概率与数理统计第8章--假设检验与方差分析.pdf

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1、第第 8 8 章章假设检验与方差分析假设检验与方差分析【引例】【引例】重庆啤酒股份有限公司（以下简称重庆啤酒）于1990年代初斥巨资开始乙肝新药的研发，其股票被视作“生物医药”概念股受到市场热捧。尤其是 20102011 年的两年间，在上证指数大跌1/3 的背景下，重庆啤酒股价却从 23 元左右飙升最高至元，但公司所研制新药的主要疗效指标的初步统计结果于2011年12月8日披露后，股价连续跌停，12 月 22 日以元报收后停牌。2012 年 1 月 10 日重庆啤酒公告详细披露了有关研究结论，复牌后股价又遭遇连续数日下跌，1 月 19 日跌至元。此公告明确告知：“主要疗效指标方面，意向性治疗人

2、群的安慰剂组与 600g 组，及安慰剂组与PA-44 900g 组之间，HBeAg/抗 HBe 血清转换在统计意义上均无差异”。通俗地说，用药与不用药（安慰剂组）以及用药多与少（900g 组与 600g组），都没有明显差异，这意味着该公司研制的乙肝新疫苗无效。有关数据如表所示：表乙肝新疫苗的应答率应答人数统计人数（人）应答率（%）（人）安慰剂组11733PA-44120600g 组36PA-44117900g 组34注：PA-44 为治疗用（合成肽）乙型肝炎疫苗简称。上表数据显示，两个用药组的应答率都高于安慰剂组的应答率，但为什么说“在统计意义上均无差异”为什么说这个结论表示乙肝新疫苗无效什么

3、叫“在统计意义上无差异”如何根据样本数据作出统计意义上有无差异的判断 解答这些问题就需要本章所要介绍的假设检验。现实中，人们经常需要利用样本信息来判断有关总体特征的某个命题是真还是伪，或对某个（些）因素的影响效应是否显著作出推断，所以假设检验和方差分析有着广泛的应用。例如，在生物医学领域，判断某种新药是否比旧药更有效；在工业生产中，根据某批零件抽样检查的信息来判断整批零件的质量是否符合规格要求；在流通领域，鉴别产品颜色是否对销售量有显著影响等等。这些分析研究都离不开假设检验或方差分析。假设检验与方差分析的具体方法很多，研究目的和背景条件不同，就需采用不同的方法。本教材介绍假设检验与方差分析的基

4、本原理和一些基本方法。但通过本章的学习，理解了有关概念和基本思想，对更为复杂的检验结果也不难作出基本的判断和解读。本章小结本章小结1.假设检验是基于小概率原理的一种统计推断方法，针对待检验的原假设和备择假设，检验统计量及其分布是检验的理论基础，检验统计量的观测值及P值是作出检验结论的依据。检验结论可能犯的错误有两类，它们的概率和此消彼长。2.参数的假设检验主要包括总体均值、总体方差和总体比例的检验。本章所介绍的检验方法有Z检验、t检验、2检验、F检验等等。3.一个总体参数的假设检验和两个总体参数之差（或比）的检验，其检验统计量不同，要注意它们之间的联系与区别。4.单因素方差分析法从形式上看是对

5、多个总体均值相等性的一种F检验，实质上是研究一个定性变量对一个定量变量有无显著影响。基本概念主要有系统误差、随机误差、组内平方和、组间平方和、组内方差、组间方差等。方差分析法的基本思想是通过观察组间方差与组内方差之比（F统计量）是否显著偏大来判断有无系统误差的存在，从而检验多个总体均值是否相等。5.假设检验和方差分析的计算可借助于EXCEL或SPSS等软件来实现。基本知识梳理基本知识梳理基本知识基本知识点点含义或公式含义或公式原假设或称零假设（记为H0）是有待根据样原假设H0本信息来验证的、关于总体特征的某个命与备择假设H1题；与之对立的假设称为备择假设（记为H1），意即预备在拒绝原假设时所选

6、择的假设。用于检验原假设是否成立的统计量，它反映检验统计量样本的信息，不含未知总体参数但要包含待检验的参数假设值。检验统计量的概率分布是假设检验的理论依据。假设检验的具体方法通常以检验统计量服从的分布来命名。如Z检验（正态检验）就检验法是指检验统计量Z服从标准正态分布。常用的检验法还有t检验、F检验、2检验等。小概率原发生概率很小的事件在一次试验中是不应理该发生的。事先对“小概率”所规定的一个标准，由研显著性水究者根据具体情况确定，常常取，也可取,平等。第一类错误原假设H0为真时误认为原假设不真，即拒绝了正确的原假设。犯第一类错误的概率为（弃真）(即显著性水平)。第二类错误（取伪）原假设H0不

7、真时误认为原假设为真，即未拒绝错误的原假设。犯第二类错误的概率用表示。P值检验统计量等于检验统计值及更背离原假（P-value设情况的概率。P 值越小，拒绝原假设的信）心越充足。与一定显著性水平相对应的检验统计量取拒绝域值区域，位于检验统计量分布的尾端。检验统计量的值落入该区域时，就应按检验规则拒绝原假设H0，反之则不能拒绝原假设。原假设的拒绝区域和不能拒绝区域的分界临界值点。双侧（双尾）检验原假设的拒绝域在检验统计量分布曲线的双侧（双尾）。若以表示待检验的总体参数，0表示假设值，双侧检验的假设形式为H0：0；H1：0。拒绝域在检验统计量分布的单侧（单尾），单侧（单尾）检验又分左侧检验和右侧检

8、验。左侧检验的拒绝域在左侧，其假设形式为：H0：0（或0）；H1：0。右侧检验的拒绝域在右侧，其假设形式为：H0：0（或0）；H1：0。检验多个总体均值是否存在显著性差异（以方差分析鉴别所考察因素对试验结果是否存在显著影响或效应）的统计推断方法。水平（处所考察因素在随机试验中的各种不同状态理）或不同类别。SST (yij y)2i1 j1kni，反映样本的全部观测值的总离差平方和(SST)差异。总离差平方和组内平方和组间平方和组内平方组内平方和SSE (yij yi)2，反映相同水平i1 j1kni和（SSE）下样本观测值之间由于随机波动而引起的与组内方差（MSE）差异，也称为误差平方和。SS

9、E/（n-k）=MSE，称为组内方差。组间平方SSE ni(yi y)2i1k，反映不同水平下样本均值和（SSA）之间的差异，它既包含随机误差，也包含系与组间方差（MSA）统误差。SSA/（n-k）=MSA，称为组间方差。检验方法一览表检验方法一览表待检验的总体原假前提条件设检验统计量H0成立时检验统计量参数的分布正态总体，方差已知0Z X 0/nN N(0,1)均值单个总体正态总体，方差未知t X 0S/nt(n-1)2=方差02正态总体2(n 1)S2202（n 1)Z p P0P0(1 P0)/n成数P=P0大样本或Z p P0p(1 p)/nN N(0,1)两个均值总正态总12体，方差

10、已知Z Z (X X1 X X2)D D0N N(0,1)=D0 12n n1 2 2n n2体正态总体，方差未知但相等t(X1 X2)D0112SW()n1n2t(n1+n2-2)正态总体，t t d d D D0S Sd d/n nt(n-1)成对样本12=方差22正态总体S12F 2S2F(n1-1,n2-1)P1P2两个都是成数Z p1 p2 D0p1(1 p1)p2(1 p2)n1n2N N(0,1)=D0大样本随 机 项多总 均值相等体i全ij独立ijSSA/(k 1)MSAF SSE/(n k)MSEF(k-1,n-k)N(0,2)练习题练习题一、单项选择题（在一、单项选择题（在

11、 4 4 个备选答案中选出个备选答案中选出 1 1 个正确答案）个正确答案）1.当检验统计量的观测值未落入原假设的拒绝域时，表示（）A 可以放心地接受原假设 B 没有充足的理由否定原假设C 没有充足的理由否定备择假设 D 备择假设是错误的2.在其他条件不变的情况下，增加样本量，犯两类错误的概率会（）A 都减小 B 都增大 C 都不变 D 一个增大一个减小3.某企业考虑从外地紧急采购一批加工原料，若这批原料的质量达到标准，企业可盈利 10 万元，但是如果这批原料质量达不到标准，企业将损失 25 万元。该企业面临判断：H0:原料质量达标；H1：原料质量未达标。对这个问题进行假设检验时，下列说法不正

12、确的是（）A 拒绝购买达标原料属于犯类错误 B 购进未达标原料属于犯类错误C 这个检验中只允许犯第一类错误 D不宜太小4.若假设检验为左侧检验，检验统计量为t，由样本计算的检验统计值为t0，则检验的P值等于（）A Ptt t0 B Ptt t0 C 2 Ptt t0 D1-Pt1 DH0：=100，H1：100EH0：1，H1：=12.某机场的塔台面临一个决策问题：如果荧幕上出现一个小的不规则点，并逐渐接近飞机时，工作人员必须作出判断：H0：一切正常，那只是荧幕上受到一点干扰罢了；H1：可能会发生碰撞意外。在这个问题中（）A.错误地发出警报属于第一类错误 B.错误地发出警报属于第二类错误C.错

13、误地发出警报的概率为 D.错误地发出警报的概率为 E.的数值宜小3.随机抽取 200 个家庭，测得拥有汽车的家庭占%，若要求检验总体这一比率是否超过了 25%，下列陈述中正确的有（）A.此检验应为双侧检验 B.此检验应为单侧检验C.Z|26.5%25%|26.5%73.5%/200 D.Z 26.5%25%26.5%73.5%/200E.Z 26.5%25%25%75%/2004.若采用方差分析法来推断某个因素对所考察的指标有无显著影响，该因素 有 K 个水平，样 本容 量为 n，则下 列表 述中正 确的 有（）A 检验统计量组间方差/组内方差 B 组间方差组间平方和/（K-1）C 检验统计量

14、组间平方和组内平方和 D 组间方差组间平方和/（n-K）E 检验统计量的分布为F（K-1，n-K）5.运用单因素方差分析法，则下列表述中正确的有（）A 组间方差显著大于组内方差时，该因素对所考察指标的影响显著B 组内方差显著大于组间方差时，该因素对所考察指标的影响显著C 拒绝原假设时，可推断各水平的效应完全没有相同的D 拒绝原假设时，可推断各水平的效应是不完全相同的E 各水平下的样本单位数可以相等也可以不等三、判断分析题（判断正误，并简要说明理由）三、判断分析题（判断正误，并简要说明理由）1.有个研究者猜测，某贫困地区失学儿童中女孩数是男孩数的 3 倍以上（即男孩数不足女孩数的1/3）。为了对

15、他的这一猜测进行检验，拟随机抽取 50 个失学儿童构成样本。那么原假设可以为：H0：P1/3。2.2.对某一总体均值进行假设检验，H0：100，H1：100。检验结论是：在 1%的显著性水平下，应拒绝H0。据此可认为：（1）对原假设进行检验的P值小于 1%；（2）总体均值的真实值与 100 有很大差异。3.假设检验与区间估计的主要区别之一是：在假设检验中，人们更关注小概率事件是否发生，而区间估计立足于以大概率进行推断。4.其他条件不变的情况下，增大样本量n对统计推断产生的影响有：（1）使置信区间的宽度增加；（2）假设检验犯两类错误的概率减小；（3）假设检验的P值增大。四、简答题四、简答题1.采

16、用某种新生产方法需要追加一定的投资。但若根据试验数据，通过假设检验判定该新生产方法能够降低产品成本，则这种新方法将正式投入使用。（1）如果目前生产方法的平均成本为 350 元，试建立合适的原假设和备择假设。（2）对你所提出的上述假设，发生第一、二类错误分别会导致怎样的后果2.对一个总体的方差及两个总体方差之比进行检验时，分别应如何构建检验统计量3.某研究报告指出，用于治疗慢性萎缩性胃炎的传统药物的有效率只有 85%，而通过假设检验证明，最新研制的一种药物的有效率显著提高。对于这个结论，人们至少还希望了解哪些相关信息4.简述方差分析的基本思想。五、计算题五、计算题1.有一种电子元件，要求其使用寿

17、命不得低于 1000 小时。已知这种元件的使用寿命服从标准差为 100 小时的正态分布。现从一批元件中随机抽查了 25 件，测得平均使用寿命为 972 小时。（1）试在的显著性水平下，检验这批电子元件是否合格；（2）假如上述样本平均寿命是对50 件样品检查的结果，其他条件不变，判断这批电子元件是否合格。2.根据长期正常生产的资料可知，某厂所产维尼纶的纤度服从正态分布，其方差为。现从某日产品中随机抽出 20 根,测得样本方差为。试判断该日纤度的波动与平时有无显著差异（取=）3.某化肥厂采用自动包装机包装化肥。正常工作状态下，每包重量服从均值为 50kg、标准差为 0.3 kg的正态分布。从某日生

18、产的产品中随机抽取 9 包，测得重量分别为：,。要求分别在下列两种情况下，检验该日自动包装机的工作是否正常（显著性水平为）：（1）方差稳定不变；（2）方差有可能不稳定。4.某种疾病传统治疗方法的治愈率为 70。最近研究出一种新疗法。对200 名患者试用这种新疗法后，治愈了152 人。试问这一试验数据能否说明新疗法确实比传统方法更加有效以的显著性水平进行检验。5.某企业生产工人分为早班和晚班两个班次。上月质量检验的结果是，从早班抽查产品100 只，91 只合格；从晚班抽查产品150 只，128 只合格。可否认为早班和晚班的生产质量有显著差异（显著性水平为 5）。6.某制鞋厂为了比较两种材料制作的

19、鞋跟的质量优劣，随机选择了 10 人，让他们每人试穿一双鞋跟厚度相同的新鞋，其中一只鞋用材料 A 制作，另一个鞋用材料 B 制作，试穿一个月后测量每人所穿的两只鞋的鞋跟厚度，测得数据如下：试 验 者1编号2345678910材料 A4材料 B设鞋跟厚度服从正态分布，试问的显著性水平下，两种材料制作的鞋跟质量有无显著性差别7.设有 A,B,C,D 四个企业生产同类产品，某机构为了研究这四个企业的日均销售量是否相同，进行了随机的抽样调查。根据样本数据，利用 EXCEL 的单因素方差分析工具所得到的输出结果如下(=：SUMMARY求组观测数和平均方差A735751B633656C525050D533

20、066方差分析P-val差异源SSdfMSFueFcrit组间组内总计要求：（1）对这四个企业销售量的样本信息作一简要的分析说明；（2）填入空格栏的数值；（3）给出检验结论并说明其依据是什么。8.某训练机构将 20 个学员随机分为 4 组，分别尝试课堂讲授、视频教学、小组讨论和自学教材等不同方法向学员们介绍有关知识，训练结束后的测试成绩如下表所示：方法学员序号课堂讲授视频教学小组讨论自学教材180737670290886580378908080474857472588808265试以的显著性水平检验这四种方法的训练效果有无显著差异。六、案例分析六、案例分析去年某乡对居民家庭用于文化娱乐方面的消

21、费支出进行一次普查，得知在调查时段内的平均支出是 82 元，支出超过 100 元的家庭仅为%。今年以来，该乡大力倡导健康文明的文化娱乐活动。为了分析其效应，专门对该乡居民家庭今年同期的文化娱乐支出进行了一次抽样调查。随机抽取了 50 个家庭，调查数据如下表所示（单位：元）。表 7-2 50 个家庭的调查数据表949512080919285888380869611082708880951407182898910267786613512394837111442748792956490768398798410588718786根据这一调查的结果对下列问题进行思考与分析：1在的显著性水平下，能否认为全乡居民用于文化娱乐消费的平均支出有了显著的增加2以的置信度对全乡居民用于文化娱乐消费的平均支出进行区间估计。3以上两个问题的结果存在什么样的联系4与去年相比，全乡居民家庭中文化娱乐支出超过 100 元的家庭所占比重有无显著变化试以的显著性水平进行推断。