第十三章电磁感应.pdf

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1、第十三章 电磁感应 13-1 电磁感应的基本定律 一、电磁感应现象 当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的磁通量发生变化时，在导体回路中就会产生电流，这种现象称为电磁感应现象（1831 年）。二、楞次定律（1833 年）（纯电阻）闭合回路中产生的感应电流具有确定的方向，它总是使感应电流所产生的通过回路面积的磁通量，去补偿或反抗引起感应电流的磁通量的变化。或：感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。这里：“效果”可以理解为感应电流激发的磁场，也可以理解为因感应电流出现而引起的机械作用。“原因”既可以指磁通量的变化，也可指引起磁通量变化的相对运动或回路的形变。实质：感应电流取楞次定律所述的方向，

2、是能量守恒和转化定律的必然结果。例题：楞次定律是能量守恒所必需的。换句话说，如果电磁感应的规律正好与楞次定律相反，则能量守恒定律不成立。试用简单例子加以说明。三、法拉第电磁感应定律 导体回路中感应电动势i的大小与穿过回路的磁通量的变化率ddt成正比。iddt 或iddtK 对于国际单位制：K=1 iddt （适用于单匝导线组成的回路）对于多匝线圈串联，每匝的磁通分别为12,N 12Niddddtdtdt 12()Nddtddt 12N 叫做磁通匝链数或全磁通。若i相同，均为，则N，idddtdtN 感应电动势的方向问题：规定：方可满足法拉第定律的关系满足右手法则与的正方向确定的正方向曲面法线回

3、路nL3、n2、的正负 确定的正方向 1L、如果闭合电路的电阻为R，1idIR dt 当0011,;,tttt ，通过回路中任一截面的感应电量（迁移的电量）11000111()titqI dtdRR 例题：如 图，环 形 螺 线 管n=5000匝/米，20/dIdt 安培 秒，截面322 10S米。在环上再绕一线圈A，N=5匝，R=2.0欧姆 求：1、A 中i及iI 2、2 秒内通过A 的电量q 解：环内的0BnI，通过A 的0nIS，301.26 10iddINnNSdtdt伏特 341.26 106.30 102iI安培 21436.30 102.01.26 10titqI dt库仑 13

4、-2 在磁场中运动的导线内感应电动势（动生电动势）一、动生电动势 B SBll dlvdt()idddlBllBldtdtdt iBlv方向可由楞次定律得 到（从 b 指向 a）二、对动生电动势的解释 由金属电子理论：meFqvBevBFqEeE meFevBFeE向下向上 当,eEevB EvB，这时，abvvEl，即因洛仑兹力作用的结果 iEllvB 与前面结果完全一致。以上说法与洛仑兹力不作功是否相矛盾呢？不矛盾。以下说明：总洛仑兹力为：()Fe vuB，它与合成速度vu垂直，不做功。然而分力，()fe vB 对电子做正功，形成动生电动势。而另一分力，()Fe vuB，它沿v方向，做负功

5、。可以证明两功代数和为零，证明如下：()0Fvu 总功率为零 Fff 代入上式并展开，0f vf ufvfu 因为 0,0f vfu 0f ufv 或 f ufv 因此，洛仑兹力作用并不提供能量，而只是传递能量。补充：导体在恒定磁场中运动时，动生电动势：()babavBdl 0,abbua则u；0,abbua则u 或()LvBdl 例题：已知铜棒长 L，在匀强磁场B中沿逆时针方向绕轴以角速度旋转。1、求铜棒中感生电动势的大小和方向 2、若是半径为 L 的铜盘绕圆心旋转，求中心与边缘之间的电势差 解：1、在距 O 为 l 处取 dl 小段，速度lv，ldlBBvdldi，)(Bv方向为从 A-O

6、 各小段的id的指向都是一样的，2021LBldlBli i的指向是从 A 到 O 的 221LBUUAO 另解：计算铜棒在单位时间所切割的磁感应线数来计算动生电动势。设t内转过角度，22121BLLLB 2、若是铜盘，可以看成是无数根并联的铜棒组成，结果同上。例题：程守洙 普通物理学第四版p220.14-13 如图，（1）质量为M，长度为l 的金属棒 ab 从静止开始沿倾斜的绝缘框架下滑，设磁场 B 竖直向上，求棒内的动生时势与时间的函数关系，忽略摩擦。（2）如果金属棒ab 是沿光滑的金属框架下滑，结果有何不同？解：（1）下滑 singa，经过时间 t，singtatv，tBlgtBlvBi

7、2sinlg21sincos（2）设速度为v,则有cosBlvi，且RBlvRIiicos，（方向沿badcb）安培力：imBlIF，水平向右 在斜面上投影为：vRlBBlIFim222coscos 下滑力：sinMgf下 所以，运动方程为 vRBlMgdtdvM2)sin(sin)cos(sin()sin()sin(sin222BlgMRvMRBlvMRBlgdtdv dtMRBlBlgMRvdv22)cos()cos(sin ktvvdtvvdv)ln(100 即 tekvv10，（1lnkk）当 t=0,v=0,01vk，)1(0tevv 即 tMRBleBlMgRv2)cos(21)c

8、os(sin 讨论：1、当t，由上式，2max)cos(sinBlMgRv匀速下滑，另一方面，下滑力等于磁力在斜面上的分力。即 max2)cos(sinvRBlFMgm，max2max)cos(sinvBlMgRv 2、达到maxv以后，势能的减小等于焦耳热 222222)cos(sin)cos(BlRgMtRBlvtRQi tBlRgMMgvtMgsMghEp2222)cos(sinsinsin 例题：程守洙 普通物理学第五版，p339,13-4如图，已知 I，l,a v,求：金属棒 AB中的动生电动势。解：同上 xIB20，vdvxIBvdxdi2 vdxxIdlaaii20)ln(20a

9、lavI i的指向是从 B 到 A，也就是 A 点的电势比 B 点高，即)ln(20alavIUUBA 例题：两个共轴圆线圈，半径分别为 R 及 r（r 很小，可认为小线圈所在的磁场为均匀的），匝数分别为1N和2N，大线圈中通有电流 I，求当小线圈沿轴线方向以速度 v 运动（两线圈平面保持平行），两者相距为 x 时，小线圈中心电动势大小。解：2322120)(2xRINRB 232222210)(2xRIRrNN 232222210)(12xRdtdIRrNNdtd 232222210)(2)23(2xRxvIRrNN 232222210)(23xRxvIRrNN 方向不宜判断 13-4 感生

10、电动势 涡旋电场 涡旋电流 一、涡旋电场 动生电动势的非静电力是洛仑兹力，那么磁场变化产生的感生电动势，其非静电力是什么呢？麦克斯韦认为：即使不存在导体回路，变化的磁场在其周围也会激发一种电场，叫做感应电场，或涡旋电场。涡旋电场与静电场比较：相同处：都对电荷有作用力 不同处：1、涡旋电场是由变化的磁场激发的 2、描述涡旋电场的电力线是闭合的，它是非保守场，即0Ll dE涡，而产生感生电动势的非静电力正是这一涡旋电场涡E，dtdl dELi涡，与B、L 有关 在一般情形下，空间 涡静EEE，其中0Ll dE静，所以 l dEl dEEl dELLLi涡静涡，而 )()(sLsisdtBsdBdt

11、ddtd不变时当 sdtBl dEsL)(电磁学的基本方程之一 对于稳恒条件下，0dtd 或0tB 0l dEL 即静电场的环路定理 所以基本方程是静电场的环路定理，在非稳恒条件下的推广。程守洙 普通物理学第五版，p348,13-6 二、涡旋电流（傅科电流 Foucault）1、p204,14-11 R 很小，I 可以很大，因为，dtdi （外加交流电）iI，RIPi2 所以 2P，当高到几百几千 Hz 时，P 可以很大。2、真空技术上，加热，放出残存在金属面上的少许气体 3、变压器、电机 4、涡电流产生阻尼作用 13-6 自感应 自感应：由于回路中电流产生的磁通量发生变化，而在自身回路中激发

12、感应电动势的现象，称为自感现象，相应的电动势称为自感电动势。设回路电流为 I，回路几何形状不变，且空间没有铁磁性物质时，则I，写成等式，LI （1）其中 L 称为该回路的自感系数（简称自感或电感），单位：享利 H，L 取决于回路几何形状以及周围磁介质的磁导率。当 I=1 时，L，可见 L 在量值上等于当 I=1 时的。由法拉第定律)()(dtdLIdtdILgdtLIddtdL 若回路几何形状和周围磁导率都不变，即L 不变 0dtdL，dtdILL （关于负号的解释与力学的惯性比较）若回路有 N 匝的线圈组，某匝的磁通量为i，则 LIN21，即 LI，N21为全磁通 若N21，则LIN（当 I

13、=1，L，或 NL）当回路不形变，周围磁介质不变，仍有dtdILL L 是 N 匝线圈的自感系数，dtdILL （2）注意（1）与（2）式的区别。例题：P209,14-2 求长直螺线管 L？解：已知 L、R、N、因为 lNIB，lSINN2，按定义，LIN lNRlSNINL222 ，又 lNn，VSl,所以，VnL2 补充例题：五版，p357,13-7 设有一电缆，由两个“无限长”的同轴的圆筒状的导体组成，其间充满磁导率为的磁介质，电缆中沿内圆筒和外圆筒流过的电流 I大小相等，求电缆单位长度的自感系数。解：应用安培环路定律，可知在内圆筒之内和外圆筒之外的空间中的磁感应强度都为零，在内外两圆筒

14、之间，离开轴线距离为 r 处的磁感应强度为 rIB2，（21RrR）考虑长为 l 的部分电缆，通过面积元ldr的磁通量为 rdrIlldrBd2 所以两圆筒之间（l 长的一段）的总磁通量为 12ln2221RRIlrdrIldRR 由LI，可知单位长度电缆的自感系数为 121ln2RRIlL 例题：讨论 LR 电路的暂态过程。（1）当开关拨向 1 时，LR 上电压从 0 到，由于自感，dtdILL 接通时，电路中的总电动势 dtdILL 因电流变化不快，欧姆定律仍然成立，IRdtdIL，RIdtdIL dtLRRIdI，积分 KtLRRI)ln(，tLReKRI1，其中1ln KK t=0，I

15、(0)=0，RK1，)1(tLReRI，或)1(0teII，其中RL弛豫时间，称为电路的时间常数。当t时，01063.0)1()(IeII 当5t时，0994.0)5(II(2)当开关由 1 很快拨向 2，LR 上的电压从到 0，IRdtdIL，0RIdtdIL，dtLRIdI，积分tLReKI2，初始条件为：t=0，RI0，RK2 tLReRI，或，teII0，其中RL，时间常数。13-7 互感应 互感应（现象）：设两个回路的位置固定不变，周围介质的磁导率也不改变（铁磁质除外），则由回路 1 中的电流1I所产生的穿过回路 2 的磁通量21与1I成正比，即 12121IM （）比例系数21M叫

16、做回路 1 对 2 的互感系数，简称互感（与1I无关）。当1I变化时，在回路 2 中产生互感电动势 dtdIMdtd1212121，（21M不变情况下）同理，21212IM （）dtdIMdtd2121212 理论和实验都可证明，MMM1221，dtdIM12121，dtdIM21212 注意与（）的区别。对于1N和2N匝的两回路：1B2B2I1I1212MIN，2121MIN dtdN21221，dtdN12112 dtdIM121，dtdIM212 例题：P211,14-3 补充例题：p221,14-1 例题 14-17 两线圈的自感分别是 L1和 L2，互感为 M。求：（1）顺串，求 1

17、、4 之间自感 （2）反串，求 1、3 之间自感 解：（1）由于顺串联，L1和 L2中的电流方向相同，1、4 间总磁通为：21221211 122211MIILMIIL 串联时，I1=I2，则 ILML)2(21 由IL，得MLLL221（2）由于反串联，L1和 L2中的电流方向相反，1、4 间总磁通为：（与电流构成右手系为正）21221211 122211MIILMIIL 反串时，I1=I2，则 ILML)2(21 同理 MLLL221 这里2211,总是大于零，而2112,的正负要根据电流来判断。补充例题：p221,14-18 已知两共轴螺线管，外内管半径为 r1、r2，匝数为 N1、N2

18、，证：21LLKM，L1、L2为自感系数，112rrK称为耦合系数。解：利用LIN，2121MIN及1212MIN，已知21rr，线圈 1 中通有 I1电流，线圈 2 中通有 I2电流，12212212212MIrBNSBNN 12121211211111111112212212212)(LrrNNMILrBNSBNNMIrBNSBNN 22122222222222222221221121LNNMILrBNSBNNMIrBNSBNN 21LLKM，112rrK 13-8 磁场能量 与电场建立比较（电容器：221CVW）已知电场的能量密度为：DEDEe21212122 下面从具有自感的简单电路中

19、的电流增长过程，推导磁场的能量表达式。设有自感为 L 的线圈，在线圈中电流由零增加到稳定值 I 的过程中，线圈中的自感电动势：dtdILL，在 dt 内，电源电动势反抗自感电动势而做功，LIdIIdtdAL，由功能原理，磁场能量mW的增量mdW，LIdIdAdWm，2021LILIdIWIm 要变换成描述磁场本身的量B和H，以长直螺线管为例：nIB，VnL2，（见 P209）VBnBVnLIWm222222212121 BHVW21 能量密度 BHVWmm21 普遍公式：22212121HBBHm dVdWmm，BHdVWm21 例题：p14-4,14-5 五版 P373,13-10,13-1

20、1 例：如图，设等边三角形高为h，平行于直导线的一边到直导线距离为b，且长直导线与三角形线圈共面，求：（1）长直导线与三角形线圈间的互感系数 （2）设导线和三角形中电流分别为I1，I2，若 b 增至 2b，互感磁能改变了多少？是增加还是减少？解：（1）设长直导线通有电流 I，则在三角形线圈内产生的磁通为 dxxtgxhbIh000302)(2 =hxhbxdxI003 )ln(12bxaabxabdxbxaxdx hbhbhbIln)(30 hbhbhbIMln)(30（2）21IMIWm，)(1221MMIIWm 其中 hbhbhbIM22ln)2(302，hbhbhbIMln)(301 h

21、bhbhbhbhbhbIIWmln)(22ln)2(3210)(22ln4)2(ln322210hbhbhbhbbhbbII 0)(22ln)(4)2(ln32210hbhbhhbbhbbII,互感磁能减少。本章小结：1、dtdi，有关 L，n的三条规定，负号的物理意义，如何判定i的方向，感应电动势的计算。2、动生电动势 l dBVbaab)(，特殊情况 Blvi baabbaabUUUU,0,0则则 或 l dBVL)(掌握动生电动势的计算方法，（1）用上式求 （2）用dtdi求 3、明确感生电动势的计算方法 （1）Lil dE涡 （2）dtdi 4、自感：LI，L 为自感系数 自感电动势

22、dtdILL，（L 不变）自感磁能 221LIWm （一定大于零）5、互感：121MI，其中21是通过回路 L2的由回路 L1中电流 I1所产生的全磁通。互感电动势 dtdIM121，（M 不变）互感磁能 21IMIWm ，（可正可负）6、计算 L 和 M 的一般步骤：（1）先假设回路通有电流 I，并求出B的分布 （2）求全磁通 （3）利用定义IL，IM 7、也可用磁能公式求 L 8、掌握磁场贮存能量的概念，并能计算典型磁场的磁能。补充例题：一长直导线通有电流teItI0)(，与之共面的一矩形线框，其尺寸和位置如图所示。当滑动边的导线以速度v匀速向右滑动时，在忽略自感的情况下，求矩形线框内的感

23、应电动势i 解：设 t 时刻滑动边距线框左端 x(t)，在距长直导线 y 处取面元 dytxds)(，该处 yIB20 dytxyIBdsd)(20，总磁通为 abatIxydytIxsdBbaaSln2)(2)(00 所以，dttdxIdtdItxabadtdi)()(ln20 veIevtIabatt000)(ln2)(ln2000teIvevIabatt)1(ln200tabaevIt 补充例题 见 p222,14-21：截面为矩形的螺线环共绕 N 匝，如图，在螺线环的轴线上有一无限长直导线。若在螺线环的线圈中通以电流I。求：1、螺线环的自感系数 L 2、螺线环与长直导线之间互感系数 M

24、 3、螺线环内储存的磁能。（自感磁能）解：1、螺线环通有电流I，由对称性，B只集中在环内，应用安培环路定理 NIrBl dBL02 rNIB20，（环内，r 是环路的半径），所以，baSSBhdrBdsSdB abrNIhrdrrNIhbaln2200 由abhNINILln220 2、设长直导线中通有电流I1，距长直导线 r 处磁感应强度的大小，rIB210，所以 穿过螺线环的磁通匝链数，abNhIrdrNhISdBNbaSln221010 由 abNhIMln201 也可以将长直导线看成一很大的闭合回路的一部分环上通电为I 时，穿过回路 L 的磁通为 abNIhln20 由IM，同样得到 abNhMln20 3、螺线环内储存的磁能为 abIhNLIWmln4212292