高考真题体验：抛物线专项.pdf

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1、v1.0 可编辑可修改 1 高考真题体验：抛物线专项 一、选择题 1.抛物线28yx 的焦点坐标是（B）A（2，0）B（2，0）C（4，0）D（4，0）2.抛物线2xy的准线方程是（B）410 x 410y 210 x 210y 3.抛物线28yx的准线方程是（A）2x 4x 2y 4y 4.抛物线28yx的焦点到准线的距离是 C （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 5.设抛物线28yx上一点P到y轴的距离是 4，则点P到该抛物线焦点的距离是B A 4 B 6 C 8 D12 6.以抛物线24yx的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为(D)A2220 xyx B 220 xyx C 220

2、 xyx D 2220 xyx 7.已知点P在抛物线24yx上，那么点P到点(21)Q，的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（A）A114，B114，C(12)，D(12)，8.已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（A ）A172 B3 C5 D92 9.已知直线1:4360lxy和直线2:1lx ，抛物线24yx上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是（A）A2 B3 C115 D3716 10.抛物线2yx 上的点到直线4380 xy距离的最小值是（A）43 75 85 3 11.连接抛物线2

3、4xy的焦点F与点(10)M，所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三角形OAM的面积为（B）12 322 12 322 12.设斜率为 2 的直线l过抛物线2yax（0a）的焦点F，且和y轴交于点A若OAF（O为坐标原点)的面积为 4，则抛物线方程为（B ）v1.0 可编辑可修改 2 A24yx B28yx C 24yx D28yx 13.直线3yx与抛物线24yx交于AB，两点，过AB，两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为PQ，则梯形APQB的面积为（A）48 56 64 72 14.设抛物线22yx的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于,A B两点，与抛物线的准线相交

4、于点C，BF=2，则BCF与ACF的面积之比BCFACFSS=（A）A45 B23 C47 D12 15.抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（C）4 3 3 4 3 8 16.已知抛物线28Cyx：的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|2|AKAF，则AFK的面积为（B ）A4 B8 C16 D32 17.已知抛物线22(0)ypx p的准线与圆22670 xyx相切，则p的值为 C （A）12 （B）1 （C）2 （D）4 18.若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则

5、p的值为（D）2 2 4 4 19.已 知 两 点2 0M ，2 0N，点P为 坐 标 平 面 内 的 动 点，满 足0MNMPMN NP，则动点P xy，的轨迹方程为（B）28yx 28yx 24yx 24yx 20.设抛物线28yx的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为3，那么PF=B （A）43（B）8（C）8 3（D）16 21.已知抛物线22(0)ypx p的焦点为F，点111222()()P xyP xy，333()P xy，在抛物线上，且2132xxx，则有（C）123FPFPFP 222123FPFPFP 2132 FPFPFP 2213

6、FPFPFP 22.设F为抛物线24yx的 焦点，ABC，为该 抛物线上三点 若FAFBFC 0，则FAFBFC（B ）A9 B6 C4 D3 v1.0 可编辑可修改 3 23.已知直线(2)(0)yk xk与抛物线2:8C yx相交与AB、两点，F为C的焦点若2FAFB，则k（D ）A13 B23 C23 D2 23 24.设O为坐标原点，F为抛物经24yx的焦点，A为抛物线上一点，若4OA AF ，则点A的坐标为（B）(22 2)，(12)，(12)，(2 2 2)，25.已知抛物线22(0)ypx p，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于AB，两点，若线段AB的中点的纵坐标为 2，则该

7、抛物线的标准方程为 B （A）1x （B）1x （C）2x （D）2x 26.设O是坐标原点，F是抛物线22(0)ypx p的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为（B）A214p B212p C136p D1336p 27.点P在直线:1l yx上，若存在过P的直线交抛物线2yx于AB，两点，且|PAAB，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（A ）A直线l上的所有点都是“点”B直线l上仅有有限个点是“点”C直线l上的所有点都不是“点”D直线l上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”二、填空题 1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且

8、过点(2 4)P，则该抛物线的方程是 28yx 2.动点P到点(2 0)F，的距离与它到直线20 x的距离相等，则点P的轨迹方程为 28yx 3.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点若(2 2)P，为AB的中点，则抛物线C的方程为 24yx 4.抛物线xy82的焦点坐标是 （2，0）5.以双曲线15422yx的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 )3(122xy v1.0 可编辑可修改 4 6.设抛物线)0(22ppxy的焦点为F，点(0 2)A，若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为 324 7.已知以F为焦点的抛物

9、线24yx上的两点A、B满足3AFFB，则弦AB的中点到准线的距离为_83 8.已知过抛物线24yx的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，2AF，则BF _ 2 9.已知直线10 xy 与抛物线2yax相切，则a _14 10.设O是坐标原点，F是抛物线22(0)ypx p的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为 212p 11.过抛物线22ypx（0p）的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为 8，则p 2 12.已知抛物线2:2(0)C ypx p的准线为l，过M（1，0）且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若AMMB，则p

10、 _2 13.过抛物线22(0)xpy p的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于AB，两点（点A在y轴左侧），则AFFB 13 14.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为 yx 15.已知F是抛物线24Cyx：的焦点，过F且斜率为 1 的直线交C于AB，两点设FAFB，则FA与FB的比值等于 32 2 16.已知F是抛物线24Cyx：的焦点，AB，是C上的两个点，线段AB的中点为(2 2)M，则ABF的面积等于 2 17.过抛物线22(0)xpy p的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于AB，两点

11、，AB，在x轴上的正射影分别为DC，若梯形ABCD的面积为12 2，则p 2 18.已 知 抛 物 线24yx，过 点(4 0)P，的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于1122()()A xyB xy，两点，则2212yy的最小值是 32 三、解答题 1.（本小题满分 12 分）已知抛物线C：22(0)ypx p过点A（1，2）v1.0 可编辑可修改 5（）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由 1.本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论

12、证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想满分12 分 解：（）将（1，2）代入22ypx，得2(2)2p1，所以2p 故所求的抛物线C的方程为24yx，其准线方程为1x （）假设存在符合题意的直线l，其方程为2yxt，由224yxtyx，得2220yyt 因为直线l与抛物线C有公共点，所以480t，解得12t 另一方面，由直线OA与l的距离55d 可得|155t，解得1t 因为112 ，112，所以符合题意的直线l存在，其方程为210 xy 2.（本小题满分 14 分）如图，已知(10)F，直线:1l x ，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足

13、为点Q，且QP QFFP FQ（）求动点P的轨迹C的方程；（）过点F的直线交轨迹C于AB，两点，交直线l于点M（1）已知1MAAF，2MBBF，求12的值；（2）求MA MB的最小值 2.本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力满分 14 分 解法一：（）设点()P xy，则(1)Qy，由QP QFFP FQ得：(10)(2)(1)(2)xyxyy，化简得2:4C yx（）（1）设直线AB的方程为：1(0)xmym 设11()A xy，22()B xy，又21Mm，v1.0 可编辑可修改 6 联立方程组241yxx

14、my，消去x得：2440ymy，2(4)120m ，121244yymy y，由1MAAF，2MBBF得：1112yym，2222yym，整理得：1121my ，2221my ，12122112myy 121222yymy y 2 424mm 0 解法二：（）由QP QFFP FQ得：()0FQ PQPF，()()0PQPFPQPF，220PQPF，PQPF 所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：24yx（）（1）由已知1MAAF，2MBBF，得120 则：12MAAFMBBF 过点AB，分别作准线l的垂线，垂足分别为1A，1B，则有：11MAAAAFMBBBBF 由得：12AFA

15、FBFBF，即120（）（2）解：由解法一，22121MMMA MBmyyyy 221212(1)()MMmy yyyyy 2224(1)44mmmm 224(1)4mm 2222114(2)4 2216mmmm 当且仅当221mm，即1m 时等号成立，所以MA MB最小值为16 P B Q M F O A x y v1.0 可编辑可修改 7 3.（本小题满分 13 分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是 1 （）求曲线C的方程；（）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有?0FBFA若存在，求出m的取值范围

16、；若不存在，请说明理由 3.本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力 解：（）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：).0(1)1(22xxyx 化简得24(0)yx x （）设 过 点M（m，0）)0(m的 直 线l与 曲 线C的 交 点 为1122()()A xyB xy，设l的方程为22244016()04xtymxtymytymtmyx 由，得，于是myytyy442121 又1122(1)(1)FAxyFBxy，01)()1)(1(02121212121yyxxxxyyxxFBFA 又24yx，于是不等式等价于 01)4

17、4(442221212221yyyyyy 012)(4116)(2122121221yyyyyyyy 由式，不等式等价于22416tmm 对任意实数t，24t的最小值为 0，所以不等式对于一切t成立等价于 261032 232 2mmm 即，由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0FBFA，且m的取值范围是(32 2 32 2)，4.（本题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点(2 2)A，其焦点F在x轴上 v1.0 可编辑可修改 8（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过

18、点(0)(0)M mm，的直线交抛物线C于DE，两点，2MEDM，记D和E两点间的距离为()f m，求()f m关于m的表达式 4.本题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力满分 10 分 解：（1）由题意，可设抛物线C的标准方程为22ypx因为点(2 2)A，在抛物线C上，所以1p 因此，抛物线C的标准方程为22yx（2）由（1）可得焦点F的坐标是102，又直线OA的斜率为212，故与直线OA垂直的直线的斜率为1因此，所求直线的方程是102xy（3）解法一：设 点D和E的 坐 标 分 别 为11()xy，和22()xy，直 线DE的 方 程 是()yk xm，0k

19、 将yxmk代入22yx，有2220kyykm，解得21 2112mkyk，由2MEDM知2211 22(1 21)mkmk，化简得24km因此 222212121221()()1()DExxyyyyk 222214(12)91(4)4mkmmkk 所以23()4(0)2f mmm m 解法二：设22sDs，22tEt，由点(0)M m，及2MEDM得 221202(0)22stmmts，因此22tsms，所以 222223()2(2)4(0)22sf mDEsssmm m 5.（本小题满分 12 分）已知抛物线C：22yx，直线2ykx交C于AB，两点，M是线段AB的 O x y 1 1 A

20、 O x y 1 1 A M D E v1.0 可编辑可修改 9 中点，过M作x轴的垂线交C于点N（）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（）是否存在实数k使0NA NB，若存在，求k的值；若不存在，说明理由 5.解法一：（）如图，设211(2)A xx，222(2)B xx，把2ykx代入22yx得2220 xkx，由韦达定理得122kxx，121x x ，1224NMxxkxx，N点的坐标为248k k，设抛物线在点N处的切线l的方程为284kkym x，将22yx代入上式得222048mkkxmx，直线l与抛物线C相切，2222282()048mkkmmmkkmk，mk 即lAB（）

21、假设存在实数k，使0NA NB，则NANB，又M是AB的中点，1|2MNAB 由（）知121212111()(22)()4222Myyykxkxk xx 22142224kk MN x轴，22216|2488MNkkkMNyy 又222121212|1|1()4ABkxxkxxx x 2222114(1)11622kkkk 22216111684kkk，解得2k 即存在2k ，使0NA NB 解法二：（）如图，设221122(2)(2)A xxB xx，把2ykx代入22yx得 2220 xkx由韦达定理得121212kxxx x，1224NMxxkxx，N点的坐标为248k k，22yx，4

22、yx，抛物线在点N处的切线l的斜率为44kk，lAB （）假设存在实数k，使0NA NB x A y 1 1 2 M N B O v1.0 可编辑可修改 10 由（）知22221122224848kkkkNAxxNBxx，则 22221212224488kkkkNA NBxxxx 222212124441616kkkkxxxx 1212144444kkkkxxxx 221212121214()4164kkkx xxxx xk xx 22114(1)421624kkkkkk 22313164kk 0，21016k，23304k，解得2k 即存在2k ，使0NA NB（11 湖南）6已知平面内一动

23、点P到点 F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于 1（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l，设1l与轨迹C相交于点,A B，2l与轨迹C相交于点,D E，求ADEB的最小值 解析：（I）设动点P的坐标为(,)x y，由题意为22(1)|1.xyx 化简得222|,yxx 当20,4;0 xyxx时当时,y=0.、所以动点 P 的轨迹 C 的方程为2,4(0)0)yx xx和y=0(.（II）由题意知，直线1l的斜率存在且不为 0，设为k，则1l的方程为(1)yk x 由2(1)4yk xyx，得2222(24)0.k xkxk 设1122(

24、,),(,),A x yB xy则12,x x是上述方程的两个实根，于是 1212242,1xxx xk 因为12ll，所以2l的斜率为1k 设3344(,),(,),D xyB xy则同理可得2343424,1xxkx x v1.0 可编辑可修改 11 故12342222()()|(1)(1)(1)(1)41(2)1 1(24)1184()AD EBAFFDEFFBAF EFAF FBFD EFFD FBAFFBFDEFxxxxkkkk 22184 216kk 当且仅当221kk即1k 时，ADEB取最小值 16（11 江苏）7.已知过抛物线022ppxy的焦点，斜率为22的直线交抛物线于1

25、2,A x y22,B xy（12xx）两点，且9AB（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OBOAOC，求的值 解析：（1）直线 AB 的方程是,05x4px2y),2(22222ppxpxy联立，从而有与 所以：4521pxx，由抛物线定义得：921pxxAB，所以 p=4，抛物线方程为：xy82（2）、由p=4，,05x422ppx化 简 得0452 xx，从 而,4,121xx24,2221yy,从而 A:(1,22),B(4,24)设)24,4()22,1()(3,3yxOC=)2422,41(，又3238xy，即212228（41），即14)12(2，解得2,0或（11 福建）8.如图，直线 l：y=x+b 与抛物线 C：x2=4y 相切于点 A。（1）求实数 b 的值；（11）求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.（11 浙江）9.如图，设P是抛物线1C：v1.0 可编辑可修改 12 2xy上的动点。过点P做圆2C的两条切线，交直线l：3y 于,A B两点。（）求2C的圆心M到抛物线 1C准线的距离。（）是否存在点P，使线段AB被抛物线1C在点P处得切线平分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。