《选修4-2矩阵与变换》教案解读.pdf

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1、 第 1 页 共 15 页 人教 A 版选修 4-2 矩阵与变换教案 第一讲 二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换 一、二阶矩阵 1.矩阵的概念 OP (2,3)，将OP的坐标排成一列，并简记为2 3 2 3 某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛 复赛 甲 80 90 乙 86 88 概念一：象2 3 80 9086 88 23324m的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母 A、B、C表示，横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.名称介绍：上述三个矩阵分别是 21 矩阵，22 矩阵（二阶矩阵），23 矩阵，注意行的个数在前。矩阵相等：行数、列

2、数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为 AB。行矩阵：a11,a12（仅有一行）列矩阵：a11 a21（仅有一列）向量a（x,y），平面上的点 P（x,y）都可以看成行矩阵,x y或列矩阵xy ，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量xy 的形式。练习 1：1.已知243xA,21zyB，若 A=B，试求zyx,2.设23xAy，2mnxyBxy mn，若 A=B，求 x,y,m,n 的值。概念二：由 4 个数 a,b,c,d 排成的正方形数表a bc d称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。零矩阵：所有元素均为 0，即0 00 0，记为 0。2 3 m 3 2 4 y x 2 3

3、O P(2,3)2 3 80 90 86 88 231,3242xymzxyz简记为23324m 第 1 页 共 15 页 二阶单位矩阵：1 00 1，记为 E2.二、二阶矩阵与平面向量的乘法 定义：规定二阶矩阵 A=a bc d，与向量xy 的乘积为axbyAcxdy，即Aa bc dxy axbycxdy 练习 2：1.（1）131021（2）311021 2.2101yx=11，求yx 三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换 问题 1:P（x,y）绕原点逆时针旋转 180o得到 P(x,y),称 P为 P 在此旋转变换作用下的象。其结果为xxyy ，也可以表示为00 xxyyxy ，即xy

4、1001yxxy怎么算出来的？问题 2.P（x,y）绕原点逆时针旋转 30o得到 P(x,y),试完成以下任务写出象 P；写出这个旋转变换的方程组形式；写出矩阵形式.问题 3.把问题 2 中的旋转 30o改为旋转角，其结果又如何？2.反射变换 定义：把平面上任意一点 P 对应到它关于直线l的对称点 P的线性变换叫做关于直线l的反射。研究：P（x,y）关于 x 轴的反射变换下的象 P(x,y)的坐标公式与二阶矩阵。3.伸缩变换 定义：将每个点的横坐标变为原来的1k倍，纵坐标变为原来的2k倍，（1k、2k均不为 0），这样的几何变换为伸缩变换。试分别研究以下问题：.将平面内每一点的纵坐标变为原来的

5、 2 倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.将每个点的横坐标变为原来的1k倍，纵坐标变为原来的2k倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.4.投影变换 定义：将平面上每个点 P 对应到它在直线l上的投影 P（即垂足），这个变换称为关于直线l的投影变换。研究：P（x,y）在 x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。5.切变变换 定义：将每一点 P（x,y）沿着与 x 轴平行的方向平移ky个单位，称为平行于 x 轴的切变变换。将每一点P（x,y）沿着与 y 轴平行的方向平移kx个单位，称为平行于 y 轴的切变变换。研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。30o 第 1 页 共 15 页 练

6、习：P10 1.2.3.4 四、简单应用 1.设矩阵 A=1 001，求点 P(2,2)在 A 所对应的线性变换下的象。练习：P13 1.2.3.4.5 【第一讲.作业】1.关于 x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是 2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转 120o的旋转变换对应的二阶矩阵是 3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是 4.平面内的一种线性变换使抛物线2yx的焦点变为直线 y=x 上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是 5.平面上一点 A 先作关于 x 轴的反射变换，得到点 A1,在把 A1绕原点逆时针旋转 180o，得到点 A2，若存在一种反射变换同样可

7、以使 A 变为 A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是 6.P（1，2）经过平行于 y 轴的切变变换后变为点 P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为 7.设121xAxy，2242zxBx，且 A=B.则 x 8.在平面直角坐标系中，关于直线 y=-x 的正投影变换对应的矩阵为 9.在矩阵1221A对应的线性变换作用下，点 P(2,1)的像的坐标为 10.已知点 A（2，1），B（2，3），则向量AB在矩阵11202对应的线性变换下得到的向量坐标为 11.向量a在矩阵1201A的作用下变为与向量11平行的单位向量，则a 12.已知15234A，a12，b34 ，设ab，ab，求A，A；13

8、.已知101 2A，a11，b1x ，若Aa与Ab的夹角为 135o，求 x.14.一种线性变换对应的矩阵为101 0。若点 A 在该线性变换作用下的像为（5，5）,求电 A 的坐标；解释该线性变换的几何意义。15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为01102。求点 A（1/5,3）在该变换作用下的像；圆221xy上任意一点00(,)P xy在该变换作用下的像。第 1 页 共 15 页 答案：1.1001 2.13223122 3.360oR4.00aa 5.1 0016.2xxyxy 7.1 8.11221122 9.（0，5）10.（2，8）11.2222，2222 12.7

9、18、194 13.2/3 14.(5,y)15.1532,2ooxy 第二讲 线性变换的性质复合变换与二阶矩阵的乘法 一、数乘平面向量与平面向量的加法运算 1.数乘平面向量：设xy ，是任意一个实数，则xy 2.平面向量的加法：设11xy，22xy，则1212xxyy 性质1：设 A 是一个二阶矩阵，,是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则数乘结合律：()AA；分配律：()AAA【探究 1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。二、直线在线性变换下的图形 研究ykxb分别在以下变换下的像所形成的图形。伸缩变换：1 00 2 旋转变换：13221322 切变变换：1 20 1 特别地：

10、直线 x=a 关于 x 轴的投影变换？性质 2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成 .（证明见课本 P19）三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形 分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。恒等变换：1 00 1 旋转变换：cossinsincos 第 1 页 共 15 页 切变变换：10 1k 反射变换：1001 投影变换：1 00 0 【练习：P27】【应用】试研究函数1yx在旋转变换22222222作用下得到的新曲线的方程。四、复合变换与二阶矩阵的乘法 1.研究任意向量xy 先在旋转变换30oR：13221322作用，再经过切变变换：1 20 1作用的向量xy

11、2.二阶矩阵的乘积 定义：设矩阵 A1111abcd，B2222abcd，则 A 与 B 的乘积 AB1111abcd2222abcd 【应用】1.计算21 11-21 10 2.Acossin -sincos，Bcossin -sincos，求 AB 3.求13 在经过切变变换：A=102 1，及切变变换：B=1 20 1两次变换后的像。4.设压缩变换：A10210，旋转变换90oR：B0110，将两个变换进行复合90oR，求向量23 在复合变换下的像；求xy 在复合变换下的像；在复合变换下单位正方形变成什么图形？第 1 页 共 15 页 5.试研究椭圆22134xy伸缩变换：0.5 001

12、旋转变换：13221322；切变变换：1 20 1；反射变换：1001；投影变换：1 00 0五种变换作用下的新曲线方程。进一步研究在，等变换下的新曲线方程。【练习：P35】【第二讲.作业】A.B.C.D.1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（）A.反射变换 B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变换 2.在切变变换：102 1作用下，直线 y=2x-1 变为 3.在 A0.5121作用下，直线l变为 y=-2x-3,则直线l为 4.在101 0对应的线性边变换作用下，椭圆22124xy变为 5.已知平面内矩形区域为12x ix j（0 x11,0 x22）,若一个线性变换将该矩形变为

13、正方形区域，则该线性变换对应的矩阵为 6.将椭圆22134xy绕原点顺时针旋转 45后得到新的椭圆方程为 7.在1 01 0对应的线性边变换作用下，圆(x+1)2+(y+1)2=1 变为 8.计算：1 32 41 104 2 11 11011 10112 11 1 9.向量12 经过1 10 1和1 01 1两次变换后得到的向量为 10.向量31先逆时针旋转 45o，再顺时针旋转 15o得到的向量为 11.函数sin()3yx的图像经过2 00 1的伸缩变换，和1 001的反射变换后的函数是 12.椭圆22143xy先后经过反射变换0 11 0和伸缩变换100 0.5后得到的曲线方程为 13.

14、已知2 11 1，且1 20 1，求矩阵。第 1 页 共 15 页 14.分别求出在102 0、0.5 001、1 00 0对应的线性边变换作用下，椭圆2214xy变换后的方程，并作出图形。15.函数1yx先后经过怎样的变换可以得到22144xy？写出相应的矩阵。答案：1.2.y=-1 3.3x-y+3=0 4.y=-x 5.01102 6.22772240 xyxy 7.y=x（2x0）8.1 132 18、1101、21019.35 10.13 11.sin()23xy 12.2213xy 13.111 0 14.y=-2x(2x2)、y=0(2x2)、221xy 15.020222222

15、2221111 第三讲 矩阵乘法的性质逆变换、逆矩阵 一、矩阵乘法的性质 1.设0 11 1，1123，0 11 0由 A、B、C 研究矩阵是否满足，结合律；交换律；消去律。结论：2.由结合律研究矩阵的乘方运算。3.单位矩阵的性质【应用】1.设0 11 1，求8 2.【练习：P41】二、逆变换与逆矩阵 1.逆变换：设是一个线性变换，如果存在一个线性变换，使得 I，（I是恒等变换）则称变换可逆，其中是的逆变换。2.逆矩阵：设是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵，使得 BA=AB=E2,则称矩阵可逆，其中为的逆矩阵。符号、记法：1A，读作的逆。【应用】1.试寻找30o的逆变换。【应用】1.A3 14

16、2，问 A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A。2.A2 14 2，问 A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A。由以上两题，总结一般矩阵 Aa bc d可逆的必要条件。第 1 页 共 15 页 三、逆矩阵的性质 1.二阶矩阵可逆的唯一性。2.设二阶矩阵 A、B 均可逆，则AB也可逆，且111()ABB A【练习：P50】【第三讲.作业】1.已知非零二阶矩阵 A、B、C，下列结论正确的是（）A.AB=BA B.(AB)C=A(BC)C.若 AC=BC 则 A=B D.若 CA=CB 则 A=B 2.下列变换不存在逆变换的是 （）A.沿 x 轴方向，向 y 轴作投影变换。B.60oR变换。C.横坐标不

17、变，纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。D.以 y 轴为反射变换 3.下列矩阵不存在逆矩阵的是 （）A.0 11 0 B.0.5 001 C.0110 D.1 01 0 4.设 A,B 可逆，下列式子不正确的是 （）A.111()ABA B B.111()ABB A C.11()AA D.211 2()()AA 5.0110N，则2 6.1 01 11 00 21 10 10 11 1 7.1 20 32 31 24624 8.设1 02 1A，0 21 0B则向量11经过先再的变换后的向量为 经过先再 A的变换后的向量为 9.关于 x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是 10.变换将（3，2）变成

18、（1，0），设的逆变换为1，则1将（1，0）变成点 11.矩阵0 11 1的逆矩阵为 12.设：xy1101xy，点（2，3）在1的作用下的点的坐标为 13.A110113223122，则1A=14.ABC 的顶点 A(0,0),B(2,0),C(0,1)。如果将三角形先后经过1 10 1和1 01 1两次变换变成ABC,求ABC的面积。15.已知 A13223122，B2 00 1，求圆221xy在1()AB变换作用下的图形。第 1 页 共 15 页 16.已知2 10 2A，试分别计算：2A,3A,4A,nA 答案：1.B 2.A 3.D 4.A 5.1001 6.1 23 4 7.2 4

19、0 6 8.21 、23 9.1001 10.（3，2）11.1 110 12.（1，3）13.1132231322 14.1 15.2241xy 16.24 40 4A、38 1208A、416 32016A、12202nnnnnA 第四讲 二阶行列式与逆矩阵逆矩阵与二元一次方程组 一.二阶行列式与逆矩阵【概念】如果矩阵 Aa bc d是可逆的，则adbc0.其中abcd称为二阶行列式，记作a bc d，即a bc dadbc，adbc也称为行列式a bc d的展开式。符号记为：detA 或|A|【可逆矩阵的充要条件】定理：二阶矩阵 Aa bc d可逆，当且仅当 detA=adbc0.此时

20、1detdetdetdetdbAAAcaAA （请同学一起证明此定理）【应用】1.计算二阶行列式：3 14 2 2213 2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。A011 0 B1 10 0【练习：P55】二、二元一次方程组的矩阵形式 1.二元一次方程组的矩阵形式 一般的，方程组axbyecxdyf可写成矩阵形式为：2.二元一次方程组的线性变换意义 设变换：a bc d，向量xy、ef，则方程组axbyecxdyf，意即：xyef 三、逆矩阵与二元一次方程组 第 1 页 共 15 页 1.研究方程组：3132213122xyxy的矩阵形式与逆矩阵的关系。【定理】如果关于 x,y 的二

21、元一次方程组axbyecxdyf的系数矩阵 Aa bc d是可逆的，则该方程组有唯一解：xy1a bc def【推论】关于 x,y 的二元一次方程组00axbycxdy（a,b,c,d,均不为 0），有非零解a bc d0【应用】1.用逆矩阵解二元一次方程组32420 xyxy【思考】课本 60 页思考 axbyecxdyf的系数矩阵 Aa bc d不可逆，方程组的解如何？【练习：P61】【应用】1.为何值时，二元一次方程组a bc dxyxy有非零解？三、三阶矩阵与三阶行列式 1.三阶矩阵的形式 2.三阶行列式的运算【第四讲.作业】1.矩阵 A3 14 2，则|A|=2.矩阵 A21510

22、x，若 A 是不可逆的，则 x=3.123 4的逆矩阵为 4.A1031，B1201，则1()AB 5.A312x，31，若 A 不可逆，则A 6.若关于 x,y 的二元一次方程组304110 xmyxy有非零解，则 m 7.设二元一次方程组224mxyxy没有非零解，则 m 所有值的集合为 8.向量在旋转变换60oR的作用下变为13，则向量 9.若1 30 1xy12 ，则 x+y 第 1 页 共 15 页 10.A3110，B3201，向量满足1()AB31 ，则向量 11.用逆矩阵的方法解方程组：71130 xyxy 301240 xyxy 12.求下列未知的二阶矩阵 X：1232311

23、 1X 1232311 1X 13.当为何值时，二元一次方程组2 21 3xyxy有非零解？14.设 A121 1，矩阵 B 满足1ABA3 01 2，求矩阵 B.答案：1.2 2.2 3.2155311010 4.7231 5.155 6.-33/4 7.32m 8.3 312332 9.3 10.30 11.11,66xy x=k,y=3k 12.147710577、38774177 13.1 或 4 14.523321033 第五讲 变换的不变量与特征向量 一.特征值与特征向量【探究】1.计算下列结果：10010a 10010b 以上的计算结果与0a ，0b 的关系是怎样的？2.计算下列

24、结果：1 00 20a 1 00 20b 以上的计算结果与0a ，0b 的关系是怎样的？【定义】第 1 页 共 15 页 设矩阵 Aa bc d，如果存在实数及非零向量，使得A，则称是矩阵 A 的一个特征值。是矩阵 A 的属于特征值的一个特征向量。（结合探究 1、2 说明，特征值与特征向量）【定理 1】如果是矩阵 A 的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数 k，k也是矩阵 A 的属于特征值的特征向量。其几何意义是什么？【定理 2】属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。【应用】从几何角度解释旋转变换13221322的特征值与特征向量。二、特征值与特征向量的计算 1.设 A2 21 3，求

25、 A 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。【总结规律】一般的，矩阵 Aa bc d的特征值及属于每个特征值的一个特征向量的求法。【应用】求 A121 4的特征值及属于每个特征值的一个特征向量。【练习：P70】【第五讲.作业】1.设反射变换:xxyy 对应的矩阵为 A，则下列不是 A 的特征向量的是（）A.01 B.10 C.01 D.11 2.下列说法错误的是 （）A.矩阵 A 的一个特征向量只能属于 A 的一个特征值 B.每个二阶矩阵均有特征向量 C.属于矩阵 A 的不同特征值的特征向量一定不共线 D.如果是矩阵 A 的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数 k，k也是矩阵 A 的

26、属于特征值的特征向量。3.设1，2分别是恒等变换与零变换的特征值，则12 4.投影变换:0 00 1的所有特征值组成的集合为 5.矩阵a bc d的特征多项式为 6.已知 A 是二阶矩阵，且 A20，则 A 的特征值为 7.若 0 是矩阵 A1 10 x的一个特征值，则 A 的属于 0 的特征向量为 8.已知 1、2 是矩阵 A13mn的特征值，则1A 第 1 页 共 15 页 9.若向量12 是矩阵12 2m的一个特征向量，则 m 10.求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量：0 14 0 1 011 3 45 2 11.已知向量0k 是矩阵102m的一个特征向量，求 m 的值。12.设

27、A23ab，分别求满足下列条件的所有矩阵 A：12是 A 的属于 2 的一个特征向量。12是A 的一个特征向量。13.对任意实数 x，矩阵322xmm总存在特征向量，求 m 的取值范围。14 设 A 是可逆的二阶矩阵，求证：A 的特征值一定不是 0；若是 A 的特征值，则 1/是 A1的特征值。1.2.3.4.0，1 5.2()()fadadbc 6.0 7.kk 8.103122 9.10.2,02kkk 或2,02kkk；01,0kk 或21,0kkk 7,0kkk 或42,05kkk 11.0 12.027321223 32 13.3 2 14.有 特征 多 项 式 证 明；A 11()

28、()AAA，11()()AA 11A 得征。第六讲 特征向量的应用 一.nA的简单表示【探究 1】关于 x 轴的反射变换的坐标公式为：相应的二阶矩阵为 A 矩阵 A 的特征值为：对应于每个特征值的特征向量为：试研究对特征向量作了 n 次变换后的结果：【定义】设矩阵 Aa bc d，是矩阵 A 的属于特征值的任意一个特征向量，则nnA （*nN）【探究 2】设探究 1 中的两个特征向量为1、2，因为这两个向量不共线，所以平面上任意一个向量可以用1、2为基底表示为：试研究nA的值。【性质 1】设1、2是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，1、2是矩阵 A 的分别属于特征值1、2的特征向量，对 第 1

29、页 共 15 页 于平面上任意一个非零向量，设1122tt，则nA1 11222nntt 【应用】1.【P76 1、2】2.人口迁移问题课本 P73【第五讲.作业】1.求矩阵 A00aa的特征值及其对应的所有特征向量。2.设是矩阵 A 的一个特征值，求证：2是2A的一个特征值。若2AA。求证 A 的特征值为 0 或 1。3.设是矩阵 A 的属于特征值的一个特征向量，求证：是nA的属于特征值n的一个特征向量。【42 综合作业】一、选择题 1.设矩阵 A2190 x，B259xab，若 AB，则 x 的值为（）A.3 B.9 C.-3 D.3 2.矩阵0110的逆矩阵为 （）A.011 0 B.1

30、 001 C.1001 D.0110 3.矩阵 A1 23 1，23v，则Av （）A.5 B.10 C.25 D.10 4.在 矩 阵2001对 应 的 线 性 变 换 作 用 下，椭 圆2214xy对 应 的 曲 线 为 （）A.221xy B.22116xy C.221xy D.22116xy 5.关于矩阵乘法，下列说法正确的是 （）A.不满足交换律，但满足消去律 B.不满足交换律和消去律 C.满足交换律，但不满足消去律 D.满足交换律和消去律 6.下列矩阵对应的变换可以把直线1yx变为一个点的是（）A.1111 B.101 0 C.1 01 0 D.1 00 0 7.是可逆二阶矩阵，且

31、2AA，则A的特征值为 （）A.0 B.1 C.1 D.0 或 1 8.矩 阵 3 12 2对 应 的 变 换 把 矩 形12x ix j（103x，201x）变 为 （）A.正方形 B.平行四边形 C.三角形 D.一般四边形 二、选择题 9.2a cb d 10.1 01 11 00 21 10 10 11 1 第 1 页 共 15 页 11.设124m，若存在非零向量使得A00 ，则 12.坐标平面内某种线性变换将椭圆2212yx的焦点变到直线2yx上，则该变换对应的矩阵a bc d中的 a、b、c、d 应满足关系为 13.已知 a、b、c 为实数，A、B、C 为二阶矩阵，通过类比得出下列

32、结论:“若 a=b,则 ac=bc”，类比“若 A=B,则 AC=BC”；“若 ac=bc，且0c，则 a=b”,类比“若 AC=BC，且为非零矩阵，则”；“若 ab=0,则 a=0或 b=0”类比“若 AB=0 00 0,则0 00 0或0 00 0”；“若20a，则0a”类比“若2A0 00 0，则0 00 0”。其中不正确的为 三、解答题 14.解二元一次方程2 31 2xy31；求满足X2 31 2321 1的二阶矩阵X。15.设3 24 1，求的特征值及所有的特征向量。16.已知矩阵12532，向量416，求3A。17.若cossinsincos，求2()23f xxx的最值。18.若某种线性变换把向量12 ，32b，分别变为向量24，51b ，求：该变换对应的矩阵；线段21yx（2x1）在该变换下所得曲线的方程。CAABB ABB 9.2ad-2bc 10.1 23 4 11.-2 12.d=2b 13.14.95、4535 15.1,02kkk 或5,0kkk 16.400952 17.0,4 18.312451324、117172()444yxx