24届物理竞赛决赛试题.pdf

《24届物理竞赛决赛试题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《24届物理竞赛决赛试题.pdf（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第第2 2 4 4届届 全全 国国 中中 学学 生生 物物 理理 竞竞 赛赛 决决 赛赛 试试 题题20072007 年年 1111 月宁波月宁波理论部分一、A，B，C 三个刚性小球静止在光滑的水平面上它们的质量皆为 m，用不可伸长的长度皆为 l 的柔软轻线相连，AB 的延长线与BC 的夹角=/3，如图所示在此平面内取正交坐标系 Oxy，原点 O 与 B 球所在处重合，x 轴正方向和 y 轴正方向如图另一质量也是 m 的刚性小球 D 位于 y 轴上，沿 y 轴负方向以速度 v0（如图）与 B 球发生弹性正碰，碰撞时间极短设刚碰完后，连接 A，B，C 的连线都立即断了求碰后经多少时间，D 球距

2、A，B，C 三球组成的系统的质心最近二、为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为 0.01AU（AU 为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU=1.4951011 m），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动）试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度 u0（发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看

3、做在地球轨道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径 Re=6.37106m，地面处的重力加速度 g=9.80 m/s2，不考虑空气的阻力三、如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为 H、内壁横截面积为 S 的绝热气缸内，有一质量为 m 的绝热活塞 A 把缸内分成上、下两部分活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动 缸内顶部与 A 之间串联着两个劲度系数分别为 k1和 k2（k1AlBODv0yClxk2）的轻质弹簧A 的上方为真空；A 的下方盛有一定质量的理想气体已知系统处于平衡状态，A 所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离）与两弹簧总共的压缩量相等皆为 h1=H/4现给电炉丝 R 通电流对

4、气体加热，使 A 从高度 h1开始上升，停止加热后系统达到平衡时活塞的高度为 h2=3H/4 求此过程中气体吸收的热量Q已知当体积不变时，每摩尔该气体温度每升高 1K 吸收的热量为 3R/2，R 为普适气体恒量在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律四、为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式在传输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端A 挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端B绝缘子的结构如图乙所示：在半径为 R1的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为 R2的半球形导体球壳已知当导体球与导体球壳间的

5、电压为 U 时，介质中离球心 O 的距离为 r 处的场强为 E=，场强方向沿径向1已半球形导体球壳HA知绝缘子导体球壳的内半径R2=4.6cm，陶瓷介质的击穿强度Ek=135kV/cm 当介质中任一点的场强EEk时，介质即被击穿，失去绝缘性能 为B图甲图乙导体球绝缘层使绝缘子所能承受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径 R1应取什么数值？此时，对应的交流电压的有效值是多少？2一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每个绝缘子的两导体间有电容 C0每个绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容 C1（导体球与铁塔相当于电容器的两个导体极板

6、，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容）；每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容 C2若高压输电线对地电压的有效值为 U0试画出该系统等效电路图3若 C0=70pF=71011 F，C1=5pF，C2=1pF，试计算该系统所能承受的最大电压（指有效值）五、如图所示，G 为一竖直放置的细长玻璃管，以其底端 O 为原点，建立一直角坐标系 Oxy，y轴与玻璃管的轴线重合在 x 轴上与原点 O 的距离为 d 处固定放置一电荷量为 Q 的正点电荷 A，一个电荷量为 q（q0）的粒子 P 位于管内，可沿 y 轴无摩擦地运动设两电荷之间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响OdAxPGy1

7、求放在管内的带电粒子 P 的质量 m 满足什么条件时，可以在 y0 的区域内存在平衡位置2上述平衡状态可以是稳定的，也可能是不稳定的；它依赖于粒子的质量m以 y（m）表示质量为 m 的粒子 P 处于平衡位置时的 y 坐标当粒子 P 处于稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是_；当粒子 P 处于不稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是_（请将填空答案写在答题纸上）3已知质量为 m1的粒子 P 处于稳定平衡位置，其 y 坐标为 y1现给 P 沿 y轴一微小扰动试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期4已知质量为 m2的粒子 P 的不稳定平衡位置的 y 坐标为 y2，现设想把 P放在坐标 y3处

8、，然后从静止开始释放 P 求释放后 P 能到达玻璃管底部的所有可能的 y3（只要列出 y3满足的关系式，不必求解）六、如图所示，一半径为 R、折射率为 ng的透明球体置于折射率n0=1 的空气中，其球心位于图中光轴的 O 处，左、右球面与光轴的交点为 O1与 O2球体右半球面为一球面反射镜，组成球形反射器光轴上 O1点左侧有一发光物点 P，P 点到球面顶点 O1的距离为 s由 P 点发出的光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射1问发光物点 P 经此反射器，最后的像点位于何处？2当 P 点沿光轴以大小为 v 的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的速度运动？并说明当球体的折射率

9、ng取何值时像点亦做匀速运动七、已知钠原子从激发态（记做 P3/2）跃迁到基态（记做 S1/2）所发出的光谱线波长 0=588.9965nm现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动不必考虑相对论效应），被一束沿 z 轴负方向传播的波长为=589.0080nm 的激光照射以 表示钠原子运动方向与 z 轴正方向之间的夹角（如图所示）问在 3045角度区间内的钠原子中速率 u 在什么范围内能产生共振吸收，从 S1/2态激发到 P3/2态？并求共振吸收前后钠原子速度（矢量）变化的大小已知钠原子质量为 M=3.791026kg，普朗克常量 h=6.6260691034PO1O2sJ?s

10、，真空中的光速 c=2.997925108 m?s1第第 2424 届届生物理竞生物理竞钠原子u激光束z全国中学全国中学赛决赛参赛决赛参考解答考解答一、1分析刚碰后各球速度的方向由于D 与 B 球发生弹性正碰，所以碰后D球的速度方向仍在 y 轴上；设其方向沿y 轴正方向，大小为 v 由于线不可伸长，所以在 D，B 两球相碰的过程中，A，C两球都将受到线给它们的冲量；又由于线是柔软的，线对 A，C 两球均无垂直于线方向的作用力，因此刚碰后，A 球的速度沿 AB 方向，C 球的速度沿 CB方向用 表示 B 球的速度方向与 x 轴的夹角，则各球速度方向将如图所示因为此时连接 A，B，C 三球的两根线

11、立即断了，所以此后各球将做匀速直线运动2研究碰撞后各球速度的大小以 v1，v2，v3分别表示刚碰后 A，B，C 三球速度的大小，如图所示因为碰撞过程中动量守恒，所以沿 x 方向有mv1mv3cos+mv2cos=0；（1）沿 y 方向有mv0=mvmv2sinmv3sin（2）根据能量守恒有mv=mv+mv+mv+mv2（3）因为碰撞过程中线不可伸长，B，C 两球沿 BC 方向的速度分量相等，A，B两球沿 AB 方向的速度分量相等，有v2cos=v1，（4）v2cos(+)=v3（5）将=/3 代入，由以上各式可解得v1=v0，（6）v2=v0，（7）v3=v0，（8）v=v0（9）3确定刚碰

12、完后，A，B，C 三球组成的系统质心的位置和速度由于碰撞时间极短，刚碰后 A，B，C 三球组成的系统，其质心位置就是碰撞前质心的位置，以（xc，yc）表示此时质心的坐标，根据质心的定义，有xc=，（10）yc=（11）代入数据，得xc=l，（12）yc=l（13）根据质心速度的定义，可求得碰后质心速度 vc的分量为vcx=，（14）vcy=（15）由（4）（7）和（14），（15）各式及 值可得vcx=0，（16）vcy=v0（17）4讨论碰后A，B，C 三球组成的系统的质心和 D 球的运动刚碰后A，B，C 三球组成的系统的质心将从坐标（xc=l/6，yc=l/6）处出发，沿 y 轴负方向以大

13、小为 5v0/12 的速度做匀速直线运动；而 D 球则从坐标原点 O 出发，沿 y 轴正方向以大小为 v0/4 的速度做匀速直线运动A，B，C 三球组成系统的质心与 D球是平行反向运动，只要D 球与 C 球不发生碰撞，则vC，vD不变，质心与 D 球之间的距离逐渐减少到 y 坐标相同处时，它们相距最近用 t 表示所求的时间，则有vt=yc+vcyt（18）将 vcy，v，yc的值代入，得t=（19）此时，D 球与 A，B，C 三球组成系统的质心两者相距 l/6在求出（19）式的过程中，假设了在 t=l/4v0时间内 C 球未与 D 球发生碰撞下面说明此假设是正确的；因为 v3=v0/3，它在

14、x 方向分量的大小为 v0/6经过 t 时间，它沿 x轴负方向经过的距离为 l/8而 C 球的起始位置的 x 坐标为 l/2经 t 时间后，C球尚未到达 y 轴，不会与 D 球相碰二、从地球表面发射宇宙飞船时，必须给飞船以足够大的动能，使它在克服地球引力作用后，仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨道 此时，飞船离地球已足够远，但到太阳的距离可视为不变，仍为日地距离 飞船在地球绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用 E 表示两轨道的交点，如图 1 所示图中半径为 rse的Bve图 1rsePA圆 A 是地球绕太阳运行的轨道，太阳 S 位于圆心设椭圆 B 是飞船绕日运行的轨道，P 为椭圆轨道的近

15、日点由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等，根据开普勒第三定律，椭圆的半长轴 a 应与日地距离 rse相等，即有a=rse（1）根据椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为2a，由此可以断定，两轨道的交点 E 必为椭圆短轴的一个顶点，E 与椭圆长轴和短轴的交点 Q（即椭圆的中心）的连线垂直于椭圆的长轴由ESQ，可以求出半短轴b=SP)2)（2）由（1），（2）两式，并将 a=rse=1AU，SP=0.01AU代入，得b=0.141AU（3）在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中，若以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒的 设飞船在 E 点的速度为 v，在近日点的速度为 vp，飞船

16、的质量为 m，太阳的质量为 Ms，则有mvasin=mvpSP，（4）式中 为速度 v 的方向与 E，S 两点连线间的夹角：sin=（5）由机械能守恒，得mv2G=mvSP)（6）因地球绕太阳运行的周期 T 是已知的（T=365d），若地球的质量为 Me，则有G=Me()2a（7）解（3）（7）式，并代入有关数据，得v=29.8 km/s（8）（8）式给出的 v 是飞船在 E 点相对于太阳的速度的大小，即飞船在克服地球引力作用后从 E 点进入椭圆轨道时所必须具有的相对于太阳的速度若在 E 点飞船相对地球的速度为 u，因地球相对于太阳的公转速度为ve=29.8 km/s，（9）方向如图 1 所示

17、由速度合成公式，可知v=u+ve，（10）速度合成的矢量图如图 2 所示，注意到 ve与ES垂直，有图 2u=2vvecos(2)，（11）代入数据，得u=39.1 km/s（12）u 是飞船在 E 点相对于地球的速度，但不是所要求的发射速度 u0为了求得 u0，可以从与地心固定连接在一起的参考系来考察飞船的运动 因飞船相对于地球的发射速度为 u0时，飞船离地心的距离等于地球半径 Re当飞船相对于地球的速度为 u 时，地球引力作用可以忽略由能量守恒，有muG=mu2（13）地面处的重力加速度为g=G)，（14）解（13），（14）两式，得u0=（15）由（15）式及有关数据，得u0=40.7

18、km/s（16）如果飞船在 E 点处以与图示相反的方向进入椭圆轨道，则（11）式要做相应的改变此时，它应为u=2vvecos(2+)，（17）相应计算，可得另一解u=45.0 km/s，u0=46.4 km/s（18）如果飞船进入椭圆轨道的地点改在 E 点的对称点处（即地球绕日轨道与飞船绕日轨道的另一个交点上），则计算过程相同，结果不变三、两个弹簧串联时，作为一个弹簧来看，其劲度系数k=（1）设活塞 A 下面有 mol 气体当 A 的高度为 h1时，气体的压强为 p1，温度为T1由理想气体状态方程和平衡条件，可知p1Sh1=vRT1，（2）p1S=kh1+mg（3）对气体加热后，当 A 的高度

19、为 h2时，设气体压强为 p2，温度为 T2由理想气体状态方程和平衡条件，可知p2Sh2=vRT2，（4）p2S=kh2+mg（5）在 A 从高度 h1上升到 h2的过程中，气体内能的增量U=vR(T2T1)（6）气体对弹簧、活塞系统做的功 W 等于弹簧弹性势能的增加和活塞重力势能的增加，即W=k(hh)+mg(h2h1)（7）根据热力学第一定律，有Q=U+W（8）由以上各式及已知数据可求得Q=H2+mgH（9）四、1根据题意，当导体球与导体球壳间的电压为 U 时，在距球心 r（R1rR2）处，电场强度的大小为E=（1）在 r=R1，即导体球表面处，电场强度最大以 E（R1）表示此场强，有E(

20、R1)=（2）因为根据题意，E（R1）的最大值不得超过 Ek，R2为已知，故（2）式可写为Ek=（3）或U=Ek（4）由此可知，选择适当的 R1值，使(R2R1)R1最大，就可使绝缘子的耐压 U为最大不难看出，当R1=（5）时，U 便是绝缘子能承受的电压的最大值 Uk由（4），（5）两式得Uk=，（6）代入有关数据，得Uk=155kV（7）当交流电压的峰值等于 Uk时，绝缘介质即被击穿这时，对应的交流电压的有效值Ue=110kV（8）2系统的等效电路如图所示3 设中间三点别为 U1，C1C1C1C1C0C0C0C0C2C2C2U0C2绝缘子串的电势分U2，U3，如图所示 由等效电路可知，与每个

21、中间点相连的四块电容极板上的电荷量代数和都应为零，即有(U1U2)C0U1C1(U0U1)C0(U0U1)C2 0,(U2U3)C0U2C1(U1U2)C0(U0U2)C2 0,（9）U C U C(U U)C(U U)C 0.3123003230四上的电等于C1C1C1C1U3U2U1C0C0C0C0C2C2C2U0(U0U1)+(U1U2)+(U2U3)+U3=U0（10）设U1=U0U1，U2=U1U2，U3=U2U3，U4=U3，（11）则可由（9）式整理得代入数据，得76U170U25U0 0,（12）6U176U270U35U0 0,76U 76U 146U 75U 0.1230个

22、绝缘子C2压之和应U0，即解（12）式，可得U1=0.298U0，U2=0.252U0，U3=0.228U0（13）由（10）（12）式可得U4=U3=0.222U0（14）以上结果表明，各个绝缘子承受的电压不是均匀的；最靠近输电线的绝缘子承受的电压最大，此绝缘子最容易被击穿当最靠近输电线的绝缘子承受的电压有效值U1=Ue（15）时，此绝缘子被击穿，整个绝缘子串损坏由（8），（13）和（15）三式可知，绝缘子串承受的最大电压U0max=369kV（16）五、1如图所示，位于坐标 y 处的带电粒子 P 受到库仑力 FE为斥力，其 y 分量为FEy=ksin=k，（1）式中 r 为 P 到 A 的

23、距离，为 r 与 x 轴的夹角可以看出，FEy与 y 有关：当 y 较小时，（1）式分子中的 y 起主要作用，FEy随 y 的增大而增大；当 y 较大时，（1）式分母中的 y 起主要作用，FEy随 y 的增大而减小可见，FEy在随 y 由小变大的过程中会出现一个极大值通过数值计算法，可求得 FEy随 y 变化的情况令OdPFEymgrAxyG=y/d，得FEy=k,(1+2)3/2)（2）当取不同数值时，对应的(1+2)3/2的值不同经数值计算，整理出的数据如表 1 所示表 10.1000.5000.6000.6500.7000.7070.7100.7500.8000.09850.3560.3

24、780.3820.3850.3850.3850.3840.381(1+2)3/2由表中的数据可知，当=0.707，即y=y0=0.707d（3）时，库仑力的 y 分量有极大值，此极大值为FEymax=0.385k（4）由于带电粒子 P 在竖直方向除了受到竖直向上的 FEy作用外，还受到竖直向下的重力 mg 作用只有当重力的大小 mg 与库仑力的 y 分量相等时，P 才能平衡当 P 所受的重力 mg 大于 FEymax时，P 不可能达到平衡故质量为 m 的粒子存在平衡位置的条件是mgFEymax由（4）式得mk（5）2y(m)0.707d；0y(m)0.707d3根据题意，当粒子 P 静止在 y

25、=y1处时，处于稳定平衡位置，故有kQqy1(d2y)3221m1g=0（6）设想给粒子 P 沿 y 轴的一小扰动y，则 P 在 y 方向所受的合力为Fy=FEym1g=km1g（7）由于y 为一小量，可进行近似处理，忽略高阶小量，有Fy=k+2y1y3/2)m1g=k)3/2)(1)m1g=k)3/2)+k)3/2)ky,(d2+y)5/2)m1g注意到（6）式，得Fy=d2),(d2+y)y1)y（8）因 y=y1是粒子 P 的稳定平衡位置，故 y10.707d，2yd20由（8）式可知，粒子 P 在 y 方向受到合力具有恢复力的性质，故在其稳定平衡位置附近的微小振动是简谐运动；其圆频率为

26、=d2),(d2+y)y1)g)，（9）周期为T=2)y1,(2yd2)g)（10）4粒子 P 处在重力场中，具有重力势能；它又处在点电荷 A 的静电场中，具有静电势能当 P 的坐标为 y 时，其重力势能Wg=m2gy，式中取坐标原点 O 处的重力势能为零；静电势能WE=k粒子的总势能W=Wg+WE=m2gy+k（11）势能也与 P 的 y 坐标有关：当 y 较小时，静电势能起主要作用，当 y 较大时，重力势能起主要作用在 P 的稳定平衡位置处，势能具有极小值；在 P 的不稳定平衡位置处，势能具有极大值根据题意，y=y2处是质量为 m2的粒子的不稳定平衡位置，故 y=y2处，势能具有极大值，即

27、W(y2)=Wmax=m2gy2+k)（12）当粒子 P 的坐标为 y3时，粒子的势能为W(y3)=m2gy3+k)当 y3y2时，不论y3取何值，粒子从静止释放都能到达管底若y3y2，粒子从静止释放能够到达管底，则有W(y3)W(y2)所以，y3满足的关系式为y3y2；（13）或者y3y2且 m2gy3+k)m2gy2+k)（14）附：（1）式可表示为FEy=ksin=kcos2sin，式中 为 P，A 之间的连线和 x 轴的夹角由上式可知，带电粒子 P 在=0，/2 时，FEy=0在0/2 区间，随着 的增大，sin 是递增函数，cos2 是递减函数在此区间内，FEy必存在一个极大值 FE

28、ymax；用数值法求解，可求得极大值所对应得角度 0经数个计算整理出的数据如表 2 所示表 2/rad0.0100.4640.5400.5760.6110.6150.6170.6440.675cos2sin0.0290.3670.3780.3830.3850.3850.3850.3840.381由表中数值可知，当=00.615rad（即 35.26）时，FEy取极大值FEymax=kcos20sin0=0.385k带电粒子 P 在竖直方向上还受到重力 G 的作用，其方向与 FEy相反 故带电粒子 P 受到的合力F=FEyG=kcos2sinmg当 F=0，即 FEy=G 时，P 处于平衡状态由

29、此可见，当带电粒子的质量m=时，可以在 y 轴上找到平衡点六、1单球面折射成像公式可写成+=，（1）式中 s 为物距，s为像距，r 为球面半径，n 和 n分别为入射光和折射光所在介质的折射率在本题中，物点 P 经反射器的成像过程是：先经过左球面折射成像（第一次成像）；再经右球面反射成像（第二次成像）；最后再经左球面折射成像（第三次成像）（1）第一次成像令 s1和 s1分别表示物距和像距因 s1=s，n=n0=1，n=ng，r=R，有+=，（2）即s1=（3）（2）第二次成像用 s2表示物距，s2表示像距，有+=（4）因 s2=2Rs1，r=R，由（3），（4）两式得s2=（5）（3）第三次成像

30、用 s3表示物距，s3表示像距，有+=（6）因 s3=2Rs2，n0=1，r=R，由（5），（6）两式得s3=（7）2以 v表示像的速度，则v(4sngs4R)Rs314(ss)ng(ss)4RRtt2n(ss)4(ss)n R4R2n s4sn R4Rgggg（8）22ngR s/t.2(2ngs4sngR4R)s(2ng4)(2ngs4sngR4R)由于s 很小，分母中含有s 的项可以略去，因而有v=R2,(2ngs4s+ngR4R)2)（9）根据题意，P 从左向右运动，速度大小为 v，则有v=（10）由此可得，像的速度v=R2v,(2ngs4s+ngR4R)2)（11）可见，像的速度与s

31、 有关，一般不做匀速直线运动，而做变速直线运动当n=2（12）时，（11）式分母括号中的头两项相消，v将与 s 无关这表明像也将做匀速直线运动；而且（11）式变为 v=v，即像的速度和 P 的速度大小相等七、解法一根据已知条件，射向钠原子的激光的频率v=（1）对运动方向与 z 轴正方向的夹角为、速率为 u 的钠原子，由于多普勒效应，它接收的激光频率v=v(1+cos)；（2）改用波长表示，有=（3）发生共振吸收时，应有=0，即=0（4）解（4）式，得ucos=c；（5）代入有关数据，得ucos=5.85103 m?s1（6）由（6）式，对=30的钠原子，其速率u1=6.76103 m?s1；对

32、=45的钠原子，其速率u2=8.28103 m?s1运动方向与 z 轴的夹角在 3045区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速率范围为6.76103 m?s1u8.28103 m?s1（7）共振吸收前后，动量守恒设钠原子的反冲速率为 V，则有Muez=MV（8）其中 ez为 z 轴方向的单位矢量由（8）式得uV=ez（9）钠原子速度（矢量）变化的大小为|uV|=；（10）代入数据，得|uV|=2.9102 m?s1（11）解法二根据已知条件，钠原子从激发态 P3/2跃迁到基态 S1/2发出的光谱线的频率v0=；（1）入射激光的频率v=（2）考查运动方向与 z 轴的正方向成 角的某个钠原子

33、它在共振吸收过程中动量守恒，能量守恒以u 表示该钠原子在共振吸收前的速度，V 表示该钠原子共振吸收后的速度，则有Muez=MV，（3）Mu2+hv=MV2+hv0（4）把（3）式写成分量形式，并注意到共振吸收前后钠原子在垂直于z轴方向的动量不变，有Musin=MVsin，（5）Mucos=MVcos，（6）式中 为激发态钠原子速度方向与 z 轴正方向的夹角从（5），（6）两式中消去，得M2u2M2V2=()2+2Mucos（7）由（4），（7）两式可得2hv02hv=()2+2hvcos（8）注意到(hv/c)2=M，得v0=v(1+cos)；（9）改用波长表示，有0=（10）解（10）式，得ucos=c；（11）代入有关数据，得ucos=5.85103 m?s1（12）由（12）式，对=30的钠原子，其速率u1=6.76103 m?s1；对=45的钠原子，其速率u2=8.28103 m?s1运动方向与 z 轴的夹角在 3045区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速率范围为6.76103 m?s1u8.28103 m?s1（13）由（3）式可知，钠原子共振吸收前后速度（矢量）的变化为uV=ez，（14）速度（矢量）大小的变化为|uV|=；（15）代入数据，得|uV|=2.9102 m?s1（16）