管理运筹学复习讲解.pdf

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1、 19 管理运筹学复习（1）某工厂在计划期内要安排,两种产品的生产.生产单位产品所需的设备台时及 A,B两种原材料的消耗以及资源的限制如下表所示:资源限制 设备 1 1 300 台时 原料 A 2 1 400kg 原料 B 0 1 250kg 工厂每生产一单位产品可获利 50 元，每生产一单位产品可获利 100 元，问工厂应分别生产多少单位产品和产品才能使获利最多？解：max z=50X1+100X2；满足约束条件：X1+X2300，2X1+X2400，X2250，X10,X20。（2）：某锅炉制造厂，要制造一种新型锅炉 10 台，需要原材料为63.54mm 的锅炉钢管，每台锅炉需要不同长度的

2、锅炉钢管数量如下表所示：规格/mm 需要数量/根 规格/mm 需要数量/根 2640 8 1770 42 1651 35 1440 1 库存的原材料的长度只有 5500mm 一种规格，问如何下料，才能使总的用料根数最少？需要多少根原材料？解：为了用最少的原材料得到 10 台锅炉，需要混合使用 14 种下料方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2640 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 70 0 1 0 0 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0 16 51 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 14 40 0 0

3、0 1 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 合计 5280 4410 4291 4080 5310 5191 4980 5072 4861 4650 4953 4742 4531 4320 剩余 220 1090 1209 1420 190 309 520 428 639 850 547 758 969 1180 设按 14 种方案下料的原材料的根数分别为 X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,X10,X11,X12,X13,X14,可列出下面的数学模型：min fX1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14 满足约束条件：2

4、X1X2X3X4 80 X23X52X62X7X8X9X10 420 X3X62X8X93X11X12X13 350 X4X7X92X10X122X133X14 10 X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7，X8，X9，X10，X11，X12，X13，X14 0 19（3）某公司从两个产地 A1、A2将物品运往三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地的每件物品的运费如下表所示：B1 B2 B3 产量/件 A1 6 4 6 200 A2 6 5 5 300 销量/件 150 150 200 应如何调运，使得总运输费最小？解：此运输问题的线性规划的模型如下 min

5、 f=6X11+4X12+6X13+6X21+5X22+5X23 约束条件：X11+X12+X13=200 X21+X22+X23=300 X11+X21=150 X12+X22=150 X13+X23=200 Xij0(i=1,2;j=1,2,3)(4)某公司从两个产地 A1、A2将物品运往三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地的每件物品的运费如下表所示：B1 B2 B3 产量/件 A1 6 4 6 300 A2 6 5 5 300 销量/件 150 150 200 500 600 应如何组织运输，使得总运输费为最小？解：这是一个产大于销的运输问题，建立一个

6、假想销地 B4，得到产销平衡如下表：B1 B2 B3 B4 产量/件 A1 6 4 6 0 300 A2 6 5 5 0 300 销量/件 150 150 200 100 600 600 （5）某公司从两个产地 A1、A2 将物品运往三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地的每件物品的运输单价如下表所示：B1 B2 B3 产量/件 A1 6 4 6 200 A2 6 5 5 300 销量/件 250 200 200 650 500 解：这是一个销大于产的运输问题，建立一个假想销地 A3，得到产销平衡如下表：B1 B2 B3 产量/件 A1 6 4 6 200 A

7、2 6 5 5 300 A3 0 0 0 150 销量/件 250 200 200 650 650 19（6）某公司在三个地方有三个分厂，生产同一种产品，其产量分别为 300 箱、400 箱、500 箱。需要供应四个地方的销售，这四地的产品需求分别为400 箱、250 箱、350 箱、200 箱。三个分厂到四个销地的单位运价如下表所示：甲 乙 丙 丁 1 分厂 21 17 23 25 2 分厂 10 15 30 19 3 分厂 23 21 20 22 应如何安排运输方案,使得总运费为最小?如果2分厂的产量从400箱提高到了600箱,那么应如何安排运输方案,使得总运费为最小?如果销地甲的需求从

8、400 箱提高到 550 箱,而其他情况都同,那该如何安排运输方案,使得运费为最小?解:此运输问题的线性规划的模型如下 minf=21X11+17X12+23X13+25X14+10X21+15X22+30X23+19 X24+23X31+21X32+20X33+22X34 约束条件：X11+X12+X13+X14=300 X21+X22+X23+X24=400 X31+X32+X33+X34=500 X11+X21+X31=400 X12+X22+X32=250 X13+X23+X33=350 X14+X24+X34=200 Xij0(i=1,2,3;j=1,2,3,4)解：这是一个产大于销

9、的运输问题，建立一个假想销地戊，得到产销平衡如下表：甲 乙 丙 丁 戊 产量/箱 1 分厂 21 17 23 25 0 300 2 分厂 10 15 30 19 0（400）600 3 分厂 23 21 20 22 0 500 销量/箱 400 250 350 200 200 1400 1400 解：这是一个销大于产的运输问题，建立一个假想销地 4 分厂，得到产销平衡如下表：甲 乙 丙 丁 产量/箱 1 分厂 21 17 23 25 300 2 分厂 10 15 30 19 400 3 分厂 23 21 20 22 500 4 分厂 0 0 0 0 150 销量/箱 550 250 350 2

10、00 1350 1350 19（7）整数规划的图解法 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表所示：货物 每件体积/立方英尺 每件重量/百千克 每件利润/百元 甲 195 4 2 乙 273 40 3 托运限制 1365 140 甲种货物至多托运 4 件，问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大？解：设 X1,X2分别为甲、乙两种货物托运的件数，其数学模型如下所示：max z=2X1+3X2 约束条件：195X1+273X2 1365，4X1+40X2 140，X1 4，X1,X20，X1,X2 为整数。（8）指派问题 有四个工人，要分别指

11、派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示：问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？A B C D 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19 21 23 17 解：引入 01 变量 Xij，并令 1，当指派第 i 人去完成第 j 项工作时；Xij=0，当不指派第 i 人去完成第 j 项工作时；此整数规划的数学模型为：min z=15X11+18X12+21X13+24X14+19X21+23X22+22X23+18 X24+26X31+17X32+16X33+19X34+19X41+21X42+23X43+17X44

12、约束条件：X11+X12+X13+X14=1（甲只能干一项工作）X21+X22+X23+X24=1（乙只能干一项工作）X31+X32+X33+X34=1（丙只能干一项工作）X41+X42+X43+X44=1（丁只能干一项工作）X11+X21+X31+X41=1（A 工作只能一个人干）X12+X22+X32+X42=1（B 工作只能一个人干）X13+X23+X33+X43=1（C 工作只能一个人干）X14+X24+X34+X44=1（D 工作只能一个人干）Xij为 01 变量，(i=1,2,3，4;j=1,2,3,4)19(9)有优先权的目标规划的图解法 一位投资商有一笔资金准备购买股票，资金总

13、额为 90000 元，目前可选的股票有A、B 两种（可以同时投资于两种股票），其价格以及年收益率和风险系数 如下表所示：股票 价格/元 年收益/（元/年）风险系数 A 20 3 0.5 B 50 4 0.2 从表可知：股票 A 的收益率为（3/20）100%=15%,股票 B 的收益率为（4/50）100%=8%,A 的收益率比 B 大，但同时 A 的风险也比 B 大，这符合高风险高收益的规律。试求一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于 700，且投资收益不低于 10000 元。解：设 X1、X2 分别表示投资商所购买的股票 A 和股票 B 的数量。1.针对优先权最高的目标建立线性规划 建立

14、线性规划模型如下：min d1+约束条件：20X1+50X2 90000 0.5X1+0.2X2-d1+d1-=700 3X1+4X2-d2+d2-=10000 X1,X2,d1+,d2-0 2.针对优先权次高的目标建立线性规划 建立线性规划模型如下：min d2-约束条件：20X1+50X2 90000 0.5X1+0.2X2-d1+d1-=700 3X1+4X2-d2+d2-=10000 d1+=0 X1，X2，d1+，d1-，d2+，d2-0 3.目标规划模型的标准化 对于两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解，为方便，把他们用一个模型来表达：min P1(d1+)+P2(d2-)

15、约束条件：20X1+50X2 90000，0.5X1+0.2X2-d1+d1-=700，3X1+4X2-d2+d2-=10000，X1，X2，d1+，d1-，d2+，d2-0。0.5X1+0.2X2=700 20X1+50X2 90000 0 5000 3000 2000 1000 1000 2000 30004000 4000 X1 X1 20X1+50X2 90000 1000 5000 4000 3000 2000 0 1000 2000 3000 4000 X2 19（10）某工厂试对产品 A、B 进行生产，市场需求并不是很稳定，因此对每种产品分别预测了在销售良好和销售较差时的预期利润

16、，这两种产品都经过甲、乙两台设备加工，已知产品 A 和 B 分别在甲和乙设备上的单位加工时间，甲、乙设备的可用加工时间以及预期利润如表所示，要求首先是保证在销售较差时，预期利润不少于 5 千元，其次是要求销售良好时，预期销售利润尽量达到 1 万元。试建立目标规划模型。A B 可用时间 甲 4 3 45 乙 2 5 30 销售良好时的预期利润（元/件）8 6 100 销售较差时的预期利润（元/件）5 5 50 解：设工厂生产 A 产品 X1 件，生产 B 产品 X2件。按照生产要求，建立如下目标规划模型:min P1(d1+)+P2(d2-)约束条件：4X1+3X2 45，2X1+5X2 30

17、5X1+5X2-d1+d1-=50，8X1+6X2-d2+d2-=100，X1，X2，di+，di-0.i=1,2 (11)动态规划 石油输送管道铺设最优方案的选择问题：如图所示，其中 A 为出发点，E 为目的地，B、C、D 分别为三个必须建立油泵加压站的地区，其中的B1、B2、B3;C1、C2、C3;D1、D2分别为可供选择的各站站点。图中的线段表示管道可铺设的位置，线段旁的数字为铺设管线所需要的费用，问如何铺设管道才使总费用最小？6 2 3 3 5 7 4 4 4 4 1 5 4 5 解：第四阶段：D1E 3；D2E 4；第三阶段：C1D1E 5；C2D2E 8；C3D1E 8；C3D2E

18、 8；第二阶段：B1C1D1E 11；B1C2D2E 11；B2C1D1E 8；B3C1D1E 9；B3C2D2E 9；第一阶段：AB1C1D1E 14；AB1C2D2E 14；AB2C1D1E 13；AB3C1D1E 13；AB3C2D2E 13；最优解：AB2C1D1E；AB3C1D1E；AB3C2D2E 最优值：13 4 2 3 5 3 5 A B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 E 19（12）最小生成树问题 某大学准备对其所属的 7 个学院办公室计算机联网，这个网络的可能联通的途径如图所示，图中 V1，V7 表示 7 个学院办公室，图中的边为可能联网的途径，边上的所赋权数

19、为这条路线的长度，单位为百米。请设计一个网络能联通 7 个学院办公室，并使总的线路长度为最短。解：在 G 中找到一个圈（V1，V7，V6，V1）,并知在此圈上边V1，V6的权数 10 为最大，在 G 中去掉边V1，V6得图 G1，如上图所示 在 G1中找到一个圈（V3，V4，V5，V7，V3），去掉其中权数最大的边 V4，V5，得图 G2，如上图所示 在 G2中找到一个圈（V2，V3，V5，V7，V2），去掉其中权数最大的边 V5，V7，得图 G3，如上图所示 在 G3中找到一个圈（V3，V5，V6，V7，V3），去掉其中权数最大的边 V5，V6，得图 G4，如上图所示 在 G4中找到一个圈（

20、V2，V3，V7，V2），去掉其中权数最大的边 V3，V7，得图 G5，如上图所示 在 G5中已找不到任何一个圈了，可知 G5即为图 G 的最小生成树。这个最小生成树的所有边的总权数为 3+3+3+1+2+7=19 7 2 3 3 1 3 1 V7 V4 V5 V6 V1 V2 V3 G5 4 7 2 3 4 3 1 3 1 V7 V4 V5 V6 V1 V2 V3 G3 5 8 4 7 2 3 4 3 3 1 V7 V4 V5 V6 V1 V2 V3 G1 7 2 3 4 3 1 3 1 V7 V4 V5 V6 V1 V2 V3 G4 5 4 7 2 3 4 3 1 3 1 V7 V4 V5

21、 V6 V1 V2 V3 G2 5 8 4 7 2 3 4 3 10 3 1 V7 V4 V5 V6 V1 V2 V3 G 19(13)某一个配送中心要给一个快餐店送快餐原料，应按照什么路线送货才能使送货时间最短。下图给出了配送中心到快餐店的交通图，图中 V1，V7 表示 7 个地名，其中 V1 表示配送中心，V7 表示快餐店，点之间的联线表示两地之间的道路，边所赋的权数表示开车送原料通过这段道路所需要的时间（单位：分钟）解：给起始点V1标号为（0，S）I=V1,J=V2，V3，V4，V5，V6,V7，边的集合Vi，Vj Vi，Vj两点中一点属于I,而另一点属于J=V1，V2，V1，V3，并有

22、 S12=L1+C12=0+4=4 ；S13=L1+C13=0+18=18 min(S12,S13)=S12=4 给边 V1，V2中的未标号的点 V2 标以（4，1），表示从 V1 到 V2 的距离为 4，并且在V1到 V2的最短路径上 V2的前面的点为 V1.这时 I=V1，V2,J=V3，V4，V5，V6,V7，边的集合Vi，Vj Vi，Vj两点中一点属于I,而另一点属于J=V1，V3，V2，V3，V2，V4，并有 S23=L2+C23=4+12=16；S24=L2+C24=4+16=20；min(S23,S24,S13)=S23=16 给边 V2，V3中的未标号的点 V3 标以（16，2

23、）这时 I=V1，V2，V3,J=V4，V5，V6,V7，边的集合Vi，Vj Vi，Vj两点中一点属于I,而另一点属于J=V2，V4，V3，V4，V3，V5，并有 S34=L3+C34=16+2=18；S35=L3+C35=16+6=22；S24=L2+C24=4+16=20 min(S34,S35,S24)=S34=18 给边 V3，V4中的未标号的点 V4 标以（18，3）这时 I=V1，V2，V3 ，V4,J=V5，V6,V7，边的集合Vi，Vj Vi，Vj两点中一点属于I,而另一点属于J=V4，V6，V4，V5，V3，V5，并有 S46=L4+C46=18+7=25；S45=L4+C4

24、5=18+8=26；min(S46,S45,S35)=S35=24 给边 V3，V5中的未标号的点 V5 标以（24，3）这时 I=V1，V2，V3 ，V4 ，V5,J=V6 ，V7，边的集合Vi，Vj Vi，Vj两点中一点属于I,而另一点属于J=V5，V7，V4，V6，并有 S57=L5+C57=22+5=27；min(S57,S46)=S46=25 给边 V4，V6中的未标号的点 V6 标以（25，4）这时 I=V1，V2，V3 ，V4 ，V5 ，V6,J=V7，边的集合Vi，Vj Vi，Vj两点中一点属于I,而另一点属于J=V5，V7，V6，V7，并有 S67=L6+C67=25+6=3

25、1 ；min(S57,S67)=S57=27 给边 V5，V7中的未标号的点 V7 标以（27，5）此时 I=V1，V2，V3 ，V4 ，V5 ，V6，V7,J=空集，边集合Vi，Vj Vi，Vj两点中一点属于I,而另一点属于J=空集，计算结束。得到最短路。从 V7 的标号可知从 V1 到 V7 的最短时间为 27 分钟。即：配送路线为：V1 V2 V3 V5 V7 V4（16,2）（0,S）5668721216184V1 V7（快餐店）（配送中心）V5 V3 V6 V2（18,3）（4,1）（24,3）（25,4）（27,5）19（14）最小生成树问题 某电力公司要沿道路为8个居民点架设输电

26、网络，连接8个居民点的道路图如图所示，其中 V1，V8表示 8 个居民点，图中的边表示可架设输电网络的道路，边上的赋权数为这条道路的长度，单位为公里，请设计一个输电网络，联通这 8 个居民点，并使总的输电线路长度为最短。在图中找到一个圈（V1，V2，V5，V3）,并知在此圈上边V1，V2和 V3，V5的权数 4 为最大，在图中去掉边V1，V2；在图中找到一个圈（V3，V4，V8 ，V5 ，V3,V1），去掉其中权数最大的边 V4，V8；在图中找到一个圈（V3，V4，V5，V3），去掉其中权数最大的边 V4，V5；在图中找到一个圈（V5，V2，V6，V7，V5），去掉其中权数最大的边 V2，V6

27、；在图中找到一个圈（V5，V7，V8，V5），去掉其中权数最大的边 V5，V8。在图中已找不到任何一个圈了，可知此即为图 G 的最小生成树。这个最小生成树的所有边的总权数为 2+2+4+2+3+3+2=18 （15）最大流问题 某地区的公路网如图所示，图中 V1，V6为地点，边为公路，边上所赋的 权数为该段公路的流量（单位为千辆/小时），请求出 V1 到 V6 的最大流量。2 7 5 6 2 3 4 3 2 5 2 4 V8 V7 V6 V5 V4 V3 V1 V2 G 6 5 12 5 6 4 10 6 6 V6 V5 V2 V4 V1 V3 8 19 解：第一次迭代：选择路为V1 V3 V

28、6。弧（V3，V6）的顺流流量为 5，决定了 pf=5，改进的网络流量图如图所示：第二次迭代：选择路为V1 V2 V5 V6。弧（V1，V2）的顺流流量为 6，决定了 pf=6，改进的网络流量图如图所示：第三次迭代：选择路为V1V4 V6。弧（V1，V4）的顺流流量为 6，决定了 pf=6，改进的网络流量图如图所示：0 6 0 6 0 6 2 6 6 6 5 5 5 0 0 0 0 V4 0 0 6 5 6 4 6 V6 V5 V2 V1 V3 0 6 2 6 6 6 5 5 5 0 0 0 0 0 V4 0 0 0 6 5 12 6 4 6 6 V6 V5 V2 V1 V3 8 0 5 5

29、5 0 0 0 0 0 0 V4 0 0 0 0 6 5 12 5 6 4 10 6 6 V6 V5 V2 V1 V3 8 0 5 5 第一次迭代 后的总流量 11 11 第二次迭代 后的总流量 17 17 第三次迭代 后的总流量 19 第四次迭代：选择路为V1V3V4 V2V5V6。弧（V2，V5）的顺流流量 为 2，决定了 pf=2，改进的网络流量图如图所示：第五次迭代：选择路为V1V3V4V5V6。弧（V1，V3）的顺流流量为 3，决定了 pf=3，改进的网络流量图如图所示：在通过第五次迭代后在图中已找不到从发点到收点的一条路上的每一条弧顺流容量都大于零，运算停止。我们已得到此网络的从

30、V1到 V6的最大流量，最大流量为 22，也就是公路的最大流量为每小时通过22 千辆车。(16)最小费用最大流问题 请求下面网路图中的最小费用最大流,图中弧(Vi,Vj)的赋权（Cij,bij），其中 Cij为从 Vi 到 Vj 的流量，bij 为 Vi 到 Vj 的单位流量的费用。0 3 11 1 5 2 3 1 11 4 7 4 2 2 2 0 8 8 0 6 0 6 0 6 5 0 0 V4 5 V6 V5 V2 V1 V3 3 7 4 2 2 2 0 8 8 0 6 0 6 0 6 2 6 6 6 5 5 5 0 0 0 V4 0 5 6 4 V6 V5 V2 V1 V3 4（5，2）

31、（1，2）（2，4）（1，1）（3，3）（4，1）（5，3）（2，4）V6 V5 V4 V3 V2 V1（1，2）19 19 第四次迭代 后的总流量 22 22 第五次迭代 后的总流量 19（17）一台机器、n 个零件的排序问题 某车间只有一台高精度的磨床，常常出现很多零件同时要求这台磨床加工的情况，现有六个零件同时要求加工，这六个零件加工所需要的时间如表所示：零件 加工时间/小时 零件 加工时间/小时 1 1.8 4 0.9 2 2.0 5 1.3 3 0.5 6 1.5 我们应该按照什么样的加工顺序来加工这六个零件，才能使得这六个零件在车间里停留的平均时间为最少？解：对于一台机器 n 个零

32、件的排序问题，我们按照加工时间从少到多排出加工零件的顺序就能使各个零件的平均停留时间为最少。零件 加工时间/小时 停留时间 零件 加工时间/小时 停留时间 3 0.5 0.5 6 1.5 4.2 4 0.9 1.4 1 1.8 6.0 5 1.3 2.7 2 2.0 8（18）两台机器、n 个零件 某工厂根据合同定做一些零件，这些零件要求先在车床上车削，然后再在磨床上加工，每台机器上各零件加工时间如表所示：零件 车床 磨床 零件 车床 磨床 1 1.5 0.5 4 1.25 2.5 2 2.0 0.25 5 0.75 1.25 3 1.0 1.75 应该如何安排这五个零件的先后加工顺序才能使完

33、成这五个零件的总的加工时间为最少？解：我们应该一方面把在车床上加工时间越短的零件，越早加工，减少磨床等待的时间，另一方面把在磨床上加工时间越短的零件，越晚加工，也就是说把在磨床上加工时间越长的零件，越早加工，以便充分利用前面的时间，这样我们得到了使完成全部零件加工任务所需总时间最少的零件排序方法。（19）在一台车床上要加工 7 个零件，下表列出它们的加工时间，请确定其加工等待时间 磨床 车床 5 3 4 1 2 5 3 4 1 2 19 顺序，以使各零件在车间里停留的平均时间最短。零件 1 2 3 4 5 6 7 Pi 10 11 2 8 14 6 5 解：各零件的平均停留时间为：6P2P3P

34、4P5PP6654321 由此公式可知，要让停留的平均时间最短，应该让让加工时间越少的零件排在越前面，加工时间越多的零件排在后面。所以，此题的加工顺序为：3，7，6，4，1，2，5(20)有7个零件，先要在钻床上钻孔，然后在磨床上加工，下表列出了各个零件的加工时间，确定各零件加工顺序，以使总加工时间最短。零件 1 2 3 4 5 6 7 钻床 6.7 2.3 5.1 2.3 9.9 4.7 9.1 磨床 4.9 3.4 8.2 1.2 6.3 3.4 7.4 解：此题为两台机器，n 个零件模型，这种模型加工思路为：钻床上加工时 间越短的零件越早加工，同时把在磨床上加工时间越短的零件越晚加工。根

35、据以上思路，则加工顺序为：2，3，7，5，1，6，4。（21）根据下表绘制计划网络图 解：(22)对 21 题，通过调查与研究对完成每个活动的时间作了3 种统计，如表所示，V5 g f d b e c a V6 V4 V3 V1 V2 i g h f j e b c d a V5 V7 V6 V4 V3 V2 V1 19 请求出每个活动的最早开始时间，最晚开始时间，最早完成时间，最晚完成时间；找出关键工序；找出关键路线；并求出完成此工程项目所需平均时间；如果要求我们以 98%的概率来保证工作如期完成，我们应该在多少天以前就开始这项工作。活动（工序）乐观时间/天 最可能时间/天 悲观时间/天 a

36、 1.5 2 3 b 3 4 6 c 3.5 5 6 d 3 4 5.5 e 2.5 3 4 f 1 2 4 g 2 4 5 解：显然这三种完成活动所需时间都具有一定概率，根据经验，我们可以假定这些时间的概率分布近似服从分布，这样我们可用如下公式计算出完成活动所需的平均时间：T=64bma 以及方差：2=)6(ab 2 活动 T（平均时间）2（方差）活动 T（平均时间）2（方差）a 2.08 0.07 e 3.08 0.07 b 4.17 0.26 f 2.17 0.26 c 4.92 0.18 g 3.83 0.26 d 4.08 0.18 工序安排：工序 最早开始时间 最迟开始时间 最早完

37、成时间 最迟完成时间 时差 是否关键工序 a 0 0 2.08 2.08 2.08 b 0 0 4.17 4.17 0 c 4.17 5 9.08 9.92 0.83 d 4.17 4.17 8.25 8.25 0 e 4.17 5.17 7.25 8.25 1 f 9.08 9.92 11.25 12.08 0.83 g 8.25 8.25 12.08 12.08 0 本问题关键路径是：B-DG；本工程完成时间是：12.08 这个正态分布的均值 E(T)=12.08 其方差为：2 b2+d2+g 2=0.70 则 0.84 当以 98的概率来保证工作如期完成时，即：(u)=0.98，所以 u

38、=2.05 此时提前开始工作的时间满足：84.012.08T=2.05 所以13.8 14 （23）矩阵对策的最优纯策略 19 甲乙乒乓球队进行团体对抗赛，每对由三名球员组成，双方都可排成三种不同的阵容，每一种阵容可以看成一种策略，双方各选一种策略参赛。比赛共赛三局，规定每局胜者得 1 分，输者得-1 分，可知三赛三胜得 3 分，三赛二胜得 1 分，三赛一胜得-1 分，三赛三负得-3 分。甲队的策略集为 S1=1，2，3，乙队的策略集为 S1=1，2，3，根据以往比赛得分资料，可得甲队的赢得矩阵为 A，如下：试问这次比赛各队应采用哪种阵容上场最为稳妥。解：甲队的1，2，3 三种策略可能带来的最

39、少赢得，即矩阵 A 中每行的最小元素分别为：1，-3，-1，在这些最少赢得中最好的结果是 1，即甲队应采取策略1，无论对手采用什么策略，甲队至少得 1 分。而对乙队来说，策略1，2，3 可能带来的最少赢得，即矩阵 A 中每列的最大因素（因为两人零和策甲队得分越多，就使得乙队得分越少），分别为：3，1，3，其中乙队最好的结果为甲队得 1 分，这时乙队采取2 策略，不管甲队采用什么策略甲队的得分不会超过 1 分（即乙队的失分不会超过 1）。这样可知甲队应采用1 策略，乙队应采取2 策略。把这种最优策略1 和2 分别称为局中人甲队、乙队的最优纯策略。这种最优纯策略只有当赢得矩阵 A=（aij）中等式

40、 max min aij=min max aij i j j i 成立时，局中人才有最优纯策略，并把（1，2）称为对策 G 在纯策略下的解，又称（1，2）为对策 G 的鞍点。（24）矩阵对策的混合策略 解：首先设甲使用1 的概率为 X1，使用2 的概率为 X2，并设在最坏的情况下（即乙出对其最有利的策略情况下），甲的赢得的平均值等于 V。这样我们建立以下的数学关系：1.甲使用1 的概率 X1和使用2 的概率 X2的和为 1，并知概率值具有非负性，即 X1+X2=1，且有 X10，X20.2.当乙使用1 策略时，甲的平均赢得为：5X1+8X2，此平均赢得应大于等于 V，即 5X1+8X2V 3.

41、当乙使用2 策略时，甲的平均赢得为：9X1+6X2，此平均赢得应大于等于 V，即 9X1+6X2V 第二步，我们来考虑 V 的值，V 的值与赢得矩阵 A 的各因素的值是有关的，如5 9 8 6 A=A=1 1 1 1 -1 -3 3 -1 3 19 果 A 的各元素的值都大于零，即不管甲采用什么策略，乙采用什么策略，甲的赢得都是正的。这时的 V 值即在乙出对其最有利的策略时甲的平均赢得也显然是正的。因为 A 的所有元素都取正值，所以可知 V0.第三步，作变量替换，令 Xi=VXi(i=1，2)考虑到 V0，这样把以上 5 个数量关系式变为：X1+X2=V1，X10，X20，5X1+8X2 1

42、9X1+6X2 1 对甲来说，他希望 V 值越大越好，也就是希望V1的值越小越好，最后，我们就建立起求甲的最优混合策略的线性规划的模型如下：min X1+X2 约束条件：5X1+8X2 1 9X1+6X2 1 X10，X20 同样求出乙最优混合策略，设y1,y2分别为乙出策略 1，2 的概率，V 为甲出对其最有利的策略的情况下，乙的损失的平均值。同样我们可以得到：y1+y2=1,5y1+9y2 V 8y1+6y2 V y10，y20.同样作变量替换，令 yi=Vyi(i=1，2)得关系式：y1+y2=V1 5y1+9y2 1 8y1+6y2 1 y10，y20.乙希望损失越少越好，即 V 越小

43、越好而V1越大越好，这样我们也建立了求乙的最优混合策略的线性规划的模型如下：max y1+y2 约束条件：5y1+9y2 1 8y1+6y2 1 y10，y20.(25)完全信息动态对策 19 某行业中只有一个垄断企业 A，有一个潜在进入者企业 B，B 可以选择进入或不进入该行业这两种行动，而 A 当 B 进入时，可以选择默认或者报复两种行动，如果 B 进入后 A 企业报复，将造成两败俱伤的结果，但如果 A 默认 B 进入，必然对A 的收益造成损失，如果 B 不进入，则 B 无收益而 A 不受损，把此关系用图表示如下：（求最后的策略）假设 B 进入，A 只能选择默许，因为可以得到 100 的收

44、益，而报复后只得到 0.假设 A 选择报复，B 只能选择不进入，因为进入损失更大。因此，（B 选择不进入，A 选择报复）和（B 选择进入，A 选择默许）都是纳什均衡解，都能达到均衡。但在实际中，（B 选择不进入，A 选择报复）这种情况是不可能出现的。因为 B知道他如果进入，A 只能默许，所以只有（B 选择进入，A 选择默许）会发生。或者说 A 选择报复行动是不可置信的威胁。对策论的术语中，称（B 选择进入，A 选择默许）为精炼纳什均衡。当然如果 A 下定决心一定要报复 B，即使自己暂时损失，这时威胁就变成了可置信的，B 就会选择不进入，（B 选择不进入，A 选择报复）就成为精炼纳什均衡。（26

45、）设有参加对策的局中人 A 和 B，A 的损益矩阵如下，求最优纯策略和对策值。解:矩阵1，2，3中每行的最小元素分别为：-500，0，-700，（最大）矩阵1，2，3中每列的最大因素分别为：500，0，700，（最小）因为 max min aij=min max aij=0 i j j i 所以最优纯策略为(2,2),对策值为 0 （27）已知面对四种自然状态的三种备选行动方案的公司收益如下表所示：方案 自然状态 N1 N2 N3 N4 S1 15 8 0 6 S2 4 14 8 3 S3 1 4 10 12 假定不知道各种自然状态出现的概率请分别用以下五种方法求最优行动方案：最大最小准则 1

46、2 3 1 2 3-500 -100 700 100 0 200 500 -200 -700 B 不进入 进入 报复 默许 50，100 20，0 0，200 0，200 A 19 min（S1，Nj）=min15，8，0，6=6 1j3 min（S2，Nj）=min4，14，8，3=3 1j3 min（S3，Nj）=min1，4，10，12=1 1j3 再从这些最小收益中选取一个最大值 3，即 maxmin（Si，Nj）=max6，3，1=3.在此准则下，方案 S2 为最优。最大最大准则 max（S1，Nj）=max15，8，0，6=15 1j3 max（S2，Nj）=max4，14，8，3

47、=14 1j3 max（S3，Nj）=max1，4，10，12=12 1j3 最后得到 maxmax（Si，Nj）=max15，14，12=15 在此准则下，方案 S1 为最优。等可能性准则 E(S1)=0.2515+0.258+0+0.25(6)=4.25 E(S2)=0.254+0.2514+0.258+0.253=7.25 E(S3)=0.251+0.254+0.2510+0.2512=6.75 其中 E(S2)最大，根据等可能性准则方案 S2 为最优。乐观系数准则（取=0.6）CVi=max（Si，Nj）+(1)min（Si，Nj）CV1=0.615+0.68+0+0.6(6)=10.

48、2 CV2=0.64+0.614+0.68+0.63=17.4 CV3=0.61+0.64+0.610+0.612=16.2 即得 max CVi=17.4，故方案 S2 为最优方案。1j3 后悔值准则 N1 N2 N3 N4 Max aij 1 j 4 S1 0 6 10 18 18 S2 11 0 2 9 11（min）S3 14 10 0 0 14 min max aij=min18，11，14=11，故在后悔值准则下取方案 S2。i j （28）下表是过去 12 个月的某种产品的销售量的数据：19 月 销售量 月 销售量 1 105 7 140 2 135 8 135 3 115 9

49、100 4 100 10 85 5 95 11 100 6 120 12 105 1.分别取 n=3 和 n=4 用移动平均法对第 13 月的销售量进行预测，并进行比较。2.分别用=0.3和=0.5的指数平滑法对第13月的销售量进行预测，并进行比较。解:移动平均法：移动平均数=（最近 n 个数据值）/n n=3 时，第 13 个月的销售量为：31051008596.7 n4 时，第 13 个月的销售量为：41001051008597.5 指数平滑法：Ft+1=yt+(1-)Ft Ft+1 为 t+1 时期的时间序列的预测值；yt 为第 t 时间的时间序列的实际值；Ft 为第 t 时间的时间序列

50、的预测值；为平滑系数（01）月份 销售量 0.3 时的预测值 0.5 时的预测值 1 105 2 135 105 105 3 115 114 120 4 100 114.3 117.5 5 95 110.01 108.75 6 120 105.507 101.875 7 140 109.8549 110.9375 8 135 118.8984 125.4688 9 100 123.7289 130.2344 10 85 116.6102 115.1172 11 100 107.1272 100.0586 12 105 104.989 100.0293 13 104.9923 102.5146