矩阵分析第3章习题答案.pdf

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1、 1 第三章 1、已知()ijAa是 n 阶正定 Hermite 矩阵，在 n 维线性空间nC中向量 1212(,),(,)nnx xxy yy定义内积为(,)HA （1）证明在上述定义下，nC是酉空间；（2）写出nC中的 Canchy-Schwarz 不等式。2、已知2111311101A，求()N A的标准正交基。提示：即求方程0AX 的基础解系再正交化单位化。3、已知 308126(1)316,(2)103205114AA 试求酉矩阵U，使得HUAU是上三角矩阵。提示：参见教材上的例子 4、试证：在nC上的任何一个正交投影矩阵P是半正定的 Hermite 矩阵。5、验证下列矩阵是正规矩阵

2、，并求酉矩阵U，使HUAU为对角矩阵，已知 1133 2611(1)63 22 31262 3iiAii 01(2)10000iAi，434621(3)44326962260iiiAiiiii 11(4)11A 6、试求正交矩阵Q，使TQ AQ为对角矩阵，已知 2 220(1)212020A，11011110(2)01111011A 7、试求矩阵P，使HP APE（或TP APE），已知 11(1)01112iiAii，222(2)254245A 8、设 n 阶酉矩阵U的特征根不等于1，试证：矩阵EU满秩，且1()()Hi EUEU是Hermite矩阵。反之，若H是Hermite矩阵，则EiH

3、满秩，且1()()UEiHEiH是酉矩阵。证明：若|0EU，观察0EU知1为U的特征值，矛盾，所以矩阵EU满秩。11()()()HHHHHi EUEUi EUEU，要HHH，只 要11()()()()()()HHHHHHi EUEUi EUEUEUEUEUEUUUUU 故HHH 由()0 EiHi iEH知i为 H 的特征值。由 Hermite 矩阵只能有实数特征值可得0EiH，即EiH满秩。111111()()()()()()()()()()()()HHHU UEiHEiHEiHEiHEiHEiHEiHEiHEiHEiHEiHEiHE 9、若,S T分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0

4、ETiS，试证：1()()ETiSETiS是酉矩阵。证明：1111()()()()()()()()HETiSETiSETiSETiSETiSETiSETiSETiS 3 11()()()()ETiSETiS E TiS E TiSE 10、设,A B均是实对称矩阵，试证：A与B正交相似的充要条件是A与B的特征值相同。证明：相似矩阵有相同的特征值。A与B正交相似A与B的特征值相同。若A与B的特征值相同，又,A B均是实对称矩阵。所以存在正交阵 Q，P 使()()TTTTTQ AQP BPQPA QPB其中TQP为正交阵。11、设,A B均是 Hermite 矩阵，试证：A与B酉相似的充要条件是A

5、与B的特征值相同。证明：同上一题。12、设,A B均是正规矩阵，试证：与B酉相似的充要条件是A与B的特征值相同。同上 13、设 A 是 Hermite 矩阵，且2AA，则存在酉矩阵U，使得000rHEU AU 14、设 A 是 Hermite 矩阵，且2AE，则存在酉矩阵U，使得00rHn rEU AUE。15、设 A 为正定 Hermite 矩阵，B 为反 Hermite 矩阵，试证：AB与BA的特征值实部为 0。证：A 为正定 Hermite 矩阵HAL L，L为满秩的。1()HHHHEABEL LBLELBLL，()HHHHHLBLLB LLBL HLBL是反 Hermite 矩阵，反

6、Hermite 矩阵的特征值实部为 0,所以AB的特征值实部为 0。16、设,A B均是 Hermite 矩阵，且 A 正定，试证：AB与BA的特征值都是实数。证明：同上题。1()HHHHEABEL LBLELBLL，()HHHHHLBLLB LLBL，HLBL是 Hermite 矩阵，Hermite 矩阵的特征值为实数,所以AB的特征值是实数。17、设 A 为半正定 Hermite 矩阵，且0A，试证：1AE。证明：A 的特征值为0i，矩阵的行列式等于特征值之积。AE特征值为1i，4(1)1iAE 18、设 A 为半正定 Hermite 矩阵，0A，B 是正定 Hermite 矩阵，试证：A

7、BB。证明：HBL L，L为满秩的。111111()()()HHHHHHABAL LLLALE LLALE L LLALE B 11()HLAL为半正定 Hermite 矩阵，由上题11()1HLALE，11()HABLALE BB 19、设 A 为正定 Hermite 矩阵，且n nAU，则AE。证明：存在,n nUUHAUU，1(,),0nidiag。又n nAU，2HHHHEA AUUUU211iiHHAUUUEUE 20、试证：（1）两个半正定 Hermite 矩阵之和是半正定的；（2）半正定 Hermite 矩阵与正定 Hermite 矩阵之和是正定的。提示：考查()HXAB X 2

8、1、设 A 是正定 Hermite 矩阵，B 是反 Hermite 矩阵，试证：AB 是可逆矩阵。提示：A 为正定 Hermite 矩阵HAL L，L为满秩的。11()HHABLELBLL 11()HLBL是反 Hermite 矩阵，特征值i实部为 0,11()(1)0HiELBL，所以0AB 22、设 A，B 是 n 阶正规矩阵，试证：A 与 B 相似的充要条件是 A 与 B 酉相似。证明：充分性，酉相似相似。必要性，A，B 是 n 阶正规矩阵，111222,HHn niAUUBUUUU，又 A 与B 相似,A与B的特征值相同,可设 12，111122121,HHHHn nAUUU U BU

9、 U U UU 23、设HAA，试证：总存在0t，使得AtE是正定 Hermite 矩阵，AtE是负定Hermite 矩阵。提示：A 的特征值为i，则AtE的特征值为it 5 24、设 A 是正定 Hermite 矩阵，且 A 还是酉矩阵，则AE。提示：25、设 A、B 均为正规矩阵。且ABBA，则AB与BA均为正规矩阵。提示：用定理，,A B可以同时酉对角化。26、设HAA，试证：1()()UAEAE是酉矩阵。提示：111111()()()()()()()()()()()()HHU UAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEAEE 27、设 A 为 n 阶正规矩阵，12,n 为 A 的特

10、征值，试证：HA A的特征值为22212|,|,|n。提示：1HnUAU，11HHnnUA AU ，所以HA A的特征值为2iii 28、设n nAC，试证：（1）HA A和HAA都是半正定的 Hermite 矩阵；（2）HA A和HAA的非零特征值相同。提示：（1）()()0HHHXA AXAXAX （2）HHiiA AXXAA AXAX，特征值的重数也相同，参见 P191 29、设 A 是正规矩阵，试证：（1）若0rA（r为自然数），则0A；（2）若2AA，则HAA；（3）若32AA，则2AA。30、设,HHAA BB，求证以下三条件等价：（1）AB为正规矩阵 （2）ABBA （3）()H

11、ABAB 解：（1）（2）()()()()HHABABABABHHHHA BB AABBA由,HHAA BB ABBA。6（2）（3）ABBA,由,HHAA BB()HHHABB AAB （2）（1）()()()()HABABABAB,由 ABBA()()()()ABABABAB 31、设n nAC，则 A 可以唯一的写为ASiT，其中,S T为 Hermite 矩阵。且 A 可以唯一的写为ABC，其中 B 是 Hermite 矩阵，C 是反 Hermite 矩阵。解：设ASiT，其 中,S T为Hermite矩 阵，则HHHASiTSiT。,22HHAAAASTi。唯一性（略）寻一处清幽，觅一分杳然 孤独，是沉淀心性的一剂良药 孤独时的寡言罕语更甚过侃谈痛不言，笑不语，此时无声胜