高等数学第八章多元微分第一节多元函数的基本概念.ppt

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1、第八章 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 多元函数的微分法则多元函数的微分法则多元函数微分学的应用多元函数微分学的应用多元函数微分法 及其应用 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 v n维空间维空间 平面点集平面点集 v 多元函数的极限多元函数的极限第八章第八章 多元函数微分法多元函数微分法 v 多元函数的连续性多元函数的连续性第一节上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 多元函数的基本概念多元函数的基本概念v 多元函数的概念多元函数的概念1.1.n 维空间维空间n 元有序数组元有序数组的集合称为的集合称为 n 维空间维空间,n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中的称为

2、空间中的称为该点的第称为该点的第 k 个个坐标坐标.记作记作即即一个一个点点,当所有坐标当所有坐标称该元素为称该元素为 的的零元零元,记作记作 O.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、预备知识一、预备知识的的距离距离规定为规定为 与零元与零元 O 的距离为的距离为上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 特别地特别地,时，时，时，时，时，时，与点与点直线直线平面平面现实空间现实空间x 的模的模2.邻域邻域点集点集称为点称为点 P0 的的 邻域邻域.例如例如,在平面上在平面上,(圆邻域圆邻域)在空间在空间,(球邻域球邻域)注注 若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径,也可写成也可写成点点

3、P0 的的去心邻域去心邻域,记为记为上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.3.区域区域(1)(1)内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集E E 及一点及一点P P,若存在点若存在点P P 的某邻域的某邻域 U(P)E,若存在点若存在点P P 的某邻域的某邻域 U(P)E=,若点若点P P 的任一邻域的任一邻域 U(P)中中,既有既有E E 内的点又有内的点又有则称则称P P 为为E E 的的内点内点；则称则称P P 为为E E 的的外点外点;则称则称P P 为为E E 的的边界点边界点.不在不在E 中中的点的点,上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 D(2)(2)开区域和

4、闭区域开区域和闭区域 若点集若点集 E 的点都是的点都是内点内点，则称，则称 E 为为开集开集；若点集若点集 E E,则称则称 E 为为闭集闭集；若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折线的折线 开区域连同它的边界开区域连同它的边界一起称为一起称为闭区域闭区域.则称则称 D 是是连通集连通集;连通的开集连通的开集称为称为开区域开区域,简称简称区域区域;。E 的的边界点的全体边界点的全体称为称为 E 的的边界边界,记作记作 E;上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 相连相连,例如，例如，在平面上在平面上开区域开区域闭区域闭区域上页上页 下页下页 返回返回 结

5、束结束 整个平面整个平面 点集点集 是开集，是开集，是最大的开区域是最大的开区域,也是最大的闭区域；也是最大的闭区域；但非区域但非区域.o 对区域对区域 D,若存在正数若存在正数 K,使一切点使一切点 PD 与与某定点某定点 A 的距离的距离 AP K,则称则称 D 为为有界区域有界区域,界区域界区域.否则称为否则称为无无上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设 D 是是点集点集 D 称为函数的称为函数的定义域定义域;数集数集称为函数的称为函数的值域值域.的一个非空子集，的一个非空子集，则称则称 f 为定义为定义在在 D 上的上的 二元函数二元函数,上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

6、二、二元函数的概念二、二元函数的概念 法则法则 f，,总有唯一确定的总有唯一确定的z 值与值与之对应，之对应，记作记作若存在对应若存在对应对任意的对任意的定义定义x,y称为称为自变量自变量,z 称为称为因变量因变量;例如例如,二元函数二元函数定义域为定义域为圆域圆域 2.二元函数二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面 .上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注注 1.类似可定义三元函数以及三元以上的函数类似可定义三元函数以及三元以上的函数.二元及二元以上的函数统称为二元及二元以上的函数统称为多元函

7、数多元函数.三、二元函数的极限三、二元函数的极限定义定义 则称则称 A 为函数为函数是区域是区域 D 的内点或边界点，的内点或边界点，时，时，记作记作按任意方式趋于按任意方式趋于上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若若 D 中的点中的点总趋向于某个确定的数值总趋向于某个确定的数值A，时的时的极限极限，当当或或或或设设定义定义(略略)上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注注 1.1.上述二元函数的极限又称为上述二元函数的极限又称为二重极限二重极限.表示点表示点P 以任何方式以任何方式趋向于趋向于时函数的极限值都等于时函数的极限值都等于A.选择一条路径，使得极限不存在；选择一条路径，使得极

8、限不存在；故验证二重极限故验证二重极限不存在，方法有二：不存在，方法有二：选择不同路径，使得极限不相等选择不同路径，使得极限不相等.2.解解 沿曲线沿曲线不存在不存在.取极限取极限故原极限不存在故原极限不存在.例例1.验证极限验证极限小技巧：小技巧：选路径使分母的次数比分子最低次数高选路径使分母的次数比分子最低次数高.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解 设设 P(x,y)沿直线沿直线 y=k x 趋于点趋于点(0,0),在点在点(0,0)的极限的极限.则有则有k 值不同极限值不同值不同极限值不同!在在(0,0)点极限不存在点极限不存在.例例2.讨论函数讨论函数上页上页 下页下页 返回

9、返回 结束结束 二元函数有与一元函数类似的极限运算法则二元函数有与一元函数类似的极限运算法则.例例3.求下列极限：求下列极限：解解原式原式上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注注 二元函数求极限不能用洛比达法则二元函数求极限不能用洛比达法则.四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性 定义定义.设二元函数设二元函数定义域为定义域为 D,如果函数在如果函数在D 上各点处都连续上各点处都连续,则称此函数则称此函数在在D 上上 连续连续.如果如果否则称为不连续否则称为不连续,此时此时称为函数的称为函数的间断点间断点.则称函数则称函数连续连续,上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在点在点例如例如

10、,函数函数在点在点(0,0)极限不存在极限不存在,又如又如,函数函数上间断上间断.故故(0,0)为其间断点为其间断点.在圆周在圆周上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 见例见例2注注 二元函数的间断点可能为孤立点或一条曲线二元函数的间断点可能为孤立点或一条曲线.区域上连续函数的图形是一张没有点洞，也没有区域上连续函数的图形是一张没有点洞，也没有裂缝的裂缝的连续曲面连续曲面.定理定理 一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.解解 原式原式例例4.求极限求极限注注 多元函数求极限的常用方法：多元函数求极限的常用方法：四则运算法则四则运算法则;上页上页 下页下页 返回返回

11、 结束结束 连续性连续性有理化有理化有理化有理化;多元化一元多元化一元;连续性连续性.性质性质1 1（有界性与最大最小值定理有界性与最大最小值定理）闭区域闭区域上多元连续函数的性质上多元连续函数的性质:上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，必在上的多元连续函数，必在D上有界，上有界，且能取得它的最大值和最小值且能取得它的最大值和最小值.性质性质2 2（介值定理介值定理）在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值值和最小值之间的任何值.内容小结内容小结1.1.基本概念基本概念 邻域邻域

12、 :区域区域连通的开集连通的开集 2.2.二元函数的概念二元函数的概念图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 D为平面点集为平面点集有有3.3.多元函数的极限多元函数的极限4.4.多元函数的连续性多元函数的连续性1)1)函数函数2)2)闭域上的多元连续函数的性质闭域上的多元连续函数的性质:有界定理有界定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理3)3)一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作作 业业P50 1;4(1,2,4);5(1,2,5);6(1);7;8上页上页 下页下页 返回返回 结束结束