABC 中，角中，角 A A，B B，C C 所对的边分别为所对的边分别为 a a，b b，c c，且，且 2

22、 2a acoscos C Cc c2 2b b.(1)(1)求角求角 A A 的大小；的大小；(2)(2)若若 c c 2 2，角，角 B B 的平分线的平分线 BDBD 3 3，求，求 a a.解：解：(1)2(1)2a acoscos C Cc c2 2b b2sin2sin A Acoscos C Csinsin C C2sin2sin B B2sin2sin A Acoscos C Csinsin C C2sin(2sin(A AC C)2sin2sin A Acoscos C C2cos2cos A Asinsin C C，sinsin C C2cos2cos A Asinsin

23、C C，1 1 sinsin C C0 0，coscos A A，2 2又又 A A(0(0，)，A A22.3 3ABABBDBD(2)(2)在在ABDABD 中，由正弦定理得，中，由正弦定理得，sinsin ADBADBsinsin A A sinsin ADBADBABABsinsin A A2 2.BDBD2 222又又ADBADB(0(0，)，A A，3 3 ADBADB，ABCABC，ACBACB，b bc c 2 2，4 46 66 6第 6 页 共 6 页22由余弦定理，由余弦定理，得得 a a2 2c c2 2b b2 22 2c c b b coscos A A(2)2)2 2(2)2)2 22 2 2 2 2 2c cosos6 6，a a 6.6.3 3