相似图形提高讲义.pdf

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1、文档 图形相似 线段的比、黄金分割及形状相同的图形 知识要点 要点 1 线段的比(1)线段的比：在同一单位下，两条线的长度的比叫做这两条线段的比。(2)成比例线段：四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即dcba，那么这四条线段成比例线段，当 bc 时，有dbba，称 b 为 a 与 d 的比例中项。(3)比例尺：比例尺图上距离：实际距离（4）两条线段被一组平行线所截的线段成比例。说明：判断四条线段是否成比例，首先要把四条线段的单位化成同一单位，再计算它们的比值来判断，要注意它们的顺序。要点 2 比例的性质 比例的基本性质：0,02dcbaacbcbbad

2、cbabcaddcba、要点 3 黄金分割 概念：若点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC、BC(ACBC)，若ACBCABAC，我们称线段AB 被点 C 黄金分割，C 点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比618.0215。说明：(1)一条线段有两个黄金分割点。黄金分割比是两个线段的比，没有单位；(2)一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段有其固定关系：若 AB1，.253,215BCAC则 相似多边形相似三角形及三角形相似的条件 知识要点 相似多边形 要点 1 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫

3、做多边形的相似比。说明：(1)相似多边形的定义既可以看作是相似多边形的性质，又可以看作相似多边形的判定；(2)判定相似的两个条件，一个是各角对应相等，另一个是各边对应成比例；二者缺一不可。文档 相似三角形 要点 2 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。说明：(1)相似三角形的各角对应相等，各边对应成比例；(2)两个三角形的相似比为 1时，这两个三角形就是全等三角形，故全等三角形是相似三角形的特殊情况；(3)ABC 与A/B/C/相似和 ABCA/B/C/的含义有所不同，前者没有指明这两个相似三角形的对应关系，而后者表明了对应关系。要点 3 三角形相似的判别方法 方法 1

4、：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.方法 2：两角对应相等的两个三角形相似；方法 3：三边对应成比例的两个三角形相似；方法 4：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。引申 直角三角形除了具有以上 3 种判别方法，还有以下方法：一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似；斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。说明：(1)相似三角形判定的三种判别方法中，“角角”“边边边”用的最广泛。在用“边角边”时要注意，必须是夹“角”的两边对应成比例；(2)要找准对应边，一般对应角所对的边是对应边，最长的边或最短的边是对应边，公共边一般不是对应边。在找对应角

5、时，公共角、对顶角一般是对应角。相似形的应用、相似多边形的性质、图形的放大与缩小 知识要点 要点 1 测量旗杆高度的三种方法：(1)方法 1：利用阳光下的影子（如图 1）（还可利用结论：同一时刻：被测物体的影长被测物体的实际高度它的影长某物体的实际高度）；(2)方法 2：利用标杆；（如图 2，本方法主要注意人与标杆及被测旗杆应都与地面垂直，故三者平行，由此构造相似三角形）(3)方法 3：利用镜子反射（如图 3，本方法用镜面反射，由反射角等于入射角，人与被测旗杆与地面垂直）说明：在测量旗杆高度的三种方法中，都是利用三角形相似的知识解决，根据实际情况，构造相似三角形，通过测量三角形的边，利用对应边

6、成比例计算出要求的目标。1 3 2 文档 要点 2 相似三角形与相似多边形的性质 相似三角形的性质：(1)相似三角形对应高的比等于相似比；(2)相似三角形对应角平分线的比等于相似比；(3)相似三角形对应中线的比等于相似比；(4)相似三角形周长的比等于相似比；(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方。说明：这里的高线、角平分线、中线必须是对应的。相似多边形的性质：(1)相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2)相似多边形中，对应的三角形相似，相似比等于原多边形的相似比。要点 3 位似图形定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫

7、做位似图形。每组对应点所在的直线都经过的点叫位似中心。在已确定的两位似图形中，只有一个位似中心，两位似图形可在位似中心的同侧，也可在位似中心的两侧。两个位似图形的相似比又称为位似比。如图(1)、(2)、(3)、(4)、(5)。位似图形的性质：(1)对应边的比等于位似比；(2)周长的比等于位似比，面积的比等于位似比的平方；(3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。说明：(1)位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；(2)判断两个图形是位似图形，先判断两个图形相似，再看它们的对应点的连线或其延长线是否经过同一点；(3)将一个图形放大或缩小时，位似中心可以在图形内或边

8、上，也可以在图形的顶点上。文档 例题精讲：例1 若413nnm，则nm_。变形 1：已知543cba，求ccba及cbacba的值。例2 已知 x：y：z1：3：5，求zyxzyx33的值。变形 1：若 4x7y5z，2xyz，那么 x：y：z（）A.2：1：(3)B.2：1：3 C.2：(1)：3 D.3：2：1 变形 2：若423123zyx，且 xyz18，求 x，y，z。例3 若点 C 是线段 AB 的分割点（ACBC），AB16，则 AC_，BC_；如果 D 是线段 AB 的另一个黄金分割点，则 CD_。变形：如果线段上一点 P 把线段分割为两条线段 PA，PB.当 PA2PBAB

9、时，则称点 P是线段 AB 的黄金分割点，现已知线段 AB10，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，如图所示，那么线段 PB 的长约为（）A.6.18 B.0.382 C.0.618 D.3.82 例 4、如图，D，E 分别为ABC 的边 AB，AC 上一点，且ADEABC，F 为 AD 上一点，且AEFACD，(1)AD2AFAB 吗？请说明理由。(2)若 AF4，AB9，求AD。变形：如图所示，已知梯形 ABCD，ADBC，若 EFBC，且所分成的梯形 AEFD 和梯形EBCF 相似，AD4，BC9，求 EF 的长。文档 例 5、如图 XS11 所示，在ABC 中，ADBC 于 D，DEA

10、B 于 E，DFAC 于 F，试证 AEABAFAC。变形 1：如图 XS111，ABC 中，35,ACABECACBEAB，D 为 AB 上一点，若BDEBAC，则BDAB_。变形 2：如图 XS112，AOBCOD，AC，下列各式正确的有（）个 COCDBOAB；ODCDAOAB；ODADOCOB；ODBOCOAO。A.1 B.2 C.3 D.4 例 6、如图 ZJ26，兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为 1m 的竹竿的影长为 0.4m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为 0.2m，一级台阶高

11、为 0.3m，如图所示，若此时落在地面上的影长为 4.4m，则树高为（）A.11.5m B.11.75m C.11.8m D.12.25m 一、选择题 1梯形两底分别为 m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（）（A）mnnm （B）nmmn2 （C）nmmn （D）mnnm2 XS11 XS11-1 XS11-2 ZJ26 2 题 4 题 5 题 文档 2 如 图，在 正 三 角 形 ABC 中，D，E 分 别 在 AC，AB 上，且ACAD31，AE BE，则有（）（A）AEDBED （B）AEDCBD（C）AEDABD （D）BADBCD 3P 是 RtA

12、BC 斜边 BC 上异于 B、C 的一点，过点 P 作直线截ABC，使截得的三角形与ABC 相似，满足这样条件的直线共有（）（A）1 条 （B）2 条 （C）3 条 （D）4 条 4如图，ABDACD，图中相似三角形的对数是（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 5如图，ABCD 是正方形，E 是 CD 的中点，P 是 BC 边上的一点，下列条件中，不能推出ABP 与ECP相似的是（）（A）APBEPC （B）APE90（C）P 是 BC 的中点 （D）BPBC23 6如图，ABC 中，ADBC 于 D，且有下列条件：（1）BDAC90；（2）BDAC；（3）ADCDABAC；（4）AB2

13、BDBC 其中一定能够判定ABC 是直角三角形的共有（）（A）3 个 （B）2 个 （C）1 个 （D）0 个 7如图，将ADE 绕正方形 ABCD 顶点 A 顺时针旋转 90，得ABF，连结 EF 交 AB 于 H，则下列结论中错误的是（）（A）AEAF （B）EFAF21（C）AF2FHFE （D）FBFCHBEC 8如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 上任意一点，则有（）（A）ABE 的周长CDE 的周长BCE 的周长（B）ABE 的面积CDE 的面积BCE 的面积（C）ABEDEC（D）ABEEBC 9如图，直线 ab，AFFB35，BCCD31，则 AEEC 为（）（A）5

14、12 （B）95 （C）125 （D）32 6 题 7 题 8 题 9 题 10 题 11 题 文档 10如图，在ABC 中，M 是 AC 边中点，E 是 AB 上一点，且 AE41AB，连结 EM 并延长，交 BC 的延长线于 D，此时 BCCD 为（）（A）21 （B）32 （C）31 （D）52 11如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD9 cm，宽 AB3 cm，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕 EF 的长分别为（）（A）4 cm、10 cm （B）5 cm、10 cm（C）4 cm、23 cm （D）5 cm、23 cm 二、填空题 12已知线段 a6 c

15、m，b2 cm，则 a、b、ab 的第四比例项是_cm，ab 与 ab 的比例中项是_cm 13若cbaacbbcam2，则 m_ 14如图，在ABC 中，ABAC27，D 在 AC 上，且 BDBC18，DEBC 交 AB 于 E，则 DE_ 15 如图，ABCD 中，E 是 AB 中点，F 在 AD 上，且 AF21FD，EF 交 AC 于 G，则 AGAC_ 16如图，已知ABC，P 是 AB 上一点，连结 CP，要使ACPABC，只需添加条件_（只要写出一种合适的条件）17 如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAC，EFBC，AB15，AF4，则 DE 的长等于_ 18如图，ABC

16、中，ABAC，ADBC 于 D，AEEC，AD18，BE15，则 ABC 的面积是_ 16 题 17 题 18 题 14 题 15 题 文档 三、证明题 1、如图，在ABC 中，ABAC，延长 BC 至 D，使得 CDBC，CEBD 交 AD 于 E，连结 BE 交 AC 于 F，求证 AFFC 2、如图，ABCCDB90，ACa，BCb（1）当 BD 与 a、b 之间满足怎样的关系时，ABCCDB？（2）过 A 作 BD 的垂线，与 DB 的延长线交于点 E，若ABCCDB 求证四边形 AEDC 为矩形（自己完成图形）3、如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，EFEC 交 AB 于 F，连结 FC（ABAE）（1）AEF 与EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设BCABk，是否存在这样的 k 值，使得AEFBFC，若存在，证明你的结论并求出 k的值；若不存在，说明理由