《信号与系统》第四章.ppt

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1、第四章第四章 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换 连续时间信号的谱分析和时频分析连续时间信号的谱分析和时频分析时域中，连续信号的基本信号是冲激函数冲激函数，离散信号的基本信号是抽样序列抽样序列；以冲激（抽样）响应作为基本响应。频域中以复指数函数或序列复指数函数或序列作为基本信号。系统响应表示为不同频率的复指数信号响应的加权或积分。原因：1）它是LTI系统的特征函数。2）复指数是正交函数。3）信号频率和信号本身是现实可观测。信号的谱分析信号的谱分析：把信号表示为一组不同频率的复指数函数或正弦信号的加权和，称为信号的频谱分析或傅里叶分析。4.1 4.1 引言引言本章主要内容本章主要内容图图 两个

2、矢量正交两个矢量正交4.2复指数函数的正交性复指数函数的正交性两矢量V1与V2正交时的夹角为90。不难得到两正交矢量的点积为零，即 矢量的分解矢量的分解图图 平面矢量的分解平面矢量的分解nn图三维空间矢量的分解推广到n维空间在区间 内，函数集 中的各个函数间，若满足下列正交条件：则称 为正交函数集正交函数集。式中 是复函数 的共扼函数。若K=1，则 为归一化正交函数集。1正交函数的定义正交函数的定义2正交函数集的完备性正交函数集的完备性v若在区间内，由N+1个正交函数构成的正交函数集是完备的,即再也找不到一个函数能满足则在区间内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和表示：1）只

3、与被分解信号x(t)及相应序号的基本信号有关，与其它序号的基本信号无关；2）称为x(t)与的相关系数；结论：结论：傅里叶级数的基础傅里叶级数的基础3 复指数函数是正交函数在区间内是正交函数复指数函数集在区间内是正交函数集。正弦函数和余弦函数在区间内是正交函数。考虑复指数函数 的正交性4.3周期信号的表示周期信号的表示 连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数1 1 用指数函数表示周期信号：复指数形式的傅里叶级数用指数函数表示周期信号：复指数形式的傅里叶级数是以为周期的周期信号。K0的项为常数项或称直流分量；K=+N和K=-N的分量称为N次谐波分量。将周期信号表示成式（*）的形式，即一组成谐波关系的

4、复指数函数的加权和，称为傅里叶级数表示或复指数形式的傅里叶级数。复指数函数集加权组合的信号(*)例例4 41 1 已知某一周期信号的傅里叶级数表示式为已知某一周期信号的傅里叶级数表示式为式中式中求求(a)(a)其三角函数表示式；其三角函数表示式；(b)(b)用图解方法表示各谐波分量的用图解方法表示各谐波分量的波形及其合成波形波形及其合成波形x(t).x(t).解：解：根据欧拉公式nejt=cos(t)+jsin(t)e-jt=cos(t)-jsin(t)nsin(t)=(ejt-e-jt)/(2j)cos(t)=(ejt+e-jt)/2X(t)X(t)是实信号是实信号因为因为 两边取共轭两边取

5、共轭 比较比较2 三角函数形式的傅里叶级数 重写重写 复数性质复数性质傅里叶级数的傅里叶级数的三角函数形式三角函数形式2 三角函数形式的傅里叶级数在连续时间情况下，实周期信号的傅里叶级数的三角函数形式：极坐标形式：正弦余弦形式形式：数学上等效3 傅里叶级数系数的确定周期信号的复指数形式的傅里叶级数：已知x(t)可以分析出所含的频谱；系数称为x(t)的傅里叶系数或频谱；系数是x(t)中的直流或常数分量正弦余弦形式傅里叶级数的系数极坐标形式的傅里叶级数的系数另一种求法：由正弦余弦形式傅里叶级数的系数确定3 傅里叶级数系数的确定掌握掌握 式式 444，445，446例 42 已知x(t)是一周期的矩

6、形脉冲，如图所示，求其傅里叶级数。解：解：1）2）3）复指数形式的傅立叶级数复指数形式的傅立叶级数正余弦形式的傅立叶级数正余弦形式的傅立叶级数例 44 已知 ,求其复指数形式的傅立叶级数 解解:对比对比例4-5已知 求其正弦-余弦形式的傅立叶级数 解解:4.44.4波形对称性与傅里叶系数波形对称性与傅里叶系数1偶对称偶对称v波形对纵轴对称v奇函数在对称区间积分为零v傅里叶级数中只有常数项和余弦项4.44.4波形对称性与傅里叶系数波形对称性与傅里叶系数2奇对称奇对称v波形对原点对称v为奇函数，为偶函数；奇函数在对称区间积分为零v傅里叶级数中只有正弦项v任何信号x(t)都可以分解为偶函数和奇函数两

7、部分。4.44.4波形对称性与傅里叶系数波形对称性与傅里叶系数3偶半波对称偶半波对称在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；这时x(t)是一个周期减半为的周期非正弦波，其基波频率为，即其只含有偶次谐波；4奇半波对称奇半波对称在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的负值；为镜像对称方式；这时x(t)只含有奇次谐波；4.44.4波形对称性与傅里叶系数波形对称性与傅里叶系数5双重对称双重对称X(t)是奇函数或偶函数，同时又具有奇半波对称或偶半波对称；这种波形对与纵轴相隔的垂线对称，又称为1/4波对称；通过例46说明双重对称有与傅里叶系数的关系。表41波形对称性、对称条件

8、及其对应的傅里叶系数；求复杂函数的傅里叶系数时，可以先求其偶部和奇部的傅里叶系数，然后相加。例474.44.4波形对称性与傅里叶系数波形对称性与傅里叶系数习题1如图所示信号为周期信号的一个周期，其付氏级数包含()A.直流、偶次余弦项B.直流、奇次余弦项C.直流、偶次正弦项D.直流、奇次正弦项习题2信号如图所示，其三角型付氏级数为（）A.n为奇数B.B.n为偶数C.n为奇数D.n为偶数4.54.5周期信号的频谱与功率谱周期信号的频谱与功率谱三角函数形式的傅里叶级数：将对的函数关系，绘成图，称为振幅频谱图，简称为频谱图；将对的函数关系，绘成图，称为相位频谱。图410(a)单边频谱单边频谱 将和对的

9、函数关系绘成图，称为复指数频谱图410(b)双边频谱双边频谱同频率的分量同频率的分量,幅值相等幅值相等,但但相位差相位差 双边频谱双边频谱单边频谱单边频谱 每一条谱线代表一个谐波分量每一条谱线代表一个谐波分量正负频率对应的两条谱线合并起来代正负频率对应的两条谱线合并起来代表一个谐波分量表一个谐波分量,谱线长度是单边的一谱线长度是单边的一半半以例42为例，讨论周期信号的复指数频谱抽样函数抽样函数主峰高度主峰宽度谱线间隔数Sinc(Z)为偶函数为偶函数,以周期以周期 起伏起伏,振幅再振幅再Z的正负两个方向的正负两个方向都衰减都衰减,并在并在 通过零点通过零点T0增大时增大时?结论结论：（1）周期信

10、号具有离散性、谐波性、收敛性（2）只考虑对波形影响较大的较低频率分量。把包含主要谐波分量的这段频率范围称为矩形脉冲信号的有效带宽度。（3）频谱的包络仅仅和脉冲的形状有关，而与脉冲的重复周期无关。4.54.5周期信号的频谱与功率谱周期信号的频谱与功率谱周期信号的功率频谱周期信号的功率频谱功率谱功率谱将x(t)看作电压或电流，考察其在电阻上所消耗的平均功率。将功率用傅里叶级数表示周期信号在时域中的平均功率等于频域中各次谐波平均功率之和，称为功率信号的帕色伐尔定理。将各次谐波的平均功率与的关系画出，即得功率频谱，且为单边频谱；将的关系画出，得双边功率频谱。例48习题3已知周期信号x(t)的付氏级数表

11、示式为其单边幅度谱、相位谱为()周期信号x(t)内双边频谱如图所示,其三角函数表示式为()A.B.C.D.习题习题4n1收敛的三个条件n2吉伯斯现象4.6 4.6 傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性 吉伯斯现象吉伯斯现象4.7非周期信号的表示非周期信号的表示 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换1非周期信号傅里叶变换的导出1）将x(t)以T0为周期无限重复，从而得到周期为T0的周期函数2）令3）4）x(t)的频谱密度函数傅里叶变换对傅里叶反变换傅里叶变换结论：x(t)的频谱是连续的，即存在于所有的频率 上。通过这两个变换，把信号的时域特性和频域特性联系起来。x(t)的频谱表示了是由怎样的不同

12、频率的正弦信号组成的。不同点不同点:例例4 4.8傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数与傅里叶变换的关系1傅里叶系数与傅里叶变换的关系v周期信号的傅里叶系数可以从某一周期内信号的傅里叶变换的样本中得到。1）x(t)绝对可积 2）在任何有限区间内，x(t)只有有限个极大值和极小值 3）在任何有限区间内，x(t)不连续点个数有限，而且在不连续点处，x(t)值是有限的。傅里叶变换的收敛2 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶级数可以得到它的傅里叶变换。该周期信号的傅里叶变换是由一串在频域上的冲激函数组成的。周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换出现在等间隔频率出现在等间隔频率 上的一串冲激函数上

13、的一串冲激函数4.9连续时间傅里叶变换的性质与应用1 1 线性线性2 2 共轭对称性共轭对称性若若x(t)是一个实时间函数是一个实时间函数3时移性延时的作用只改变频谱函数的相位特性而不改变其幅频特性延时的作用只改变频谱函数的相位特性而不改变其幅频特性4尺度变换性质尺度变换性质例例 4-20已知已知x(t)为矩形脉冲为矩形脉冲,求求x(t/2)的频谱函数。的频谱函数。5 5反转性质反转性质6 6 频移性频移性 信号反折后，振幅频谱不变，相位频谱改变信号反折后，振幅频谱不变，相位频谱改变1807对偶性质对偶性质8函数下的面积函数下的面积x(t)与t轴围成的面积为与轴围成的面积为例例 424 求求 解：解：4.9时域微分性质时域微分性质10频域微分性质频域微分性质11时域积分性质时域积分性质应用函数下的面积性质应用函数下的面积性质12频域积分性质频域积分性质表表42表表43表表444.10卷积定理复指数形式和三角形式傅立叶级数的表示复指数形式和三角形式傅立叶级数的表示:习题1信号的付氏变换()A.B.C.D.345