2012年浙江省高等数学竞赛试题与答案(工科类) 甄选.pdf

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1、精品 word.仅供参考最新 2012 年浙江省高等数学竞赛试题与答案(工科类)（优选.)rd2012 浙江省高等数学（微积分）竞赛试题工科类一计算题：（每小题 1分，满分0 分）姓名线logx(xa xb)。1求极限xlim2设函数fn:R R R R可导，且x,yR R，满足f(x y)f(x)y xy，求f(x)的表达式。3计算 0 x sin x dx（n为正整数）。准考证号4计算x y minx,2 ydxdy，D为y2 x与y x2围成的平面有界闭区域。D3x acos5求曲线3y asin订，(0)的形心，其中a 0为常数。二、（满分 20 分）n1证明：lnn 11lnn，nn

2、i1i。专业三、（满分 20 分）装2uu u设u:R R R R所有二阶偏导连续，证明u可表示为u(x,y)f(x)g(y)的充分必要条件为u。xyx y2四、（满分 20）学校在草地中间有一个底面半径为 3 米的圆柱形的房子。外墙脚拴一只山羊，已知拴山羊的绳子长为米，外墙底面半径为 3 米，求山羊能吃到草的草地面积。五、（满分 20 分）1n1证明(1)C。kk1kk1k1knn工科类答案工科类答案一、计算题1/4doc 格式 可编辑精品 word.仅供参考logx(xa xb)lim logxxa(1 xba)a lim logx(1 xba)a1、若a bxlimxxlogx(xa x

3、b)同理，当a b时，xlimb，logx(xa xb)所以xlimmax(a,b)2、解：由假设，y 0，有f(x y)f(x)1 xyf可导 f(x)1 x同理f(x)1 x f(x)1 x f(x)x x2/2c3、解：0 x sin x dxjx sin x dx 0 x jsin xdxj1j1nnjn nxsin xdx2j 1 n2nnn1 n22n0j1n4、解：D1x,yx y x,0 x 1,D2x,yx/2 y x,0 x 1/2D3x,yxD12 y x,1/2 x 1,D4x,yxD32 y x/2,0 x 1/2原积分(y x)xdxdy(x y)xdxdy(x y

4、)xdxdy(x y)ydxdyD2D4dx(y x)xdy 1dx2(x y)xdydx1(y x)xdydx(x y)2ydy0 x2x1x1x120 x2x1201x2x2132111111x x2x4 1(x4x5x6)11x467885123202120112(x4x6x7)246211201111112532472453224532166421179205、解：xcLxds/Lds 0，ycLyds/Lds而ds)2(y)2d 3asincosd(x2Lds 3asincosd00basincosd3a2Lyds asinx3asincosd 6a03/20sin4cosd62a5

5、xc 0yc2a5二、证明：显然jnj1j111dx dxj 2j1xjxnnj1n11111dx 1dx 1lnnj1x 1xj1jj2jj21n111n1j1111另一方面jdxlnnnj1xnnj1jj1jn三、证明：u f(x)g(y)时，显然有uuxyuxuy2/4doc 格式 可编辑精品 word.仅供参考反之，若uuxyuxuy成立，即有(uuxyuxuy)/u2(ux/u f1(x)ux)y 0u也即ln u f1(x)dx g1(y)f2(x)g1(y)u f(x)g(y)四、解：(方法一)以圆柱形旁子的圆心为原点，拴羊点在x轴上x 3点，则羊跑最远的曲线在x 3的区域内是渐

6、开线 即x 3(cost(/3t)sin t)y 3(sint(/3t)cos t)记在x 3山羊能吃到草的草地面积为S1S1 233/2ydx2/3/309sin tdt 2(3sin t(3t)cos t)(3t)cos tdt 2/320/309sin2tdt 20223(3t)sin tcost(3t)cos tdt 2/309sin2tdt/3113(3t)sin2t(3t)2(t sin2t)6(3t)(t sin2t)9sin2tdt0220/3/31911 33tt2cos2tt sin2t9t2cos2tdt0222200/3/3t319 39sin2t834/3039113

7、所以山羊能吃到草的草地面积S 921833(方法二)山羊能吃到草的草地面积S可表示为一半圆与绳子绕向房子所能到达的面积S1和绳子绕向房子时转过其扫过的面积可近似为扇形S1/32r203d3/9所以S 11 3/18nk1kn21n11n1k1k k1五、证明：(1)C0(1)Cntdt 0(1)kCnktkdtktk1k1k1nn11(1t)11 x(1t)n1dt dt dx000tt1 x1n1n11tk1而0tdt 0dt等式成立1tk1kk1n赠人玫瑰，手留余香。3/4doc 格式 可编辑精品 word.仅供参考感谢您使用本店文档您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）-4/4doc 格式 可编辑