高等数学同济六版第七章微分方程.ppt

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1、一、向量的概念一、向量的概念零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.模长为模长为1 1的向量的向量.单位向量：单位向量：或或向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：或或|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.或或相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.二、向量的线性运算、向量的线性运算向量的加减法向量的加减法11 加法：加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若 分为同向和反向分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）向量的加法符合下列运算规律：向量的

2、加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 减减法法并按向量相加的三角形法则并按向量相加的三角形法则,可得可得n个向量想加的法个向量想加的法则如下则如下:使前一向量的终点作为次一向量的起点使前一向量的终点作为次一向量的起点,相相继作继作 向量向量,再以第一向量的起点为起再以第一向量的起点为起点点,最后一向量的终点为终点作一向量最后一向量的终点为终点作一向量,这个向量为这个向量为所求的和所求的和.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.2 向量与数的乘法向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律数与向量的乘积符合下列运算规律

3、：（1 1）结合律结合律：（2 2）分配律：分配律：向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算.例例1由于由于MB=-MD,所以所以又因又因所以所以因为因为MC=-MA,所以所以按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.两个向量的平行关系两个向量的平行关系证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性两式相减，得两式相减，得三、空间点的直角坐标三、空间点的直角坐标在空间取定一点在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量和三

4、个两两垂直的单位向量 ，就确定了三条都以，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴为原点的两两垂直的数轴,依次记为依次记为x轴轴(横轴横轴)、y轴轴(纵轴纵轴)、z轴轴(竖轴竖轴),统称坐统称坐标轴标轴.它们构称一个空间直角坐标系它们构称一个空间直角坐标系,称为称为Oxyz坐坐标系或标系或 坐标系坐标系.通常把通常把x轴和轴和y轴配置在水轴配置在水平面上平面上,而而z轴则是铅垂线轴则是铅垂线;它们的正向通常符合右它们的正向通常符合右手规则手规则,即以右手握住即以右手握住z轴轴,当右手的四个手指从正当右手的四个手指从正向向x轴以轴以 角度转向正向角度转向正向y 轴时轴时,大拇指的指向就是大拇指的

5、指向就是z轴的正向轴的正向.面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限三个坐标平面，三条坐标轴三个坐标平面，三条坐标轴空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点OMOM向量向量 称为称为点点M关于原点关于原点O的向径的向径。OM上式称为向量上式称为向量 的坐标分解式，的坐标分解式，四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算例例3 求解以向量为未知元的线性方程组求解以向量为未知元的线性方程组其中其中 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影1。向量的模与两点间的距离公式。向量的模与两点

6、间的距离公式OM=OP+OQ+OROPOQOROMAB=OB-OA=即得即得A、B两点间的距离两点间的距离解解 因为因为解解 因为因为AB=OB-OA=所以所以于是于是空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦从而从而类似可知类似可知注意：注意：解解由关系式由关系式3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影设点设点O及单位向量及单位向量e

7、r确定确定 u轴轴,任给向量任给向量rr,作作rOMr=，再过点，再过点M作与作与u轴垂直的平面交轴垂直的平面交 u轴轴于点于点M（点（点M 叫作点叫作点M在在 u轴上的投影），则轴上的投影），则向量向量MO 称为向量称为向量 rr在在 u轴上的分向量。轴上的分向量。设设eMOrl l=，则数，则数l l称为向量称为向量 rr在在 u轴上的投影，轴上的投影，记作记作rprjur或或ur)(r。ar 按此定义，向量按此定义，向量 在直角坐标系在直角坐标系Oxyz中的坐中的坐标标zyxaaa、就是就是 ar在三条坐标轴上的投影，在三条坐标轴上的投影，即即 性质性质1性质性质3性质性质2解解于是于是思考题一思考题一在空间直角坐标系中，指出下列各在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？点在哪个卦限？思考题二思考题二已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.思考题三思考题三思考题一解答思考题一解答A:;B:;C:;D:;思考题二解答思考题二解答思考题三解答思考题三解答对角线的长为对角线的长为