高等数学第七章讲解.ppt

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1、第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程二、空间直线的对称式方程 和参数式方程和参数式方程三、两直线的夹角三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于一如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为条已知直线，这个向量称为这条直线的这条直线的方向向量方向向量二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数

2、方程 直线的任一方向向量的三个坐标直线的任一方向向量的三个坐标m,n,p叫做该直线的一组叫做该直线的一组方向数方向数.方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦.直线的直线的对称式对称式方程方程/即即有有且且建立直线方程建立直线方程或或点向式点向式方程方程说明说明:在直线方程在直线方程中某些分母为零时中某些分母为零时,其分子也其分子也即平行于即平行于z轴的直线轴的直线.表示表示即平行于即平行于yOz面（在平面面（在平面x=2上）的直线上）的直线.理解为零理解为零.例如例如表示表示而而令令直线的参数方程直线的参数方程则则点向式方程点向式方程解解故可取直线的方向向量故可取直线

3、的方向向量因此所求直线方程为因此所求直线方程为例例1 一直线过点一直线过点，且与直线，且与直线平行，求其方程平行，求其方程.依题意依题意,所求直线与已知直线平行所求直线与已知直线平行,已知直线的方向向量为已知直线的方向向量为例例2 用对称式方程及参数方程表示直线：用对称式方程及参数方程表示直线：解解 在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点的坐标点的坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程参数方程参数方程定义定义直线直线直线直线两直线的方向向量的夹角（锐角）两直线的方向向量的夹角（锐角）则两直线的则两直线的夹角公式：夹角公式：三、两直线

4、的夹角三、两直线的夹角称为称为两直线的夹角两直线的夹角.两直线的位置关系：两直线的位置关系：/直线直线直线直线例如，例如，解解 设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程所求直线的方程例例3定义定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角称为称为直线与平面的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系位置关系：/解解 取已知平面的法向量取已知平面的法向量则直线的对称式方程为则直线的对称式方程为垂直的直线方程垂直的直线方程.为所求直线的方向向量

5、为所求直线的方向向量.例例4 求过点求过点(1,2,4)且与平面且与平面(1,2,4)解解为所求夹角为所求夹角例例5解解 先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N N,过过M,N的直线的直线L即为所求直线即为所求直线.例例6求交点：求交点：把已知直线化为参数方程把已知直线化为参数方程代入平面方程得代入平面方程得 ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为令令利用平面束的方程解题利用平面束的方程解题通过定直线的所有平面的全体称为通过定直线的所有平面的全体称为平面束平面束.称为

6、通过称为通过L平面束方程平面束方程设直线设直线 L由方程组由方程组所确定所确定,其中系数其中系数与与不成比例不成比例.解解例例7 求直线求直线在平面在平面上的投影直线的方程上的投影直线的方程.过直线过直线的平面束的方程为的平面束的方程为其中其中 为待定常数为待定常数.解解 通过通过 L的平面束的方程为的平面束的方程为垂直条件是垂直条件是 这平面与平面这平面与平面所求投影直线的方程为所求投影直线的方程为代入代入得投影平面方程为得投影平面方程为一、空间直线方程一、空间直线方程一般式一般式对称式对称式参数式参数式小 结直线直线二、线与线的关系二、线与线的关系直线直线夹角公式夹角公式:平面平面 :L L/夹角公式：夹角公式：三、面与线间的关系三、面与线间的关系直线直线 L:思考题思考题思考题解答思考题解答且有且有故当故当 时结论成立时结论成立作作 业业p.335 习题习题7-6 4；7；8；10；11;15;16.