高等几何-第一章仿射坐标与仿射变换(PPT).ppt

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1、高高 等等 几几 何何1课 程 概 论u高等几何是师范类数学专业重要的基础课高等几何是师范类数学专业重要的基础课之一，它跟初等几何、解析几何、高等代之一，它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；对未来中学数学数等课程有紧密的联系；对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，思维的灵活、方法的多样起着重要作用，有助于中学数学教学质量的提高和科研能有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。力的培养。u本书的主要内容是介绍射影几何学，但为本书的主要内容是介绍射影几何学，但为了比较起见，也引进了仿射几何学

2、与欧氏了比较起见，也引进了仿射几何学与欧氏几何学。射影几何学范围大，可以包含许几何学。射影几何学范围大，可以包含许多其他的几何学，例如欧氏几何学、非欧多其他的几何学，例如欧氏几何学、非欧氏几何学、仿射几何学等。氏几何学、仿射几何学等。2课 程 概 论u射影几何学的起源是由于绘图和建筑上的需要。射影几何学的起源是由于绘图和建筑上的需要。当一个画家要把一个实像描绘在一块布幕上时，当一个画家要把一个实像描绘在一块布幕上时，他用他的眼睛当做是投影中心，把实像投影到布他用他的眼睛当做是投影中心，把实像投影到布幕上去。他的眼睛好比灯光，把实像的影子映射幕上去。他的眼睛好比灯光，把实像的影子映射到布幕上去，

3、然后再描绘出来。在建筑上我们需到布幕上去，然后再描绘出来。在建筑上我们需要把设计的实物画在一个面上，平面上的图像就要把设计的实物画在一个面上，平面上的图像就是实物的平面投影。是实物的平面投影。（透视图）（透视图）u这种投影技术在纯理论方面的发展，就成为射影这种投影技术在纯理论方面的发展，就成为射影几何学。几何学。u在实用方面的发展就成为工科院校的一门基础课在实用方面的发展就成为工科院校的一门基础课-画法几何学。画法几何学。3课 程 概 论一、高等几何的内容一、高等几何的内容欧氏几何仿射几何射影几何十九世纪名言一切几何学都是射影几何4欧氏几何(初等几何)研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数保

4、持不变的性质和数量量(统称不变性不变性，如距离、角度、面积、体积等)搬动正交变换对图形作有限次的平移、旋转、轴反射的结果欧氏几何研究图形在正交变换下不变性质的科学5仿射几何平行射影仿射变换仿射几何研究图形在仿射变换下不变性质的科学透视仿射对应有限次平行射影的结果仿射不变性比如平行性、两平行线段的比等等6射影几何中心射影射影变换射影几何研究图形在射影变换下不变性质的科学透视对应有限次中心射影的结果射影不变性比如几条直线共点、几个点共线等等射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！7课 程 概 论一、高等几何的内容一、高等几何的内容二、高等几何的方法二、高等几何的方法综合法给定公理系统(一套相互独

5、立、无矛盾、完备的命题系统)，演绎出全部内容解析法数形结合，利用代数、分析的方法研究问题本课程兼用综合法与解析法8课 程 概 论一、高等几何的内容一、高等几何的内容二、高等几何的与方法二、高等几何的与方法三、开课目的三、开课目的学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想。训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养。新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高观点，加深理解，举一反三。9主主 要要 内内 容容第二章第二章：射影平面包括：中心射影，齐次坐标，对偶原理，复元素第三章第三章：射影变换与射影坐标包括：交比，调和共轭，透视对应，一维射影变换，

6、二维射影变换、射影坐标第四章第四章：变换群与几何学克莱因（F.Klein)的变换群观点第五章第五章：二次曲线的射影理论包括：二次曲线的射影定义，帕斯卡和布利安桑定理，极点，极线，配极原则，二次曲线的射影分类第六章第六章：二次曲线的仿射性质和度量性质包括：二次曲线的中心，直径，共轭直径，渐近线，二次曲线的仿射分类，主轴，焦点，准线，二次曲线的度量分类，射射影影几几何何第一章第一章：仿射坐标与仿射变换包括：透视仿射对应，仿射对应，仿射变换和性质，仿射坐标本本教教材材基基本本框框架架10第一章：仿射坐标与仿射变换：仿射坐标与仿射变换定义：设A,B,C为共线三点，这三点的单比（ABC）定义为以下有向线

7、段的比：1透视仿射对应一.单比u当点 C 在线段 AB 上时，(ABC)0称A、B为基点基点，C为分点分点u当点 C 在线段 AB或 BA的延长线上时，(ABC)0u当点 C 与点A重合时，(ABC)=0u当点 C 与点B重合时，(ABC)不存在u当点 C 为线段 AB的中点时，(ABC)=-1注：与定比分点中定比（分割比）相差一个符号。11二.两直线间透视仿射对应、仿射对应与仿射变换两直线间透视仿射对应、仿射对应与仿射变换1.两直线间的透视仿射对应ABCD若直线且 ,，,点A,B,C,D,过点A,B,C,D作直线 的平行线交 于，则可得直线到直线的一个映射。称为透视仿射对应，记为 T12AB

8、CD原象点：A,B,C,D 直线a上的点平行射影的方向：直线透视仿射对应与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射对应O点 O 为自对应点(同一平面上两相交直线的公共点)映象点：直线上的点记透视仿射对应T：132.两直线间的仿射对应仿射对应是透视仿射对应链或平行射影链 表示透视仿射链，T表示仿射对应（如图）14如图所示：如图所示：第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换15注：（1）.仿射对应是有限次的透视仿射对应组成的（2）.判断仿射对应是否是透视仿射对应的方法：对应点的连线是否平行（3）.书写的顺序与透视仿射对应的顺序是相反的二二.两平面的透视仿射对应、仿射对应与仿射变换：1.

9、透视仿射对应：如图点A,B,C共线a，则 共线gABCal两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴3.两直线间的仿射变换 与 重合的仿射对应称为仿射变换。16如图如图第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换17平面到平面的仿射对应是有限次透视仿射对应的积组成的，是透视仿射对应链。三三.透视仿射对应、仿射对应与仿射变换透视仿射对应、仿射对应与仿射变换性质：1.保持同素性.（几何元素保留同一种类而不改变）即点对应点，直线对应为直线.2.保持点与直线的结合性2仿射对应：3.保持单比不变（ABC)=(ABC)4.保持平行 ab 则ab3.平面上的仿射变换 与 重合的仿射对应称为仿射变换。但

10、不保距离，不保角度！但不保距离，不保角度！18例例1 下列图形在仿射变换下的对应图形是什么？平行四边形；梯形；等腰三角形；菱形；三角形的内心；三角形的垂心；角平分线；（二全等的矩形）例例2 仿射变换下，正方形有哪些性质不变？其仿射象是什么图形？例例3 “三角形重心”与“二互相垂直直线”的仿射象各是什么？（仿射像是另一三角形重心和两相交直线）。19 3.13.1仿射坐标系仿射坐标系设有一正交笛卡儿坐标系xoy，以E为单位点（如图）。一个仿射变换T将平面上一点P变换为一点 ，仿射变换T由三对对应点唯一确定.设 的坐标为X轴上的单位点 的映象 的坐标为 y轴上的单位点 的映象 的坐标为 设 为P在坐

11、标轴上 的正射影，且 ，则T将平行四边形 及 分别变换为平行四边形 及 .由于T保留单比.则3仿射坐标一、建立一、建立仿射坐标系仿射坐标系20 xyOP(x,y)21平面上一定点 O 及二不共线向量 e1、e2 构成一个仿射标架仿射标架，记为 O；e1，e2任意点 M 的向径的分解式为：OxyMEyExe2e1a则有序数对(x,y)称为点M关于标架 的仿射坐标仿射坐标OM xe1 ye2 (1)x,y也称为向量 OM 的坐标坐标(或分量分量)22显然，原点 O 的坐标是(0,0)；x 轴上的单位点为Ex(1,0)；y 轴上的单位点为Ey(0,1)称标架 O；e1，e2为仿射坐标系仿射坐标系，O

12、 称为坐标原点坐标原点，e1 和 e2 称为基本向量基本向量二、定理二、定理二、定理二、定理3.13.1 设在给定仿射坐标系下，A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，则 证明证明：（：（ABC）=(AxBxCx)AxBxCxxyABCOExEy23三、定理三、定理三、定理三、定理3.23.2 设在给定仿射坐标系下，过P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线方程为 证明：证明：P1P2P即即即即24推论：P1,P2,P3共线的充要条件是直线的一般方程仍为：直线的一般方程仍为：25一、定理一、定理一、定理一、定理3.33.3 平面上的仿射变换式为：3.2 仿射变换的代数表示仿射

13、变换的代数表示证明：如图，设26故得仿射变换的表达式为：因为保单比，所以因为保单比，所以P在新坐标系下坐标为（在新坐标系下坐标为（x,y),即即27 其矩阵形式为：其矩阵形式为：x/a11 a12 x a13y/a21 a22 y a23，det(aij)0确定一个仿射变换的几何条件为：不共确定一个仿射变换的几何条件为：不共线的三对对应点。线的三对对应点。注：逆变换式为注：逆变换式为有有6个独立参数个独立参数28用代数法可证：（1）共线点对应共线点；（2）保单比。于是得仿射变换的几何定义：于是得仿射变换的几何定义：于是得仿射变换的几何定义：于是得仿射变换的几何定义：平面内点之间的一一满足：（1

14、）共线点对应共线点；（2）保单比。则称为平面内的仿射变换仿射变换的代数定义仿射变换的代数定义仿射变换的代数定义仿射变换的代数定义3.23.2：平面内点之间的一个线性变换：称为仿射变换29例1求使点（0，0），（1，1），（1，-1）分别变为点（2，3）,（2，5），（3，-7）的仿射变换。将点解解:分别代入仿射变换的代数表示式得:30仿射变换式为:例2 求仿射变换 的不变直线。解解:设所求的不变直线为:ax+by+c=0与直线ax+by+c=0是同一条直线，所以对应系数成比例。31因为与因为与矛盾矛盾不变直线为不变直线为当当时，方程组有非零解时，方程组有非零解32求使直线x=0,y=0,x+2

15、y-1=0分别变为直线x+y=0,x-y=0,x+2y-1=0的仿射变换.练习练习:解:设所求的仿射变换为则有:33由以上(1),(2),(3)联立解得343.3几种特殊的仿射变换:一、正交变换一、正交变换即即即即A为正交阵为正交阵即即也可写为也可写为第一种正交变换第一种正交变换第二种正交变换第二种正交变换35 二、位似变换Oxye1e2k k为位似比为位似比几何定义：变换几何定义：变换f满足满足（1）任意对应点连线）任意对应点连线PP过定点过定点S（2）（）（PPS)=k36三、相似变换1.几何定义：f满足（相似比）（相似比）2.变换式异向相似变换异向相似变换同向相似变换同向相似变换也可也可

16、写为写为有有4个独立参数个独立参数a,b,c1,c237四、压缩变换例例将圆压缩为椭圆，所以将圆压缩为椭圆，所以圆的仿射图形为椭圆。圆的仿射图形为椭圆。382仿射性质定义4.1 仿射不变性与不变量仿射不变性与不变量：图形经过任何仿射变换后都不变的性质（数量）称为图形的仿射性质（仿射不变量）。定理4.1：两直线间的平行性是仿射不变性。推论1两相交直线经仿射变换后仍变成两相交直线。.（反证法）假设假设由结合性由结合性与与矛盾矛盾推论2共点直线经仿射变换后仍变成共点直线。39定理4.2：两平行线段之比是仿射不变量.要证:ABCDE如图,作DE AC,=单比是仿射不变量 推论一直线上两线段之比是仿射不

17、变量.40任意两个三角形面积之比是仿射不变量.证明：在笛卡尔坐标系下，已知不共线的三点证明：在笛卡尔坐标系下，已知不共线的三点经过仿射变换后，对应点经过仿射变换后，对应点注：（注：（x,y)是第一个笛卡尔坐标系下的坐标，是第一个笛卡尔坐标系下的坐标，所以三角形的面积公式可以用所以三角形的面积公式可以用定理4.3为常数为常数41推论1 在仿射变换下，任何一对对应多边形面积之比是仿射不变量。推论2在仿射变换下，任何两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量。仿射不变性平行性单比平行线段的比,两三角形面积之比(是仿射不变量)线段的中点,三角形的重心,梯形,平行四边形（是仿射不变图形）42例例.求椭圆

18、面积。求椭圆面积。解：解：OABB43例.用仿射变换证明任意三角形三条中线所分成的六个三角形的面积相等。证明：任意一个三角形总存在一个仿射变换，将其变为等边三角形，等边三角形中三条中线所分成的六个三角形的面积显然相等，再由两个三角形面积之比是仿射不变量，得此命题对于任意三角形也成立。44例.在等腰梯形中，上下底的中点、两腰所在直线的交点、对角线交点这四点显然共线。试进行一仿射变换，能得出什么命题？命题：梯形中，上下底的中点、两腰所在直线的交点、对角线交点这四点共线。45例子：求仿射变换对应图形1.二全等三角形的对应图形是二等面积三角形。2.圆的对应图形是椭圆。3.两个全等矩形对应图形是等积平行四边形。4.三角形的重心变为三角形的重心。5.相似三角形变为面积比相同但是不必相似的三角形。6.三角形的内心变为三角形内普通一点。46