高考数学解答题专题函数与导数.pdf

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1、高考数学解答题专题-函数与导数2.（辽宁卷 22）（本小题满分 14 分）设函数ln()lnln(1)1xf xxxx（）求 f(x)的单调区间和极值；（）是否存在实数 a，使得关于 x 的不等式()f xa的解集为（0，+）若存在，求 a的取值范围；若不存在，试说明理由 本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力满分 14 分 解：（）221ln11ln()(1)(1)1(1)xxfxxxxxxx 2 分 故当(01)x，时，()0fx，(1)x，时，()0fx 所以()f x在(01)，单调递增，在(1)，单调递减 4 分 由此知

2、()f x在(0)，的极大值为(1)ln2f，没有极小值 6 分（）（）当0a时，由于ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln()011xxxxxxxxf xxx，故关于x的不等式()f xa的解集为(0)，10 分（）当0a 时，由ln1()ln 11xf xxx知ln21(2)ln 1122nnnnf，其中n为正整数，且有 22211ln 11log(1)222nnnnaene 12 分 又2n时，ln2ln2ln22ln2(1)121(1 1)12nnnnnn nn 且2ln24ln2112annn 取整数0n满足202log(1)nne，04ln21na，且02n，则0000ln2

3、1(2)ln 112222nnnnaafa，即当0a 时，关于x的不等式()f xa的解集不是(0)，综合（）（）知，存在a，使得关于x的不等式()f xa的解集为(0)，且a的取值范围为0，14 分 1.已知函数)(ln)(Raxaxxf（）求)(xf的极值；（）若函数)(xf的图象与函数)(xg=1 的图象在区间,0(2e上有公共点，求实数 a 的取值范围。1 解：（1）2)(ln1)(),0()(xaxxfxf的定义域为 令aexxf10)(得 当)(,0)(,),0(1xfxfexa时是增函数 当)(,0)(,),(1xfxfexa时是减函数 111)()(,)(aaaeefxfexx

4、f极大值处取得极大值在（2）（i）当21eea时，时1a，由（）知),0()(1 aexf在上是增函数，在,(21eea上是减函数 11()()aamaxf xf ee 又当,(.0)(,0(,0)(,2eexxfexxfexaaa当时当时时，).0()(1aexf所以1)()(xgxf与图象的图象在,0(2e上有公共点，等价于11ae 解得1,1,1aaa所以又（ii）当121aeea即时，,0()(2exf在上是增函数，2222)(,0()(eaefexf上的最大值为在 所以原问题等价于.2,1222eaea解得 又1a，无解 2.已知函数)1ln()ln(1)ln()(xaxxaxxf,

5、),0(Raa（）求函数()f x的定义域；（）求函数()f x的单调区间；（）当a0 时，若存在 x 使得()ln(2)f xa成立，求a的取值范围.2 解：（）当0a时函数()f x的定义域为),0(；当0a时函数()f x的定义域为)0,1(（）111)1()ln(1)(2xxxaxxxxf 222)1()ln()1()1()1()ln()1(xaxxxxxxaxxx 令()0fx时，得ln0ax 即1xa，当0a 时，1(0,)xa时()0fx，当1(,)xa时，()0fx，故当0a 时，函数的递增区间为1(0,)a，递减区间为1(,)a 当10a 时，10ax，所以()0fx，故当1

6、0a 时，()f x在(1,0)x 上单调递增 当1a时，若1(1,)xa，()0fx;若1(,0)xa，()0fx，故当1a时，()f x的单调递增区间为1(,0)a;单调递减区间为1(1,)a （）因为当0a 时，函数的递增区间为1(0,)a;单调递减区间为1(,)a 若存在x使得()ln(2)f xa成立，只须1()ln(2)faa，即011ln()ln2201112aaaaaaaaa 4.已知函数21()xg xxc的图像关于原点成中心对称，设函数21()()lnxcxf xg xx (1)求()f x的单调区间;(2)已知xmex对任意(1,)x恒成立求实数m的取值范围(其中e是自然

7、对数的底数)4 解:(1)由已知可得 C=0,ln)(,1)(2xxxfxxxg 2ln1()lnxfxx,令()0fx,得xe列表如下:x(0,1)(1,)e(,)e ()fx-+()f x 单调减 单调减 单调增 所以()f x的单调增区间为(,)e,单调减区间为(0,1)和(1,)e(2)在xmex两边取对数,得lnxmx而1x 所以lnxmx 由(1)知当(1,)x时,()()f xf ee所以me 5.设函数xbxxfln)1()(2，其中b为常数（）当21b时，判断函数()f x在定义域上的单调性；（）若函数()f x的有极值点，求b的取值范围及()f x的极值点；（）若1b ,试

8、利用（II）求证：n3 时，恒有211ln1lnnnnn。5 解：（1）由题意知，()f x的定义域为),0(，)0(21)21(22222)(22xxbxxbxxxbxxf 当21b时，()0fx，函数()f x在定义域),0(上单调递增 （2）由（）得，当12b时，/()0fx,函数()f x无极值点 当12b 时，()0fx有两个不同解，221211bx22121 ,2bx 0 )bi时，舍去),0(0221211bx，),0(122121 2bx而,此时()fx，()f x随x在定义域上的变化情况如下表：x),0(2x 2x 2()x，()fx 0 ()f x 减 极小值 增 由此表可

9、知：0b时，()f x有惟一极小值点22121 ,bx，ii）当102b时，021xx 1 此时，()fx，()f x随x的变化情况如下表：x 10,x 1x 12()xx，2x 2()x，()fx 0 0 ()f x 增 极大值 减 极小值 增 由此表 可知：102b时，()f x有一个极 大值221211bx和一个极小值 点221212bx；综上所述：当0b时，()f x有惟一最小值点22121 ,bx；当102b时，()f x有一个极大值点22121bx和一个极小值点22121bx（3）由（2）可知当1b 时，函数xxxfln)1()(2，此时()f x有惟一极小值点312x 且为减函数

10、在时，)231,0()(,0)()231,0(xfxfx 成立时恒有当，即恒有恒有，时，当 1 ln)1ln(3)11ln(10 )11(f(1)23134111 0 3 22nnnnnnnfnn 令函数 )0 ln)1()(xxxxh（xxxxh111)(则 21ln)1ln(1 3 1)11ln(ln)1ln(0)11ln(n1 )1()11(111 3)(),1 1)(0)(1nnnnnnnnnnhnhnnxhxxxhxhx时恒有综上述可知即时为增函数时处连续在，又时，6.已知函数221()ln(1),().1f xxg xax（1）求()g x在(2,(2)Pg处的切线方程;l（2）若

11、()f x的一个极值点到直线l的距离为 1，求a的值；（3）求方程()()f xg x的根的个数.6 解：（1）222()(1)xg xx (2)2 2g 且(2)1ga 故()g x在点(2,(2)Pg处的切线方程为：2 250 xya （2）由22()01xfxx得0 x，故()f x仅有一个极小值点(0,0)M，根据题意得：513ad 2a 或8a （3）令221()()()ln(1)1h xf xg xxax 2222222211()21(1)1(1)xxh xxxxxx 当0,1)(1,)x时，()0h x 当(,1)(1,0)x 时，()0h x 因此，()h x在(,1),(1,0)时，()h x单调递减，在(0,1),(1,)时，()h x单调递增.又()h x为偶函数，当(1,1)x 时，()h x极小值为(0)1ha 当1x 时，()h x ，当1x 时，()h x 当x 时，()h x ，当x时，()h x 故()()f xg x的根的情况为：当10a时，即1a 时，原方程有 2 个根；当10a时，即1a 时，原方程有 3 个根；当10a时，即1a 时，原方程有 4 个根