高中数学椭圆离心率求法专题.pdf

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1、专业.专注.学习参考 .关于椭圆离心率 设椭圆xaybab222210（）的左、右焦点分别为FF12、，如果椭圆上存在点 P，使F PF1290，求离心率 e 的取值范围。解法 1：利用曲线范围 设 P（x，y），又知FcFc1200（，），（，），则 F PxcyF PxcyF PFF PF PF P F Pxc xcyxyc1212121222229000()()()()，由，知，则，即得 将这个方程与椭圆方程联立，消去 y，可解得 xa ca babF PFxaa ca baba2222222122222222229000但由椭圆范围及知即 可得，即，且从而得，且所以，）cbcaccae

2、caecae2222222221221 解法 2：利用二次方程有实根 专业.专注.学习参考 .由椭圆定义知|PFPFaPFPFPFPFa121222122224 又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此F PFPFPFF FcPFPFacPFPFuauac12122212221222122229042220|()|()4801222222222aacecae()因此，e)221 解法 3：利用三角函数有界性 记PF FPF F1221，由正弦定理有|sin|sin|sin|sinsin|sinsinsincoscosPFPFF FPFPFF FPFPFaF Fceca12121212121

3、2902211222122又，则有 专业.专注.学习参考 .而知从而可得09002452221221|cose 解法 4：利用焦半径 由焦半径公式得|PFaexPFaexPFPFF Facxe xacxe xcae xcxcaePxyxaxa12122212222222222222222222224220，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即 022212222caeae得，）解法 5：利用基本不等式 由椭圆定义，有212aPFPF|平方后得 42228212221212221222aPFPFPFPFPFPFF Fc|(|)|专业.专注.学习参考 .得ca2212 所以有，）e 2

4、21 解法 6：巧用图形的几何特性 由F PF1290，知点 P 在以|F Fc122为直径的圆上。又点 P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点 P 故有cbcbac2222 由此可得，）e 221 演练 一、直接求出ac，或求出a与b的比值，以求解e。在椭圆中，ace，22222221ababaacace 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于32 2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的 2 倍，则其离心率为22 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21FF,则椭圆的离心率为21 4.已知矩形ABCD，AB4，BC3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心

5、率为12。专业.专注.学习参考 .5.若椭圆)0(,12222babyax短轴端点为P满足21PFPF，则椭圆的离心率为e22。6.已 知)0.0(121nmnm则 当mn取 得 最 小 值 时，椭 圆12222nymx的的离心率为23 7.椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，若12MNFF，则该椭圆离心率的取值范围是212，8.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1F1A，POAB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为e22。9.P是椭圆22ax+22by=1（ab0）上一点，21FF、是椭圆的左右焦点，

6、已知,2,1221FPFFPF,321PFF椭圆的离心率为e13 10.已 知21FF、是 椭 圆 的 两 个 焦 点，P是 椭 圆 上 一 点，若75,151221FPFFPF，则椭圆的离心率为 36 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为22 12.设椭圆2222byax=1（ab0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是21。专业.专注.学习参考 .13.椭圆12222byax（ab0）的两顶点为A（a,0）B(0,b),若右焦点F到直线 AB 的距离等于21 AF，则椭

7、圆的离心率是36。14.椭圆12222byax（ab0）的四个顶点为 A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是215 15.已知直线 L 过椭圆12222byax（ab0）的顶点 A（a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线 L 的距离为2a，则椭圆的离心率是36 16.在平面直角坐标系中，椭圆2222xyab1(ab0)的焦距为 2，以 O为圆心，a为半径作圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=22 17.设椭圆22221(0)xyabab的离心率为1e2，右焦点为(0)F c，方程20axbxc 的两个实根分别为1x和2x，则点12()P xx，

8、（A）必在圆222xy内 必在圆222xy上 必在圆222xy外 以上三种情形都有可能 二、构造ac，的齐次式，解出e 1已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是53 2以椭圆的右焦点 F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于专业.专注.学习参考 .M、N 两点，椭圆的左焦点为 F1，直线 MF1与圆相切，则椭圆的离心率是13 3以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于 M、N 两点，如果 MF=MO，则椭圆的离心率是13 4设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F1PF2为等腰直角三角形，则

9、椭圆的离心率是21 5已知 F1、F2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是33 6设12FF、分别是椭圆222210 xyabab的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c（c 为半焦距）的点，且122FFF P，则椭圆的离心率是22 三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。1已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MF MF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是2(0,)2 2 已 知21FF、是 椭 圆 的 两 个 焦 点，P是 椭 圆 上 一 点，且9021PFF，椭圆离心率 e 的取值范围为1,22 3

10、 已 知21FF、是 椭 圆 的 两 个 焦 点，P是 椭 圆 上 一 点，且6021PFF，椭圆离心率 e 的取值范围为1,21 4设椭圆12222byax（ab0）的两焦点为 F1、F2，若椭圆上存在一点 Q，使F1QF2=120，椭圆离心率 e 的取值范围为136 e 专业.专注.学习参考 .5在ABC中，ABBC，7cos18B 若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 38 6设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是313，7如图，正六边形 ABCDEF 的顶点 A、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点 B、C、E、F 均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是13 B C F EA D