高等数学-概率6.4正态总体.ppt

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1、 第六章第四节 正态总体统计三大分布统计三大分布记为记为分布分布一、一、定义定义:设设相互独立相互独立,都服从正态都服从正态分布分布N(0,1),则称随机变量：则称随机变量：所服从的分布所服从的分布为自由度自由度为 n的的 分布分布.分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布.分布的密度函数为分布的密度函数为来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数通过积分通过积分请看演示请看演示分布分布由由分布的定义，不难得到：分布的定义，不难得到：1.设设相互独立相互独立,都服从正态分布都服从正态分布则则2.设设且且X1,X2相互独立，相互独立，则则这个性质叫这个性质叫分布的可加性分

2、布的可加性.应用中心极限定理可得，若应用中心极限定理可得，若，则当，则当n充分大时，充分大时，若若的分布近似正态分布的分布近似正态分布N(0,1).则则可以求得，可以求得，E(X)=n,Var(X)=2n若若 n n2 2分布的分布的密度函数的图密度函数的图形如右图形如右图.n n2 2分布的上分布的上 分位点可以查附表分位点可以查附表4(P234).4(P234).n n2 2分布的分布的上上 分位点图分位点图形如右图形如右图.2 2分布的分位点分布的分位点 对于对于(0,1)(0,1)给定定,称称满足足 条件条件:的点的点n n2 2()为为n n2 2分布的上分布的上 分位点分位点.T的

3、密度函数为：的密度函数为：所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为n的的t 分布分布.定定义义:设设XN(0,1),Y,且且X与与Y相相互互独独立，则称变量立，则称变量二二、t 分布分布记为记为T .具有自由度为具有自由度为n的的t分布的随机变量分布的随机变量T的数的数学期望和方差为学期望和方差为:E(T)=0;Var(T)=n/(n-2),对对n2当当n充分大时，其图形类似于标准正态分充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形布密度函数的图形.t分布的密度函数关于分布的密度函数关于x=0对称，且对称，且不难看到，当不难看到，当n充分大时，充分大时，t 分布近似分布近似N (0,1)

4、分布分布.但对于较小的但对于较小的n，t分布与分布与N(0,1)分布相差很大分布相差很大.请看演示请看演示t分布分布 T Tt tn n,对于于(0,1)(0,1)给定定,称称满足条件足条件:t t分布的分位点分布的分位点 的点t tn n()为为t t分布的上分布的上 分位点分位点.t t分布的上分布的上 分位点图形如分位点图形如右图右图.t t分布的上分布的上 分位分位点可以查附表点可以查附表3(P232).3(P232).三、三、F分布分布定义定义:设设X与与Y相互独相互独立，则称统计量立，则称统计量服从自由度为服从自由度为n1及及n2的的F分布，分布，n1称为第称为第一自由度，一自由度

5、，n2称为第二自由度，记作称为第二自由度，记作F.由定义可见，由定义可见，即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.X的数学期望为的数学期望为:若若n22若若X，X的概率密度为的概率密度为请看演示请看演示F分布分布 FF Fm,nm,n,对于于(0,1)(0,1)给定定,称称满足条件足条件:F F分布的分位点分布的分位点 的点的点F Fm,nm,n()为为F F分布的上分布的上 分位点分位点.F F分布的上分布的上 分分位点图形如右位点图形如右图图.F F分布的上分布的上 分分位点可以查附位点可以查附表表5(P237).5(P237).当总体为当总体为正态分布正

6、态分布时，教材上给出了几时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理个重要的抽样分布定理.这里我们不加证这里我们不加证明地叙述明地叙述.除定理除定理2外，其它几个定理的外，其它几个定理的证明都可以在教材上找到证明都可以在教材上找到.四、几个重要的抽样分布定理四、几个重要的抽样分布定理定理定理1(样本均值的分布样本均值的分布)设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本，则有的样本，则有n取不同值时样本均值取不同值时样本均值的分布的分布定理定理2(样本方差的分布样本方差的分布)设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有

7、则有n取不同值时取不同值时的分布的分布定理定理3设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有定理定理4(两总体两总体样本样本均值差的分布均值差的分布)分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值均值,则有则有Y1,Y2,是是样本样本定理定理5(两总体两总体样本样本方差比的分布方差比的分布)分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,是取自是取自X的样本的样本,

8、取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值，均值，则有则有Y1,Y2,是是样本样本 假设某物体的实际重量为假设某物体的实际重量为,但它是但它是未知的未知的.现在用一架天平去称它现在用一架天平去称它,共称了共称了n n次次,得得到到X X1 1,X,X2 2,X,Xn n.假假设每次称量每次称量过程彼此独立且没有系程彼此独立且没有系统误差误差,则可以认为这些测量值都服从正态分布则可以认为这些测量值都服从正态分布 N(N(,2 2),),方差方差 2 2反映了天平及测量过程的总精反映了天平及测量过程的总精度度.通常我通常我们用用样本均本均值:根据基本定理根据

9、基本定理,例例1 1例如例如=0.1=0.1时,若取若取n=10.n=10.则:下面讨论估计值下面讨论估计值,即样本均值与真值即样本均值与真值 的偏差的偏差.于是根据第二章讲过于是根据第二章讲过:随着称量次数随着称量次数n n的增加的增加,这个偏差界限这个偏差界限还是还是=0.1=0.1时,若取若取n=100.n=100.则:越来越小越来越小.在设计导弹发射装置时在设计导弹发射装置时,重要事情之一是重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一于一类导弹发射装置射装置,弹着点偏离目着点偏离目标中心的距离服从正态分布中心的距离服从正态分布N(N(,2

10、2),),这里里 2 2=100=100米米2 2.现在在进行了行了2525次次发射射试验,用用S S2 2记这记这2525次次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差差.求求:S:S2 2超过超过5050米米2 2的概率的概率.例例2 2 根据基本定理根据基本定理查查P234P234附表附表4,4,得到得到:解解:本章小结一、总体，样本，样本的分布一、总体，样本，样本的分布二、二、统计量及其分布统计量及其分布1.几个常见统计量几个常见统计量2.统计三大分布统计三大分布样样本本均均值值,样样本本方方差差,样样本本k阶阶原原点点矩矩,样样本本k阶阶中中心心矩矩分布分布,t 分布分布,F分布分布3.抽样分布抽样分布设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,则则