高等数学课件D3-5极值与最值.ppt

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1、二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 第五节函数的极值与 最大值最小值 第三三章 定义定义:在其中当时,(1)则称 为 的极大值点极大值点,称 为函数的极大值极大值;(2)则称 为 的极小值点极小值点,称 为函数的极小值极小值.极大值点与极小值点统称为极值点极值点.一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法注意注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如例如,为极大值点,是极大值 是极小值 为极小值点,函数定理定理 1(极值第一判别法极值第一判别法)且在空心邻域内有

2、导数,(1)“左左正正右右负负”,(2)“左左负负右右正正”,(自证)例例1.求函数求函数的极值.解解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为定理定理2(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且则 在点 取极大值;则 在点 取极小值.证证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.例例2.求函数的极值.解解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故 为极小值;又故需用第一判别法判别.定理定理3(判别法的推广判别法的推广)则:数,且1)当 为偶数时,是极小点;是极大点.2)当 为奇数时,为极值点,且不是极值点.当 充分接近 时,上式左端正负号由

3、右端第一项确定,故结论正确.证证:利用 在 点的泰勒公式,可得例如例如,例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理1 定理3)都是充分的.说明说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的极值可疑点(2)最大值最小值特别特别:当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大 值,则也是最大 值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.(小)例例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值

4、.解解:显然且故函数在取最小值 0;在及取最大值 5.(k 为某常数)例例4.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运为使货物从B 运到工 20解解:设则令得 又所以 为唯一的极小值点,故 AD=15 km 时运费最省.总运费厂C 的运费最省,从而为最小值点,问D点应如何取?km,公路,价之比为3:5,例例5.把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点

5、只一个,故所求结果就是最好的选择.存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.售出该产品 x 千件的收入是例例8.设某工厂生产某产品 x 千件的成本是解解:售出 x 千件产品的利润为问是否故在 x2=3.414千件处达到最大利润,而在 x1=0.586千件处发生局部最大亏损.说明说明：在经济学中称为边际成本称为边际收入称为边际利润由此例分析过程可见,在给出最大利润的生产水平上即边际收入边际成本（见右图）成本函数收入函数即收益最大亏损最大用开始移动,例例6.设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 F 作解解:克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大值问题.设摩擦系数问力F

6、 与水平面夹角 为多少时才可使力F 的大小最小?令解得而因而 F 取最小值.解解:即令则问题转化为求的最大值问题.清楚(视角 最大)?观察者的眼睛1.8 m,例例7.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于解解:设观察者与墙的距离为 x m,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最内容小结内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0 或不存在的点(2)第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值(4)判别法的推广定理3最值点应在极值点

7、和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习思考与练习2.连续函数的最值1.设则在点 a 处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示提示:利用极限的保号性2.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示提示:利用极限的保号性.3.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示提示:A作业作业P162 3;4(2)13;15;16 试问 为何值时,在时取得极值,还是极小.解解:由题意应有又 1.求出该极值,并指出它是极大即试求解解:2.故所求最大值为