经典大学高数试题下集锦.pdf

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1、经典大学高数试题下集锦 1(3 分)若,则.a,1,3,2,b,5,1,4ab,3.(3分)微分方程的通解为.yyy，,20,1n1.(4分)级数为().,(1),2n1n,(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性不确定 3.(4 分)二重积分在极坐标系下的面积元素为().fxyd(,),D 2(A)(B)(C)(D)ddxdy,drdrd,ddrd,drdrd,sin4.(4 分)若可微函数在点处取得极小值，,则下列结论中正 zfxy,(,)(,)xy00 确的是().(A)在处的导数大于零(B)在处的导数等于零 fxy(,)yy,fxy(,)yy,0000(C)在处的导数小于零(

2、D)在处的导数不存在 fxy(,)yy,fxy(,)yy,0000一、1.,10;xx,23.yCeCe,，.12 二、1 C;3 B;4 B.三、计算题(共 12 分)xy21.(6分)设求 fx(,1).fxyeyxy(,)(1)arctan,，,x z2.(6 分)设由方程所确定，求 zfxy,(,)exyz,0dz.22 四 1.(6 分)计算二重积分其中D 是由直线及 yyx,2,(),xyxd，,D yx,2 所围成的闭区域.3.(6 分)在斜边边长为定数的直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.l,11 六 2.(6 分)判别级数的敛散性.tan,nnn1,n,(1)x，1n,3

3、.(6分)求幂级数的收敛半径和收敛区间.(1),n1n,七、计算题(共 12 分)x,1.(6 分)求微分方程在初始条件下的特解.yy0,1yyxe,4,xx,00 x 三、1 解 2 分 fxe(,1),x 4 分？,fxe(,1).x z2 解 方程两边求微分得 3 分 edzyzdxxzdyxydz,0,yzdxxzdy，3 分 dz,zexy,四、1 解 画图 1 分 2y22 原式 2 分,，,dyxyxdx()y,02 2193，32 2 分,yydy,0248，13 1 分,.6 1 分 3 解 设周长和两个直角边分别为 zxy,222 则 1 分 zxyllxy,，,，,.22

4、2 作辅助函数为 1 分 Fxyxyllxy(,)(),，,由拉格朗日乘数法，,Fx,120,x,Fy,120,y 2分,222lxy,，.,22 解之得唯一可能的极值点由问题本身的性质可知最大值一定存在，并在该点 ll,.,22,22 处取得，既当两个直角边分别为，斜边为时，周长最大.ll,l22 2 分 六、2 解 由比较判别法的极限形式 1 分 11tannn 2 分,lim1,n,1 2n,1 收敛,所以原级数收敛.3 分 而级数,2nn1,an，13 解 2 分,lim1,n,an 1 分？,R1,又当时原级数收敛,当时原级数发散,x，,11x，,11 2 分 所以原级数的收敛区间为

5、 1 分(2,0.,2 七、1 解 特征方程为 r,10,特征值是 1 分 rr,1,1,12,xx 所以齐此方程的通解为 1 分 yCeCe,，.12*x 因为是特征方程的单根，故可设特解为 yxaxbe,，(),1 1 分 利用待定系数法可得 1 分 ab,1,1,xxx2 于是原方程的通解为 1 分 yCeCexxe,，,().12 xxx,2 将初始条件代入上式得所求特解为 yeexxe,，,().1 分 一、填空题(共 15 分),1.(5 分)微分方程的通解为.y，3y，2y,0 xy3.(5 分)设其中可微,则.z,f(e),dz,f 二、选择题(共 15 分),n1.(5 分)

6、若 ax 在处收敛，则此级数在处().x,2x,1,nn,1(A)条件收敛;(B)绝对收敛;(C)发散;(D)收敛性不确定.,2.(5 分)是级数收敛的().ulimu,0,nnn,n,1(A)充分条件;(B)必要条件;(C)充分必要条件;(D)既不充分也不必要的条件.三、解答题(共 56 分)231.(7 分)已知曲线上 P 点处的切线平行于 x,t,y,t,z,t 求 P 点的坐标.平面 x，2y，z,4,2y,z2.(7 分)设 f 具有二阶连续的偏导数,求.z,f(xy,),x,yx,nlnn5.(7 分)判别级数的敛散性.,(1),nn1,n,(x,3)6.(7 分)求幂级数的收敛域

7、.,nn,3n1,8.(7 分)试写出微分方程的特解形式.2y，5y,x，cos2x 一、(每小题 4 分),x,2xxyxy,;.1.y,Ce，Ce3.f(e)e(ydx，xdy)12 二、(每小题 4 分)1.(B);2.(B);3.(D).二、解答题 21(7 分)解 曲线在任一点的切向量为2分 Ttt,1,2,3,已知平面的法向量为 n,1,2,1,3分,1 令得,5分 Tn,0,tt,1,3 111 于是所求点为7分 Pp(1,1,1),(,).,123927,z23,2(7 分)解,，,3,xfxyfxyf 3分 12,x 2,z34,4xf，2xf，xyf,yf7分 121122

8、,x,y lnnn(1),n5(7 分)解 limlimln,，,n,nn1 n n(1)lnln1,nn(或当时,2分 n,3,)nnn,1lnnn 而发散,发散.4分？,(1),1n1,nn,n lnn 令则当时且6分 uu,lim0,u,u,n,3nnn，1n,nn 由莱布尼兹判别法可知原级数条件收敛.7分 nan,31，1n6(7 分)解 3分？,R3,limlim,，1n,nnan(1)33，,n n,(1),又当即时,级数收敛;5分 x,33,x,0,1,nn,1 当即时,级数发散 6分 x,33,x,6,n1,n 故原级数的收敛域为 7分 0,6).28.(7 分)解 特征方程为

9、1分 250,rr，,5 特征根为 2分 rr,0,.122 11 3分 fxxx()cos2,，22 1,是特征根,的一个特解形式为 0？，,，25yyx 2*4分 yxaxb,，(),1 1,又不是特征根,的一个特解形式为 02，i？，,25cos2yyx 2*ycxdx,，cos2sin2,5分 2 故 原方程的一个特解形式为 *6分 yyxaxb，,，()y,，cxdxcos2sin2.12 一、填空题(每题 4 分,共 16 分),1.(4 分)级数收敛的必要条件是.u,n,n1 1y2.(4 分)交换二次积分的次序=.dyfxydx(,),00 2x,3.(4 分)微分方程的一个特

10、解形式可以设 yyyxe,，,442 为.二、选择题(每题 4 分,共 16 分),1n1,2.(4 分)级数为().,(1),3n1,2n A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.nn,3x1n,4.(4 分)幂级数的收敛半径为().,(1),1,nn 11A.B.C.D.R,;R,2;R,3;R,.23 三、解答题(每题 7 分,共 63 分)xy1(7 分)设求.zxye,，sin(),dz 222(7 分)求,其中是平面被圆柱面截 xy，,25yz，,5IyzdS,，(1),出的有限部分.n,(1),n3(7 分)求幂级数的收敛域.x(1),n1n,y,34(7 分)求

11、微分方程在初始条件下的特解.yxyx，,24x,0,y,35(7 分)求微分方程在初始条件下的特解.yxyx，,24x,0 评 分 标 准 11 一、1.2.dxfxydy(,);lim0;u,nx0,n*222x 3.;4.yxAxBxCe,，()drdrd,.二、1.C;2.A;3.D.4.D.xy 三、1.解 3 分 zxyye,，cos()x xy 3 分 zxyxe,，cos()y xyxy 7dzxyyedxxyxedy,，cos()cos()分 3.解 1 分,:5zy 222 分 Dxy:25，,22 4 分 Iyyzzdxdy,，,，(15)1,xyD 6 分,62dxdy,

12、D 7 分,1502 4.解 R,12 分 当时收敛 4 分 x,2 时发散 6 分 当 x,0 收敛域为.7 分(0,2 2,2xdxx,7.解 3 分 yeCxedx,，4,，22,xx2 4 分,，eCedx2(),2,x 5 分,，Ce2 y,3 将代入上式得 6 分 C,1x,0 2,x 所求特解为 7 分 ye,，2 一、单项选择题(63 分)1、设直线，平面，那么与之间的夹角为()A.0 B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的()A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 ，则等于()3、设函数 A.B.C(D.4、二次积分交换

13、次序后为()A.B.C.D.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处()A.绝对收敛 B.条件收敛 C.不能确定其敛散性 C.发散 6、设是方程的一个解，若，则在 处()A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题(73 分)1、设,(4，-3，4)，,(2，2，1)，则向量在上的投影 ,2、设，那么 3、D 为，时，5、函数展开为的幂级数为 6、,7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(47 分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。3、计算二重积分，其中 5、求级数的和。五、证明题(6 分)收敛，证明级数绝对收敛。设 一、单项选择

14、题(63 分)1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题(73 分)1、2 2、3、4、5、6、0 7、三、计算题(59 分)1、解:令则，故 3、解:,5、解:令则 ，即 令，则有 ,五、证明题(6 分)证明:即 而与都收敛，由比较法及其性质知:收敛 故绝对收敛。一，单项选择题(64 分)1、直线一定()A.过原点且垂直于 x 轴 B.过原点且平行于 x 轴 C.不过原点，但垂直于 x 轴 D.不过原点，但平行于 x 轴 2、二元函数在点处 连续?两个偏导数连续?可微?两个偏导数都存在 那么下面关系正确的是()A B.C.D.3、设，则等于()A.0 B.C.D.4、设，改变

15、其积分次序，则 I,()A.B.C.D.5、若与都收敛，则()A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 C.不能确定其敛散性 6、二元函数的极大值点为()A.(1,0)B.(1,2)C.(-3,0)D.(-3,2)二、填空题(84 分)1、过点(1，3，,2)且与直线垂直的平面方程为 2、设，则,3、设 D:，则 4、设为球面，则,5、幂级数的和函数为 6、以为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 7、若收敛，则,8、平面上的曲线绕轴旋转所得到的旋转面的方程为 三、计算题(47 分)1、设可微，由确定，求及。2、计算二重积分，其中。3、求幂级数的收敛半径与收敛域。4、求曲线积分，其中是由 所围成区域

16、边界取顺时针方向。四、综合题(10 分)曲线上点的横坐标的平方是过点的切线与轴交点的纵坐标，求此曲线方程。五、证明题(6 分)设正项级数收敛，证明级数也收敛。一、单项选择题(64 分)1、A 2、A 3、C 4、B 5、B 6、D 二、填空题(84 分)1、2、3、4 4、5、6、7、1 8、三、计算题(47 分)1、解:令 2、解:,=3、解:令对于，当时,发散 当时，,也发散 所以在时收敛，在该区间以外发散，即 解得 故所求幂级数的收敛半径为 2，收敛域为(0，4)4、解:令，则 ，由格林公式得到 ,4 四、综合题(10 分)解:过的切线方程为:令 X,0，得 依题意有:即.(1)对应的齐

17、次方程解为 令所求解为 将代入(1)得:故(1)的解为:五、证明题(6 分)证明:由于收敛，所以也收敛，而 由比较法及收敛的性质得:收敛。一、填空题(每小题 3 分，共计 15 分),xzy，ze,z,xz,xzy，xexyyze，,zfxy,(,),x1(设由方程确定，则。23P(0,1,2),uxyzxyz,，2l,02(函数在点沿方向(4,0,-12)的方向导数最大。二、解答下列各题(每小题 7 分，共 35 分)12,xIdxfxydy,(,)2f(x,y),011,x1(设连续，交换二次积分的积分顺序。12,xIdxfxydy,(,)2,011,x 211(1)22,yy,，dyfx

18、ydxdyfxydx(,)(,),解:0010 22xydxdy，,22yxy，,(1)1D2(计算二重积分，其中是由轴及圆周所 D 围成的在第一象限内的区域。,2sin,162222xydxdydrdr，,009D 解:,x,yyye,，,23(求微分方程的通解。xyccxe,，(),yyy,，,2012 的通解为。解:1c,*,xyce,4 设原方程的一个特解，代入原方程，得。其通解为 1xx,yccxee,，()124 22zxy,，1yx,1 五、(10 分)求在下的极值。222zxxxx,，,，,，(1)1222 解:11x,x,22zxy,，1,zx,420z,4022 令，得。，

19、为极小值点。故 113(,)yx,1222 在下的极小值点为，极小值为。22zxy,1z,0 六、(10 分)求有抛物面与平面所围立体的表面积。22zxyz,1(0)解:的面积为 22SdSxydxdy,，144.4 分 1,22,1xy，,21,2,，drrdr14.2 分,00(551),.1 分 6 ,(551),，,z,06 平面部分的面积为。故立体的表面积为。n,1,x,nn3n,1 七、(10 分)求幂级数的收敛区间与和函数。n,1nn,1,xxx1,(),sx()()xsx,nnn3,3),3n,nx333n,1nn,11 解:收敛区间为。设，。ln31,ln(3,x)x,0,x

20、xs(x),1,x,03,故。一、选择题(共 5 小题，每题 3 分，共计 15 分)xyz,，,223,4223xyz,2731.直线与平面的位置关系是()(A)垂直(B)平行(C)直线在平面上(D)不确定 2(下列说法正确的是()fxy,fxy,fxy,xy,，x00y0000(A)若、存在，则函数在点可微分.fxy,fxy,fxy,xy,，x00y0000(B)若、存在，则函数在点连续.fxy,xy,fxy,xy,，0000(C)若函数在点可微，则函数在点连续.fxy,0,fxy,0,xy,fxy,，00 x00y00(D)若、，则点是函数的极值点.1233yy,dyfxydxdyfxy

21、dx,，,00103(交换二次积分的积分次序为()23,x23，xdxfxydy,dxfxydy,，11,0 x0 x22(A)(B)23,x23，xdxfxydy,dxfxydy,，11,1x1x22(C)(D)n,x,5，,n1n,4(幂级数的收敛区间是(),1,14,6,1,41,6，(A)(B)(C)(D),1n1，,1，,n,21n1,5(级数()(A)绝对收敛(B)发散(C)条件收敛(D)不确定 二、填空题(共 5 小题，每题 3 分，共计 15 分)rrrrrrraijk,，22ax,18x1(向量与向量共线，且，则r x,.8xy,limx,0，,211xyy,02(y xdz

22、,ze,3(函数，则.10,nn1，n2,1，,n2n,15(级数(填收敛或发散).,3,2,5，251xyz,xz,43 三、(本题 8 分)求与两平面和的交线平行且过点的直线的方程.四、(共 2 小题，每题 7 分，共计 14 分)计算下列偏导数.22xyufxye,，f1(求函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数).xz,z,z,ln,yzy,x2(设，求及.五、(共 2 小题，每题 7 分，共计 14 分)计算下列重积分.xyd,2yx,yx,2DD1(计算，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域.22ln1，xyd,，,22xy，,1DD2(，其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的

23、闭区域.22xfxyexyy,2,，六、(本题 12 分)求函数的极值，并判断是极小值还是极大值.答案 一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.C 二、填空题 y21y,111,xx,edxdydxdyfxyzdz,，,4,2,4222,，xx,，11xxy8,1.2.3.4.5.收敛 ijk snnijk,，,，10443，12 215,三、解.6 分 xyz，,325,431 因此所求直线方程为.2分 ,uxyxy,22,，,，fxfyexfyef1212,x 四、1.解.4 分,uxyxy,22,，,，fyfxeyfxef，1212,y.3 分 xzFxyz,ln,，zy2.解

24、令 ,yz1xyxz1，1F,F,F,y,2z22xzyyzzyz,z 则，.3分 2F,zzF,zzyx,，yFyxz，,，xFxzzz 所以，.4 分 22y，xyddyxydx,2,1yD 五、1.解.3 分 2125，,，,yyydy2，,，12.3 分 45,8.1 分 222ln1ln1，,，xydd,，,DD2.解.1分,11122222,，,，,ddddln1ln11，,00002.4分,1,2,2ln212ln21d,，,024.2 分 22x,fxyexyy,22410,，,，x,2xfxyey,220,，,，,y,六、解 由.2 分 1,1,2,解得驻点.2 分 22x2x2xfxyexyy,4484,，fxyey,44,，fxye,2,，xxyyxy，.3 分 111,Afe,Bf,Cfe,120,10,12xxxyyy,222,因此，.3 分 1,1,22x,22fxyexyy,2,，2ACBe,40,由于，因此函数在点处取得极小值 1e,f,1,22,为.