人教版高中数学必修二教学案-直线的点斜式与两点式方程.pdf

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1、 第 1 页 共 14 页 人教版高中数学必修二教学讲义 年 级：上 课 次 数：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：课 题 直线的点斜式与两点式方程复习 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 直线的点斜式与两点式方程复习【要点梳理】知识点一：直线的点斜式方程 方程)(00 xxkyy由直线上一定点及其斜率决定，我们把)(00 xxkyy叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.要点诠释：1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于 y 轴的直线，即斜率不存在的直线；2.当直线的倾斜角为 0时，直线方程

2、为1yy；3.当直线倾斜角为 90时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:1xx.4.00yykxx表示直线去掉一个点),(000yxP；)(00 xxkyy表示一条直线.知识点二：直线的斜截式方程 如果直线l的斜率为k，且与y轴的交点为),0(b，根据直线的点斜式方程可得)0(xkby，即bkxy.我们把直线l与y轴的交点),0(b的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距，方程bkxy由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程bkxy叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.要点诠释：1.b 为直线l在 y 轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于

3、零；2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；3.当0k时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.第 2 页 共 14 页 4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于 y 轴的直线，即斜率不存在的直线.5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程bkxy中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.知识点三：直线的两点式方程 经过两点),(),(222111yxPyxP(其中2121,yyxx)的直线方程为1112122121(,)yyxxxxyyyyxx，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.要点诠释：1.这个方程由直线上两点确定；2.当直线没有斜率(21xx)或斜率为)(021y

4、y 时，不能用两点式求出它的方程.3.直线方程的表示与),(),(222111yxPyxP选择的顺序无关.4在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式1112122121(,)yyxxxxyyyyxx通过交叉相乘转化为整式形式121211()()()()yyxxyyxx，从而得到的方程中，包含了 x1=x2或 y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由 x1、x2和 y1、y2是否相等引起的讨论要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式 知识点四：直线的截距式方程 若直线l与 x 轴的交点为 A(a，0)，与 y 轴的交点为 B(0，b)，其中0,0ba，则过 AB 两点的

5、直线方程为1byax，这个方程称为直线的截距式方程.a 叫做直线在 x 轴上的截距，b 叫做直线在 y 轴上的截距.要点诠释：1.截距式的条件是0,0ba，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令 x=0 得直线在 y 轴上的截距；令 y=0 得直线在 x 轴上的截距.知识点五：中点坐标公式 若两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且线段12PP的中点坐标为(x，y)，则 x=122xx，y=122yy，则此公式为线段12PP的中点坐标公式 知识点六：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式

6、只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数 在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在 y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较 第 3 页 共 14 页 方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏【典型例题】类型一：点斜式直线方程 例 1已知直线l过点（1，0），且与直线3(1)yx的夹角为 30，求直线l的方程。【答案】x=1 或3(1)3yx【解析】直线3(1)

7、yx的斜率为3，其倾斜角为60o，且过点（1，0）。又直线l与直线3(1)yx的夹角为 30，且过点（1，0），由下图可知，直线l的倾斜角为 30或 90。故直线l的方程为 x=1 或3(1)3yx。【点评】（1）由于直线l过点（1，0），因此求直线l的方程的关键在于求出它的斜率，由此可知，何时选择点斜式来求直线方程的依据是题目是否给出了（或者能够求出）直线上的一点的坐标和其斜率。（2）利用点斜式求直线方程的步骤是：判断斜率 k 是否存在，并求出存在时的斜率；在直线上找一点，并求出其坐标。（3）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程 yy0=k(xx0)可知该直线过定点 P（x0，y0）且斜

8、率为k。举一反三：【变式 1】（1）直线 y=x+1 绕着其上一点 P（3，4）逆时针旋转 90后得直线l，求直线l的点斜式方程；（2）直线l过点 P（2，3），且与过点 M（1，2），N（5，2）的直线垂直，求直线l的方程【答案】（1）x+y7=0（2）x=2 【解析】（1）直线 y=x+1 的斜率 k=1，所以倾斜角为 45由题意知，直线l的倾斜角为 135，所以直线l的斜率 k=tan135=1 又点 P（3，4）在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为 y4=(x3)，即 x+y7=0 （2）直线 MN 的斜率2205(1)k，所以该直线平行于 x 轴 又直线l垂直于直线 MN，因此

9、直线l的倾斜角为 90，又直线l过点 P（2，3），所以直线l的方程为 x2=0，即 x=2 【点评】用点斜式求直线方程，首先要确定一个点的坐标，其次判断斜率是否存在，只有在斜率存在的条件下，才能用点斜式求直线的方程 第 4 页 共 14 页【变式 2】直线1l过点 P（l，2），斜率为33，把1l绕点 P 按顺时针方向旋转 30得直线2l，求直线1l和2l的方程【答案】32(1)3yx 23(1)yx 【解析】1l的方程可以由点斜式直接写出，2l经过点 P，因此，关键是求出 k2，利用数形结合的方法，找出2l的倾斜角是关键 直线1l的方程是32(1)3yx 113tan3k，1150 如图，

10、1l绕点 P 按顺时针方向旋转 30，得到直线2l的倾斜角为215030120，2tan1203k ，2l的方程为23(1)yx 【点评】本例中，通过画图分析，得到两条直线的倾斜角之间的关系，再利用1l的斜率已知，从而求出它的倾斜角，进而求出2l的倾斜角、斜率因此我们要善于利用数形结合的方法来分析条件之间的关系，从而找到解题的切入点 类型二：斜截式直线方程 例 2（1）写出斜率为1，在 y 轴上截距为2 的直线方程的斜截式；（2）求过点 A（6，4），斜率为43的直线方程的斜截式；（3）已知直线方程为 2x+y1=0，求直线的斜率、在 y 轴上的截距以及与 y 轴交点的坐标【答案】（1）y=x

11、2（2）443yx（3）k=2，b=1，（0，1）【解析】（1）易知 k=1，b=2，由直线方程的斜截式知，所求直线方程为 y=x2 （2）由于直线的斜率43k ，且过点 A（6，4），根据直线方程的点斜式得直线方程为44(6)3yx，化为斜截式为443yx （3）直线方程 2x+y1=0，可化为 y=2x+1，第 5 页 共 14 页 由直线方程的斜截式知，直线的斜率 k=2，在 y 轴上的截距 b=1，直线与 y 轴交点的坐标为（0，1）。【点评】（1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率 k 和直线在 y 轴上的截距b。（2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程

12、少一个参数，即斜截式方程只要两个参数 k、b 即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数 k、x0、y0才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用。如仅知道直线的斜率为 k=2，则我们可设直线方程为 y=2x+b，再根据其他条件来求 b 的值。这种以“退”为进的思想方法是我们数学中常用的思想方法。类似地，若知道直线在 y 轴上的截距为 2，则可设直线方程为 y=kx+2（直线斜率存在的情况下）。（3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用。举一反三：【变式 1】(1)写出倾斜角是150o，在y轴上

13、的截距是-2 直线的斜截式方程；（2）写出斜率为 2，在 y 轴上截距为 m 的直线方程，当 m 为何值时，直线过点（1，1）？【答案】（1）323yx（2）y=2x+m m=1【解析】（1）33tan150233kyx oQ，（2）由直线方程的斜截式，得直线方程为 y=2x+m。直线过点（1，1），将 x=1，y=1 代入方程 y=2x+m 得 1=21+m，m=1 即为所求。类型三：两点式直线方程 例 3已知ABC 三个顶点坐标 A（2，1），B（2，2），C（4，1），求三角形三条边所在的直线方程 【答案】x=2，xy3=0，x+2y6=0【解析】A（2，1），B（2，2），A、B 两点

14、横坐标相同，直线 AB 与 x 轴垂直，故其方程为 x=2。A（2，1），C（4，1），由直线方程的两点式可得 AC 的方程为141 124yx，即 xy3=0。同理可由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为 221 242yx，即 x+2y6=0。三边 AB，AC，BC 所在的直线方程分别为 x=2，xy3=0，x+2y6=0。【点评】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程。在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程。第 6 页 共 14 页 举一反三：【变式 1】（1）求过 A(-2，-3)，B

15、(-5，-6)两点直线的两点式方程；（2）直线l过（1，1）、（2，5）两点，点（1002，b）在l上，则 b 的值为_ 【答案】（1）(3)(2)6(3)5(2)yx （2）2005【解析】（1）由两点式的直线方程得：(3)(2)6(3)5(2)yx （2）直线l的方程为(1)(1)5(1)2(1)yx ，即1163yx，即 y=2x+1 令 x=1002，得 y=2005，b=2005 【点评】先求出l的方程，然后代入点（1002，b）的坐标求出 b 类型四：截距式直线方程 例 4求过点 P（2，1），在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b，且满足 a=3b 的直线方程。【答案】x+3y

16、+1=0 或12yx 【解析】若 a=3b0，设所求直线的方程为1xyab，即13xybb。又直线过点 P（2，1），2113bb，解得13b 。故所求直线方程为1113xy，即 x+3y+1=0。若 a=3b=0，则所求直线过原点，可设方程为 y=kx。该直线过点 P（2，1），1=2k，12k 。故所求直线方程为12yx。综上所述，所求直线的方程为 x+3y+1=0 或12yx。【点评】应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零。举一反三：【变式 1】直线l过点（3，4），且在两坐标轴上的截距之和为 12，求直线l的方程 第 7 页 共 14 页【答案】x+3y9=0 或 4xy+

17、16=0 【解析】由于直线在两坐标轴上的截距之和为 12，因此直线l在两坐标轴上的截距都存在且不为零，故可设为截距式直线方程 设直线l的方程为1xyab，则 a+b=12 又直线l过点（3，4），341ab 由解得93ab或416ab。故所求的直线方程为193xy或1416xy，即 x+3y9=0 或 4xy+16=0【变式 2】求过点（4，3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程。【答案】x+y=1 xy=7 3x+4y=0【解析】解法一：设直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b。（1）当 a0，b0 时，设l的方程为1xyab。点（4，3）在直线上，431ab。若 a=b，则

18、 a=b=1，直线方程为 x+y=1。若 a=b，则 a=7，b=7，此时直线方程为 xy=7。（2）当 a=b=0 时，直线过原点，且过点（4，3），直线的方程为 3x+4y=0。综上知，所求直线方程为 x+y1=0 或 xy7=0 或 3x+4y=0。解法二：设直线l的方程为 y+3=k(x4)，令 x=0，得 y=4k3；令 y=0，得43kxk。又直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等。43|43|kkk，解得 k=1 或 k=1 或34k 。所求的直线方程为 xy7=0 或 x+y1=0 或 3x+4y=0。【点评】（1）一般来说直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则有三种情况：截距相等，

19、斜率为1；截距互为相反数，斜率等于 1；直线过原点。第 8 页 共 14 页（2）灵活地运用直线方程的不同形式，可获得较简捷的解题途径，本题的两种方法各有优劣，请在学习中体会。类型五：中点坐标公式 例 5 过点 P（3，0）作直线l，使它被两条相交直线 2xy2=0 和 x+y+3=0 所截得的线段 AB 恰好被 P点平分，求直线l的方程【答案】8xy24=0【解析】设直线l与直线 2xy2=0 交于点 A（x1，y1）点 P（3，0）是线段 AB 的中点，由中点坐标公式得 B 点的坐标为（6x1，y1），1111220(6)()30 xyxy，解得11113163xy。由两点式直线方程得直线

20、l的方程为16113316110333yx，即 8xy24=0。【点评】（1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题，如本例中，设 A 点坐标为（x1，y1），而 P（3，0）为 AB 的中点，从而得到 B 点坐标为（6x1，y1）（2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用，如本例中，AB 被 P 点平分，通过画图分析，它事实上等价于 AB 的中点为 P （3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等（4）本例中，在求直线方程时，不是先设直线方程，而是

21、先设 A 点坐标（横、纵坐标均为参数），再利用A、B 分别在两直线上，从而得到两个方程组成的方程组，解之便得到 A 点坐标，再利用两点式便可求出所求直线方程。这是以“退”为进的思想方法的灵活运用，也是解决解析几何问题的基本思想方法，应深刻领悟，熟练掌握它 举一反三：【变式 1】已知三角形的顶点是 A（5，0），B（3，3），C（0，2），求 AC 边上中线所在直线的方程 【答案】8x+11y+9=0【解析】线段AC的中点坐标为5,12，所以 AC 边上中线所在直线的方程为：3351 332yx，整理得：8x+11y+9=0 类型六：直线方程的综合应用 第 9 页 共 14 页 例 6已知ABC

22、 的三个顶点坐标分别是 A（5，0），B（3，3），C（0，2），分别求 BC 边上的高和中线所在的直线方程【答案】3x5y+15=0 x+13y+5=0【解析】BC 边上的高与边 BC 垂直，由此求得 BC 边上的高所在直线的斜率，由点斜式得方程；利用中点坐标公式得 BC 的中点坐标，由两点式得 BC 边上的中线所在的直线方程 设 BC 边上的高为 AD，则 BCAD，1BCADkk，23103ADk，解得35ADk，BC 边上的高所在的直线方程是30(5)5yx，即 3x5y+15=0 设 BC 的中点是 M，则31,22M，BC 边上的中线所在直线方程是05130522yx，即 x+13

23、y+5=0 BC 边上的高所在的直线方程是 3x5y+15=0，BC 边上的中线所在的直线方程为 x+13y+5=0【点评】求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式本题根据已知求 BC 边上的高所在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求 BC 边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式 举一反三：【变式 1】下列四个命题中真命题是()（A）经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0k(x-x0)表示；（B）经过任意两个不同点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)(x-x1)(

24、y2-y1)表示；（C）不经过原点的直线都可以用方程ax+by1 表示；（D）经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 ykx+b 表示.【答案】（B）【变式 2】已知倾斜角为 45的直线l过点 A（1，2）和点 B，B 在第一象限，|3 2AB，求点 B 的坐标【答案】（4，1）【解析】设 B 点坐标为,(0,0)x yxy，直线l的方程为：21yx，因为 B 在直线l上，且|3 2AB，所以223(1)(2)3 2yxxy，解之得：4x 或2x （舍去），所以 B 点坐标为（4，1）。第 10 页 共 14 页 励 学 国 际 学 生 课 后 作 业 年 级：上 课 次 数：作业上交时间：

25、学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：梁春晓 作业内容 作业得分 作 业 内 容【巩固练习】1直线30 xy的倾斜角是（）A30o B45o C60o D135o 2直线23(1)yx 的倾斜角和所过的定点分别为（）第 11 页 共 14 页 A 60，（1，2）B120，（l，2）C60，（1，2）D120，（1，2）3已知直线AB的斜率是12，若点(,2)A m，3,0B，则m的值为（）A1 B1 C7 D7 4直线 y=mx3m+2（mR）必过定点（）A（3，2）B（3，2）C（3，2）D（3，2）5直线(a1)y=(3a+2)x1 不通过第二象限，那么 a 的取值范围是

26、（）Aa1 Ba0 或 a1 C1a2 Da1 6直线l过点（1，2）且与直线 2x3y+4=0 垂直，则l的方程是（）A3x+2y1=0 B3x+2y+7=0 C2x3y+5=0 D2x3y+8=0 7若直线l与直线1y，7x 分别交于点 P，Q，且线段 PQ 的中点坐标为（1，-1），则直线l的斜率为()A13 B13 C32 D23 8斜率为2且在x轴上截距为-1 的直线方程是 9y轴上一点M与点(3,1)N 所在直线的倾斜角为120o，则点M的坐标为 10将直线:3(2)l yx 绕点（2，0）按顺时针方向旋转 30，则所得直线方程为_ 11 如果直线l沿x轴负方向平移 3 个单位，接

27、着再沿y轴正方向平移 1 个单位后又回到原来的位置，则直线l的斜率为 12已知三角形的三个顶点分别为 A（6，7），B（2，3），C（2，1），求 AC 边上的中线所在的直线方程 13已知直线l在 y 轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 6，求直线l的方程 14直线l与直线1,70yxy分别相交于,P Q两点，且线段PQ的中点为1,1，求直线l的方程 15有一个设有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始 10 分钟内只进水不出水，在随后的 30 分钟内既进水又出水，得到时间 x（分）与水量）y（升）之间的关系如下图所示，若 40 分钟后只出水不进水，求 y

28、 与 x 的函数关系式 第 12 页 共 14 页【答案与解析】1【答案】D【解析】2【答案】B 【解析】由直线的点斜式方程可知：该直线的斜率为3，其倾斜角为 120，过定点（1，2）3【答案】B【解析】4【答案】A 【解析】直线方程 y=mx3m+2 化为点斜式为 y2=m(x3)，所以必过定点（3，2）5【答案】D 【解析】截距均不为零时，由原式可得111321xyaa，依题意1032a且1011aa；若直线垂直于 x 轴，即 a=1 时，方程为15x，不通过第二象限，a1 6【答案】A 【解析】由直线l与直线 2x3y+4=0 垂直，可知直线l的斜率是32，由点斜式可得直线l的方程为32

29、(1)2yx，即 3x+2y1=0 7【答案】B【解析】由直线l与直线1,7yx分别交于点 P、Q，可设1(,1)P x，1(7,)Qy，再由线段 PQ 的中点坐标为(1,1)，可解得：15x ，13y 即直线l上有两点(5,1)P，(7,3)Q，代入斜率公式可解得直线l的斜率为1 31573k 故选 B 8【答案】220 xy【解析】9【答案】（0，2）【解析】10【答案】x=2【解析】直线l的斜率3k ，所以倾斜角为 120，因此，将直线l绕点（2，0）按顺时针方向旋转 30后所得直线的倾斜角为 90于是直线方程为 x=2 11【答案】13 第 13 页 共 14 页【解析】设00(,)A

30、 xy为直线l上一点，根据题意，点A沿x轴负方向平移 3 个单位，接着再沿y轴正方向平移 1个单位后仍应在直线l上，即点003,1xy在直线l上所以直线l的斜率为00001133yyxx 12【答案】x+y1=0【解析】设 AC 的中点为 M（x，y），则6242x，7132y ，即 M（4，3）由于直线 BM 过 B（2，3），M（4，3）两点，直线方程的两点式为3(2)334(2)yx ，化简，得 x+y1=0 AC 边上的中线所在的直线方程为 x+y1=0 13【答案】334yx或334yx 【解析】由题意可设所求直线方程为 y=kx3（k0），则直线l与两坐标轴的交点为3,0k，（0，

31、3），它与两坐标轴围成的三角形的面积13362Sk，所以34k ，故所求直线l的方程为334yx或334yx 14【答案】2310 xy 【解析】设1(,1)P x，因为PQ的中点为1,1，根据中点坐标公式，可得12,3Qx，因为点Q在直线70 xy上，所以，12(3)70 x，解得12,x 所以(2,1)P，4,3Q，11(3)2243k ，所以直线l：2310 xy 15【答案】2 (010)150 (1040)335290 (4058)33xxyxxxx【解析】当 0 x10 时，直线段过点 O（0，0），A（10，20），所以20210OAk，此时方程 y=2x；当 10 x40 时，

32、直线段过点 A（10，20），B（40，30），所以13ABk，方程为120(10)3yx，即15033yx；由物理知识可知，直线的斜率就是相应的进水或出水的速度设进水速度为 v1，出水速度为 v2在第段中，是 第 14 页 共 14 页 只进水过程，v1=2；在第段中，是既进水又出水的“合成“，此时的速度为1213vv，所以253v 所以当 x40 时，53k ，又直线段过点 B（40，30），所以此时方程为530(40)3yx，即529033yx，令 y=0，则290585x，即到第 58 分钟时容器内的水全部放完 综上所述，2 (010)150 (1040)335290 (4058)33xxyxxxx