高等数学方明亮6.5平面及其方程.ppt

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1、返回返回上页上页下页下页目录目录第五节第五节 平面及其方程平面及其方程 第六章第六章（The Planes and Its Equations)四、小结与思考练习四、小结与思考练习一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角2/24/20231返回返回上页上页下页下页目录目录一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.法向量法向量.量则有 故(The Point-Normal Form Equations of a Plane)2/24/20232返回返

2、回上页上页下页下页目录目录即解解:取该平面 的法向量为的平面 的方程.(自学课本自学课本 例例2）利用点法式得平面 的方程例例1 1 求过三点2/24/20233返回返回上页上页下页下页目录目录此平面的三点式方程三点式方程也可写成 一般情况一般情况:过三点的平面方程为说明说明:2/24/20234返回返回上页上页下页下页目录目录此式称为平面的截距式方程截距式方程.时,平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即特别特别,当平面与三坐标轴的交点分别为2/24/20235返回返回上页上页下页下页目录目录二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减,得平面的点法式方程此方程

3、称为平面的一般平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是法向量为 方程方程.(General Equation of a Plane)2/24/20236返回返回上页上页下页下页目录目录特殊情形特殊情形 当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示 通过原点通过原点的平面;当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量平面平行于 x 轴;A x+C z+D=0 表示 A x+B y+D=0 表示 C z+D=0 表示 A x+D=0 表示 B y+D=0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yo

4、z 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.2/24/20237返回返回上页上页下页下页目录目录解解:因平面通过 x 轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程例例2 求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.(自学自学 课本课本 例例3）例例3 用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.(自学课本自学课本 例例4）2/24/20238返回返回上页上页下页下页目录目录三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.（The Angle between Two Planes）2/24/20239

5、返回返回上页上页下页下页目录目录特别有下列结论：2/24/202310返回返回上页上页下页下页目录目录因此有垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.（课本（课本 例例6 6）解解:设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为 且例例4 一平面通过两点2/24/202311返回返回上页上页下页下页目录目录外一点,求解解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.（课本（课本 例例7）,则P0 到平面的距离为(点到平面的距离公式点到平面的距离公式)例例5 设2/24/202312返回返回上页上页下页下页目录目录求内切于平面 x+y+z=1 与三个坐标面所构成四面体的球面方程

6、.（补充题）（补充题）例例6解解:设球心为则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为从而2/24/202313返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结1.平面基本方程平面基本方程:一般式点法式截距式三点式2/24/202314返回返回上页上页下页下页目录目录2.平平面面与平面与平面之间的关系之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2/24/202315返回返回上页上页下页下页目录目录课外练习课外练习习题习题65 1；2；7；8；9（1）（）（3）；）；10；11 思考与练习思考与练习答案：答案：2/24/202316返回返回上页上页下页下页目录目录答案：答案：2/24/202317返回返回上页上页下页下页目录目录解解:已知二平面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得3.求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程.（课本习题（课本习题6-5 5）2/24/202318