高数1-1映射与函数.ppt

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1、第一章函数与极限分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节映射与函数一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.表示法表

2、示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例例:有限集合自然数集(2)描述法：x 所具有的特征例例:整数集合或有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数开区间闭区间定义定义 3.给定两个集合 A,B,并集交集且差集且定义下列运算运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离

3、两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.3.3.邻域邻域:4.4.绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:绝对值不等式的两个变形公式：绝对值不等式的两个变形公式：二、二、映射映射1.映射的概念映射的概念 某校学生的集合某校学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定规则入座引例引例1.引例引例2.引例引例3.(点集)(点集)向 y 轴投影定义定义4.设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f,使得有唯一确定的与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射,记作元素 y 称为

4、元素 x 在映射 f 下的 像像,记作元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像.集合 X 称为映射 f 的定义域定义域;Y 的子集称为 f 的 值域值域.注意注意:1)映射的三要素 定义域,对应规则,值域.2)元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.对映射若,则称 f 为满射满射;若有 则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射.引例引例2,3引例引例2引例引例2X(数集 或点集)说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X()Y(数集)f 称为X 上的泛函X()X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的为函数映

5、射又称为算子.名称.例如,2.逆映射与复合映射逆映射与复合映射(1)逆映射的定义 定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为 f 的逆映射.(2)复合映射手电筒D引例.复合映射 定义.则当由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复设有映射链记作合映射,时,或注意:构成复合映射的条件 不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.二、函数概念二、函数概念定义定义 设设x和和y是两个变量是两个变量，D是一个给定的数集是一个给定的数集，若对于若对于x D，变量变量y按照确定的法则总有按照确定的法则总有 确定的数值和它对应，则称确定的数值和它对应，则称y是是

6、x的函数的函数记作记作自变量自变量因变量因变量函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.自变量自变量对应法则对应法则f因变量因变量约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫做多值函数则叫做多值函数定义定义:几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例 (1)符号函数符号函数1-1xyo(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 x 的最大整

7、的最大整数数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线(3)狄利克雷函狄利克雷函数数有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(4)取最值函数取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.(5)绝对值函数绝对值函数oxy定义域定义域 R值域值域三、函数的特性三、函数的特性1函数的有界性函数的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界有界M-MyxoX无界无界2函数的单调性函数的单调性:xyoxyo3函数的奇偶性函数的奇偶性:yxox

8、-x偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数4 周期性周期性且则称为周期函数,若称 l 为周期(一般指最小正周期).周期为 周期为注注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数四四.反函数反函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数.其反函数(减)(减).1)yf(x)单调递增且也单调递增 性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数内容小结内容小结1.集合及映射的概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性2.函数的定义及函数的二要素4.反函数思考题思考题