第5章 功率谱估计优秀PPT.ppt

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1、第5章 功率谱估计现在学习的是第1页，共45页v频域分析又称谱分析，对于确定性信号，可直接频域分析又称谱分析，对于确定性信号，可直接对信号进行傅立叶变换求得其幅度频谱。数字处对信号进行傅立叶变换求得其幅度频谱。数字处理中可用快速傅立叶变换（理中可用快速傅立叶变换（FFT）求得。但是对于）求得。但是对于一个无始无终的平稳随机信号，它的能量是无限一个无始无终的平稳随机信号，它的能量是无限的，其傅立叶变换是不存在的，因而不能求得这的，其傅立叶变换是不存在的，因而不能求得这种信号的频谱。所以，一个随机信号的频谱在数种信号的频谱。所以，一个随机信号的频谱在数学上是不存在的，但它的功率谱是存在的，因此学上

2、是不存在的，但它的功率谱是存在的，因此我们可以用功率谱来表征一个随机过程的谱特性。我们可以用功率谱来表征一个随机过程的谱特性。根据维纳根据维纳-辛钦定理，广义平稳随机过程的功率谱辛钦定理，广义平稳随机过程的功率谱是自相关函数的傅立叶变换，因此对于一个观察是自相关函数的傅立叶变换，因此对于一个观察到的随机信号，重要的是确定它的功率谱密度函到的随机信号，重要的是确定它的功率谱密度函数（数（PSD）和自相关函数。）和自相关函数。v在实际应用中，可以利用的观察数据往往是有限的，在实际应用中，可以利用的观察数据往往是有限的，所以要准确计算功率谱是不可能的，我们只能通过一所以要准确计算功率谱是不可能的，我

3、们只能通过一个好的估计来得到。至于怎样得到好的估计，这就是个好的估计来得到。至于怎样得到好的估计，这就是这一章里我们要研究的内容。这一章里我们要研究的内容。现在学习的是第2页，共45页v5.1 经典谱估计经典谱估计v 经典谱估计方法实质上就是传统的傅立叶分析法，包经典谱估计方法实质上就是传统的傅立叶分析法，包含有含有BT PSD估计法和周期图法。估计法和周期图法。v5.1.1 BT PSD估计法v对于均值为零的平稳随机信号对于均值为零的平稳随机信号 ，其功率谱密度函数与，其功率谱密度函数与自相关函数是一对傅立叶变换对，即自相关函数是一对傅立叶变换对，即v （5-1）vBT PSD估计法是估计法

4、是1958年由年由Blackman与与Tukey提出的，它首先是提出的，它首先是通过（通过（4-46）对自相关函数进行估计，然后对进行傅立叶变换得到）对自相关函数进行估计，然后对进行傅立叶变换得到功率谱估计值，即功率谱估计值，即v (5-2)v上式中为功率谱密度函数，简写成上式中为功率谱密度函数，简写成PSD。现在学习的是第3页，共45页v由于这种方法是将功率谱用有限个自相关函数值的傅立叶变换代替由于这种方法是将功率谱用有限个自相关函数值的傅立叶变换代替无限个自相关函数值的傅立叶变换求得的，这相当于将无限序列无限个自相关函数值的傅立叶变换求得的，这相当于将无限序列 乘上了一个矩形窗函数，这样必

5、将使谱分辨率大大降低。乘上了一个矩形窗函数，这样必将使谱分辨率大大降低。v5.1.2 周期图法周期图法v 对于平稳随机信号，根据各态历经假设，集合的平均可以用对于平稳随机信号，根据各态历经假设，集合的平均可以用时间的平均代替，于是有时间的平均代替，于是有v （5-3）v代入式（代入式（5-1）得）得v 现在学习的是第4页，共45页v令 上式可写成v （5-4）v实际上，式（5-4）在 时是不可能收敛的，这是因为对于无限时域的随机信号，它的傅里叶变换是不存在的。v对于随机信号的有限个样本序列 ，由式（5-4）可得到功率谱密度的一个估计为v （5-5）v这里，是 的离散傅立叶变换，即v （5-6）

6、v 现在学习的是第5页，共45页v显然，是显然，是 周期的，由式（周期的，由式（5-5）所得到的功率谱估）所得到的功率谱估计称为周期图，并用计称为周期图，并用 表示，即表示，即v （5-7）v周期图法都是用获得的周期图法都是用获得的 N个数据对随机信号进行谱估计可利用个数据对随机信号进行谱估计可利用FFT 进行计算，因而有计算效率高的优点，在谱分辨率要求不进行计算，因而有计算效率高的优点，在谱分辨率要求不高的地方可用这种方法进行谱估计，但它又一个突出的缺点就是高的地方可用这种方法进行谱估计，但它又一个突出的缺点就是谱分辨率低。因为周期图法隐含着对无限长数据在时域加了一个谱分辨率低。因为周期图法

7、隐含着对无限长数据在时域加了一个长度为长度为N的矩形窗。时域中与矩形窗函数的相乘对应于频域中与的矩形窗。时域中与矩形窗函数的相乘对应于频域中与矩形窗频谱相卷积，所以估计谱就相当于真实谱与矩形窗频谱相矩形窗频谱相卷积，所以估计谱就相当于真实谱与矩形窗频谱相卷积的结果。矩形窗频谱为卷积的结果。矩形窗频谱为v v （5-8）现在学习的是第6页，共45页v 图图5-1矩形窗频谱的幅度函数矩形窗频谱的幅度函数 v它的频谱图如图它的频谱图如图5-1所示。得到的功率谱估计是它与真实功率谱所示。得到的功率谱估计是它与真实功率谱的卷积，由于它与的卷积，由于它与 函数比较有二方面的差别，一是主瓣不是函数比较有二方

8、面的差别，一是主瓣不是无限窄、二是有旁瓣，因此卷积的结果必然造成失真。无限窄、二是有旁瓣，因此卷积的结果必然造成失真。v由于主瓣不是无限窄的，与主瓣卷积后使功率向附近频域扩散，由于主瓣不是无限窄的，与主瓣卷积后使功率向附近频域扩散，使信号模糊，降低了分辨率，主瓣愈宽分辨率愈差，如图使信号模糊，降低了分辨率，主瓣愈宽分辨率愈差，如图5-2所所示。图示。图5-2（a）是真实谱的两个峰；（）是真实谱的两个峰；（b）矩形窗谱与真实谱得）矩形窗谱与真实谱得卷积结果；（卷积结果；（c）是两个峰离得比较远的情况，此时原峰还能分）是两个峰离得比较远的情况，此时原峰还能分辨；（辨；（d）是两个峰离得比较近的情况

9、，此时无法分辨出两个峰）是两个峰离得比较近的情况，此时无法分辨出两个峰的位置。的位置。现在学习的是第7页，共45页v由于矩形窗谱存在旁瓣，也将产生两个结果，其一是由于矩形窗谱存在旁瓣，也将产生两个结果，其一是PSD主主瓣内的能量，一是功率谱主瓣内的能量瓣内的能量，一是功率谱主瓣内的能量“泄漏泄漏”到旁瓣使谱到旁瓣使谱估计的方差增大，二是与旁瓣卷积后得到的功率谱完全属于估计的方差增大，二是与旁瓣卷积后得到的功率谱完全属于干扰。严重情况下，强信号与旁瓣的卷积可能大于弱信号与干扰。严重情况下，强信号与旁瓣的卷积可能大于弱信号与主瓣的卷积，使弱信号淹没在强信号的干扰中而无法检测出主瓣的卷积，使弱信号淹

10、没在强信号的干扰中而无法检测出来。来。v 图5-2 谱分辨率示意图v(a)真实谱的两个峰；（b）矩形窗谱与真实谱的卷及结果；v（c）原峰离得较远的情况；（d）原峰离得较近的情况现在学习的是第8页，共45页v对于对于BT PSD谱估计法，由于它是按式（谱估计法，由于它是按式（5-2）将功率）将功率谱用有限个自相关函数的傅立叶变换得到的，这相当谱用有限个自相关函数的傅立叶变换得到的，这相当于将序列于将序列 乘上了一个矩形窗函数，因此也存在乘上了一个矩形窗函数，因此也存在周期图法同样的缺点。为了减少泄漏和提高谱估计的周期图法同样的缺点。为了减少泄漏和提高谱估计的分辨率，改善窗函数的形状是必要的，但是

11、发现，所分辨率，改善窗函数的形状是必要的，但是发现，所有能降低旁瓣的窗口函数都是以主瓣的增宽为代价的，有能降低旁瓣的窗口函数都是以主瓣的增宽为代价的，反之亦然。这两个缺点只能互换而不能同时改善。因反之亦然。这两个缺点只能互换而不能同时改善。因此用经典法无法克服分辨率低的缺点。此用经典法无法克服分辨率低的缺点。v可以证明，周期图法是不满足一直估计的条件。即当可以证明，周期图法是不满足一直估计的条件。即当 时，时，的方差趋于的方差趋于 。所以必须对周期图法。所以必须对周期图法做进一步的改进，使其满足一致估计的条件。改进周做进一步的改进，使其满足一致估计的条件。改进周期图的主要方法是平滑或平均。期图

12、的主要方法是平滑或平均。现在学习的是第9页，共45页v5.1.3 巴特利特（巴特利特（Bartlett）平均周期图的方法）平均周期图的方法v这种方法是将截取的数据段再分成这种方法是将截取的数据段再分成L个小段，分别计算周期图后取周期图的个小段，分别计算周期图后取周期图的平均。因为平均。因为L个平均的方差比随机变量单独的方差小个平均的方差比随机变量单独的方差小L倍。倍。v将序列将序列 分成分成L段，每段有段，每段有M个点，因而个点，因而 ，第，第 段可写成段可写成v （5-9）v第第 段的周期图为段的周期图为v 谱估计可定义为谱估计可定义为L段周期图的平均，即段周期图的平均，即v （5-10）v

13、可以证明，式（可以证明，式（5-10）进行功率谱估计满足一致估计的条件。）进行功率谱估计满足一致估计的条件。v实际上，对于一个固定的纪录长度实际上，对于一个固定的纪录长度N，周期图分段的数目，周期图分段的数目L愈大，则愈大，则M愈小，估计方愈小，估计方差减小，但分辨率降低。估计的方差和分辨率是一对矛盾，它们的效果可以互换。差减小，但分辨率降低。估计的方差和分辨率是一对矛盾，它们的效果可以互换。可以根据实际情况适当的选择可以根据实际情况适当的选择L和和M。如果对分辨率要求不高，可以取。如果对分辨率要求不高，可以取L大些。最好大些。最好将将N取大些，分辨率和估计误差都能适当满足要求。取大些，分辨率

14、和估计误差都能适当满足要求。现在学习的是第10页，共45页v5.1.4 窗口处理法平滑周期图窗口处理法平滑周期图v这种方法是用一适当的功率谱窗函数这种方法是用一适当的功率谱窗函数 与周期图进行卷与周期图进行卷积，来达到使周期图平滑的目的。将式（积，来达到使周期图平滑的目的。将式（5-2）重写）重写v v （5-11）v为了减少谱估计的方差，可用窗函数为了减少谱估计的方差，可用窗函数 对自相关函数进行对自相关函数进行加权，此时谱估计公式为加权，此时谱估计公式为 v （5-12）v所以，有所以，有v （5-13）v式中式中现在学习的是第11页，共45页v （5-14）v也就是说，也就是说，与与 分

15、别是分别是 和和 的傅氏反变换，的傅氏反变换，并设序列并设序列 长长 。我们知道，。我们知道，是的实、偶、非是的实、偶、非负函数，为了使负函数，为了使 是一个实、偶、非负函数，是一个实、偶、非负函数，v 应是一个偶序列，并且满足条件应是一个偶序列，并且满足条件v三角窗函数是满足这个条件的，但哈明窗、汉宁窗并不满足这个条三角窗函数是满足这个条件的，但哈明窗、汉宁窗并不满足这个条件。虽然这两个窗函数能够提供较好的频率分辨率以及较低的旁瓣，件。虽然这两个窗函数能够提供较好的频率分辨率以及较低的旁瓣，但会产生负的功率谱估计。但会产生负的功率谱估计。v利用窗函数法可平滑周期图，减少估计误差，但是估计偏差

16、加大了，利用窗函数法可平滑周期图，减少估计误差，但是估计偏差加大了，使分辨率降低。使分辨率降低。v现在比较常用的改进方法是现在比较常用的改进方法是Welch法，又叫加权交叠平均法，简记法，又叫加权交叠平均法，简记为为WOSA法。这种方法先将法。这种方法先将N长的数据段分成长的数据段分成L个小段，每小段个小段，每小段M点，点，相邻小段间交叠相邻小段间交叠 点，于是段数为点，于是段数为v （5-15）现在学习的是第12页，共45页v然后对各小段加同样的平滑窗然后对各小段加同样的平滑窗 后求傅立叶变换，得各后求傅立叶变换，得各小段周期图小段周期图v （5-16）v求各小段周期图的平均，得功率谱为求各

17、小段周期图的平均，得功率谱为v （5-17）v这里，这里，代表窗函数的平均功率，所以代表窗函数的平均功率，所以 v是是M长窗函数长窗函数 的能量。的能量。v这种的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负，由这种的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负，由于在分段时，可使各段之间有重叠，结果会使估计方差减于在分段时，可使各段之间有重叠，结果会使估计方差减小。总之，经典谱估计方法总是以减少分辨率为代价，换小。总之，经典谱估计方法总是以减少分辨率为代价，换取估计方差的减少，提高分辨率的问题无法从根本上解决。取估计方差的减少，提高分辨率的问题无法从根本上解决。v经典谱估计隐含着数据窗以外的序列值为零

18、的假设，显然这是不合经典谱估计隐含着数据窗以外的序列值为零的假设，显然这是不合理的。如何利用有限的数据记录，尽可能得到理的。如何利用有限的数据记录，尽可能得到PSD的良好估计是现的良好估计是现代谱估计重点研究的内容。代谱估计重点研究的内容。现在学习的是第13页，共45页v5.2 自回归模型法自回归模型法v 任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是一白噪任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是一白噪声声 激励一因果稳定的可逆线性网络激励一因果稳定的可逆线性网络 所形成。自回归所形成。自回归模型法谱估计就是由观察获得的随机序列模型法谱估计就是由观察获得的随机序列 估计估计 的参数，的参数，

19、然后根据然后根据4.3节中式（节中式（4-26）来估计功率谱，即实平稳随机信）来估计功率谱，即实平稳随机信号号 的功率谱可表示为的功率谱可表示为v （5-18）v v其中，其中，是白噪声的功率谱（为常数）。式（是白噪声的功率谱（为常数）。式（4-2）说明平稳随机）说明平稳随机信号信号 的功率谱的功率谱 可以用系统可以用系统 的参数来表示。因此，谱的参数来表示。因此，谱估计的问题就转化为模型参数的估计问题。只要估计出模型的参数，估计的问题就转化为模型参数的估计问题。只要估计出模型的参数，就可以得到随机信号的功率谱。就可以得到随机信号的功率谱。现在学习的是第14页，共45页v由白噪声由白噪声 产生

20、随机序列产生随机序列 的模型可以用一个线性差分的模型可以用一个线性差分方程来表示，即方程来表示，即v (5-19)v将上式进行将上式进行Z变换，得变换，得v v (5-20)v v其中其中v （5-21）v白噪声的功率谱为白噪声的功率谱为 ，输出，输出 的功率谱为的功率谱为v v （5-22）现在学习的是第15页，共45页v如果能确定如果能确定 与各与各 及及 就可求得就可求得 。v 设设 且且 ，则式（，则式（5-19）称为）称为v （5-23）v式（式（5-23）称为）称为p阶自回归模型，简称阶自回归模型，简称AR（Autoregressive）模型。）模型。AR模型的传递函数为模型的传递

21、函数为v （5-24）vAR模型的模型的 只有极点，没有除原点以外的零点，所以又称全极只有极点，没有除原点以外的零点，所以又称全极点模型。式（点模型。式（5-22）成为）成为v （5-25）v此时，只要我们能求得此时，只要我们能求得 和所有和所有 ，就可求得，就可求得 。现在学习的是第16页，共45页v下面我们就来推导这些下面我们就来推导这些AR模型参数与模型参数与 的自相关函数的自相关函数 v 之间的关系。按定义之间的关系。按定义v 将式（将式（5-23）代入上式，得）代入上式，得v （5-26）v由于由于 只与只与 相关而与相关而与 无关，故有无关，故有v 代入式（代入式（5-26），得）

22、，得v （5-27）现在学习的是第17页，共45页v即即v （5-28）v将将 分别代入上式并写成矩阵形式，得分别代入上式并写成矩阵形式，得v （5-29）v上式就是上式就是Yule-Walker方程。方程。v令令v （5-30）现在学习的是第18页，共45页v 称为自相关矩阵。它有三个性质：称为自相关矩阵。它有三个性质：它是一个它是一个Hermitian矩阵，即矩阵，即 ，为为 的转置矩阵；的转置矩阵；它是它是一个一个Toeplitz矩阵，即沿任一对角线上的元素相等；矩阵，即沿任一对角线上的元素相等；它它是一个正定矩阵，即它是特征值权大于零的实对称阵。是一个正定矩阵，即它是特征值权大于零的实

23、对称阵。v由由Yule-Walker方程式（方程式（5-28）解出）解出AR模型参数模型参数 v 以及以及 ，就可得到，就可得到AR模型的传递函数模型的传递函数为为v （5-31）v其功率谱密度为其功率谱密度为v （5-32）现在学习的是第19页，共45页v5.3 最大熵谱估计最大熵谱估计vBT PSD经典谱估计方法用已知的有限个（经典谱估计方法用已知的有限个（N个）自相关函数序个）自相关函数序列的估值求得功率谱密度，它将此有限个估值以外的自相关序列列的估值求得功率谱密度，它将此有限个估值以外的自相关序列的数据认为是零，因而不能得到好的分辨率。的数据认为是零，因而不能得到好的分辨率。Burg提

24、出的最大提出的最大熵谱估计（熵谱估计（Maximun Entropy Spectral Estimation）方法是将）方法是将有限长度的自相关序列有限长度的自相关序列 v 以外的数据用外推法求得，而不是将它们以外的数据用外推法求得，而不是将它们认为是零。假定已知自相关序列，通过合理的外推求得认为是零。假定已知自相关序列，通过合理的外推求得 ，并要保证外推后的自相关矩阵是非负定的。，并要保证外推后的自相关矩阵是非负定的。一般有无限多种可能的外推方法，都能得到比较合适的自一般有无限多种可能的外推方法，都能得到比较合适的自相关序列。相关序列。Berg证明了如果外推后的自相关序列所对应的证明了如果外

25、推后的自相关序列所对应的时间序列具有最大熵，那么这种外推方法才是最合理的。时间序列具有最大熵，那么这种外推方法才是最合理的。为了帮助理解这种方法的合理性，先简单介绍一下熵的概为了帮助理解这种方法的合理性，先简单介绍一下熵的概念。念。v在香农（在香农（Shannon）信息论中，离散型随机变量）信息论中，离散型随机变量X的熵定的熵定义为义为v （5-33）现在学习的是第20页，共45页v式中式中 表示表示 这一事件发生的概率，这一事件发生的概率，是信息量的定义，是信息量的定义，信息量是解除事件不确定性所需信息的度量。上式表明，熵是平均信息量是解除事件不确定性所需信息的度量。上式表明，熵是平均不确定

26、性的度量，它在数值上等于平均信息量。对于必然事件，由不确定性的度量，它在数值上等于平均信息量。对于必然事件，由于其发生的概率为于其发生的概率为1，故其信息量等于零，对应的熵等于零。越是，故其信息量等于零，对应的熵等于零。越是小概率事件，其信息量越大，对应的熵值越大。小概率事件，其信息量越大，对应的熵值越大。v 根据上面的概念不难想象，如果外推后的自相关序列所根据上面的概念不难想象，如果外推后的自相关序列所对应的时间序列具有最大熵，则意味着在具有已知的对应的时间序列具有最大熵，则意味着在具有已知的 v 个自相关值的所有时间序列中，该时间序列的不确定个自相关值的所有时间序列中，该时间序列的不确定性

27、最大，将是最随机或最不可预测的。统计学认为，最大性最大，将是最随机或最不可预测的。统计学认为，最大商是最合理、最自然、最无主观性的假定。这正是选择最商是最合理、最自然、最无主观性的假定。这正是选择最大熵准则外推自相关序列的合理性所在。大熵准则外推自相关序列的合理性所在。v可以求得可以求得N维高斯分布信号的熵为维高斯分布信号的熵为v （5-34）v式中式中 代表矩阵代表矩阵R的行列式，要使的行列式，要使H最大，就要求最大，就要求 最大最大.现在学习的是第21页，共45页v如果已知如果已知 现欲求得现欲求得 。由于自相关矩阵必。由于自相关矩阵必是正定的，故矩阵是正定的，故矩阵 的行列式大于零，即的

28、行列式大于零，即v （5-35）v为了求得最大熵，要求为了求得最大熵，要求 最大，为此用最大，为此用 对上式微分，对上式微分，使微分结果为零，即使微分结果为零，即v求得使求得使 最大的最大的 ，满足下列方程，满足下列方程v （5-36）现在学习的是第22页，共45页v由此式可解出由此式可解出 。于是，用类似的方法可求得。于是，用类似的方法可求得 ，以此，以此类推。每步都按最大熵的原则外推一个自相关序列值，可以类推。每步都按最大熵的原则外推一个自相关序列值，可以外推任意多个而不必认为它们是零。这就是最大熵谱估计的外推任意多个而不必认为它们是零。这就是最大熵谱估计的基本思想。基本思想。v可以证明这

29、种最大熵外推自相关函数的结果与可以证明这种最大熵外推自相关函数的结果与AR模型是等价模型是等价的，使熵最大的功率谱为的，使熵最大的功率谱为v （5-37）v其中其中 与与 由下列矩阵方程确定由下列矩阵方程确定v （5-38）v上式与式（上式与式（5-28）表示的）表示的Yule-Walker方程是一致的，因此方程是一致的，因此这就直接说明了最大熵谱估计与这就直接说明了最大熵谱估计与AR模型是等价的。模型是等价的。现在学习的是第23页，共45页v5.4 AR模型参数的求解模型参数的求解v由以上的讨论可以看出，最大熵谱估计与由以上的讨论可以看出，最大熵谱估计与AR模型谱估计是模型谱估计是等价的，他

30、们都可归结为求解等价的，他们都可归结为求解Yule-Walker方程中的各方程中的各AR系数系数 的问题，但是直接从的问题，但是直接从Yule-Walker方程方程求解参数求解参数 需要作求逆矩阵的计算，当阶需要作求逆矩阵的计算，当阶P数较数较大时，运算量很大，并且每当模型阶数增加一阶，矩阵增大时，运算量很大，并且每当模型阶数增加一阶，矩阵增大一维，需要全部重新计算，所以必须要有对大一维，需要全部重新计算，所以必须要有对Yule-Walker方程提供一个高效率的算法。方程提供一个高效率的算法。v5.4.1 Levinson-Durbin递推算法递推算法vLevinson-Durbin递推算法又

31、称自相关法，它是解递推算法又称自相关法，它是解Yule-Walker方程的一种快速高效的算法。此算法是按下列递推法方程的一种快速高效的算法。此算法是按下列递推法进行的：依次求得进行的：依次求得v附加的附加的 的第一个下标是指的第一个下标是指AR模型的阶数，最后模型的阶数，最后P阶的解阶的解即是所要求的解。即是所要求的解。现在学习的是第24页，共45页v递推算法以一阶递推算法以一阶AR模型（求一阶参数模型（求一阶参数 及及 ）开始。按）开始。按式（式（5-38）一阶）一阶AR模型的模型的Yule-Walker矩阵方程应为矩阵方程应为v从这个矩阵方程解出从这个矩阵方程解出 及及 ，分别为，分别为

32、（5-39）v （5-40）v再从二阶再从二阶AR模型的矩阵方程：模型的矩阵方程：v 现在学习的是第25页，共45页v解得解得 分别为分别为v （5-41）v （5-42）v （5-43）v以此类推的递推公式以此类推的递推公式v （5-44）v （5-45）v （5-46）v当我们从式（当我们从式（5-39）和（）和（5-40）得到初始的及的数据以）得到初始的及的数据以 v 及及 各各 ，就可按式（，就可按式（5-44），（），（5-45），（），（5-46）以此递）以此递推出各阶的推出各阶的 。从式（。从式（5-46）可知）可知 ，一般来讲阶数预先是不知道的，当我们递推到第，一般来讲阶数预先

33、是不知道的，当我们递推到第k阶，阶，满足所满足所允许的值，就可选阶数允许的值，就可选阶数 。现在学习的是第26页，共45页v5.4.2 Burg递推算法递推算法v用用Levinson-Durbin递推算法求解递推算法求解Yule-Walker矩阵方程中的矩阵方程中的AR模型系数虽然可以简化计算，但需要知道自相关序列。实际上自模型系数虽然可以简化计算，但需要知道自相关序列。实际上自相关序列相关序列 只能从时间序列只能从时间序列 的有限个数据得到它的估计的有限个数据得到它的估计值值 。当时间序列短时，。当时间序列短时，估计误差很大，这将对估计误差很大，这将对AR模型系模型系数数 的计算引入很大的误

34、差，导致功率谱估计出现谱线分裂与的计算引入很大的误差，导致功率谱估计出现谱线分裂与谱峰频率偏移等现象。谱峰频率偏移等现象。Burg于于1967年提出最大熵谱估计，后来年提出最大熵谱估计，后来又在另一篇文章里提出直接由时间序列估计又在另一篇文章里提出直接由时间序列估计AR模型系数的方法，模型系数的方法，被人们称为被人们称为Burg递推算法，这种方法与预测误差格型滤波器有递推算法，这种方法与预测误差格型滤波器有密切关系。它是在密切关系。它是在Levinson关系式（关系式（5-45）的约束下，用使前）的约束下，用使前向与后向预测误差能量之和为最小的方法来求得各向与后向预测误差能量之和为最小的方法来

35、求得各 的值。的值。现在学习的是第27页，共45页v按线性预测理论，按线性预测理论，的估计值的估计值 可用可用 的各过去值的的各过去值的加权之和表示，即加权之和表示，即v （5-47）v用用 表示估计误差表示估计误差v （5-48）v 称为线性预测器的前向误差，因为称为线性预测器的前向误差，因为 是由是由 以前的以前的各数据各数据 加权之和得到的。再由式加权之和得到的。再由式（5-45）计算）计算 ，即，即v （5-49）v又令又令 ，这里的，这里的 称为部分相关系数称为部分相关系数(PARCOR）或反）或反射系数。射系数。现在学习的是第28页，共45页v将这些关系式代入式（将这些关系式代入式

36、（5-48），得），得v （5-50）v这里这里v所以所以v （5-51）现在学习的是第29页，共45页v这里这里v （5-52）v 是由是由 以后的各数据以后的各数据v加权之和得到的，故加权之和得到的，故 为后向预测误差。为后向预测误差。v将式（将式（5-49）代入式（）代入式（5-50），可得），可得v （5-53）v （5-54）v当当 时有时有 v （5-55）v式式(5-53)与式（与式（5-54）为前向及后向预测误差的递推公式。）为前向及后向预测误差的递推公式。现在学习的是第30页，共45页vBurg递推算法的优点是不需要估计自相关函数，可以从已知的递推算法的优点是不需要估计自相关

37、函数，可以从已知的 序列求得参数序列求得参数 。如果。如果 按前向均方误差最小的准则确定并用按前向均方误差最小的准则确定并用 表示，则按式（表示，则按式（5-54）可得）可得v v 令令v v即即v v所以所以v （5-56）v 现在学习的是第31页，共45页v如果如果 按后向均方误差最小的准则确定并用按后向均方误差最小的准则确定并用 表示，同理可得表示，同理可得v （5-57）vBurg算法是以前向均方误差与后向均方误差之和最小的准算法是以前向均方误差与后向均方误差之和最小的准则求得则求得 。令。令v v可得可得v （5-58）v对于平稳随机过程，集合平均可用时间平均代替，因此上式可写成对于

38、平稳随机过程，集合平均可用时间平均代替，因此上式可写成v （5-59）现在学习的是第32页，共45页v不难看出不难看出v （5-60）v如果已知如果已知 为有限长序列为有限长序列 ，当，当 时，时，则按式（则按式（5-59）可得）可得v （5-61）v而按式（而按式（5-50）及（）及（5-53）可得）可得v （5-62）v （5-63）现在学习的是第33页，共45页v将将 及及 代入式（代入式（5-58）可得）可得 v再代入式（再代入式（5-50）及（）及（5-53）又可得）又可得 及及 v v 现在学习的是第34页，共45页v再将再将 及及 代入式（代入式（5-58）又可得）又可得 ，将，

39、将 与与 及及 代入式（代入式（5-50）及（）及（5-53）又可求得）又可求得 及及 以此类推，以此类推，可直接从时间序列可直接从时间序列 求得各阶的求得各阶的 以及前向与后向误差以及前向与后向误差 及及 。将各。将各 代入式（代入式（5-49）又可求得各）又可求得各 。于。于是将这些求得的是将这些求得的AR系数代入式（系数代入式（5-52）（其中）（其中 ，也可用式（，也可用式（5-46）求出）即可求得功率谱密度的估计值。）求出）即可求得功率谱密度的估计值。vBurg递推算法的优点是求得的递推算法的优点是求得的AR模型保证稳定，不需要模型保证稳定，不需要估算自相关函数，尤其实在短时间序列时

40、能得到较好的估估算自相关函数，尤其实在短时间序列时能得到较好的估计，具有较高的谱分辨率。计，具有较高的谱分辨率。现在学习的是第35页，共45页v图图5-3所示的是所示的是AR模型法谱估计的模型法谱估计的Levinson-Durbin递推递推算法和算法和Burg递推算法对白噪声中的两个正弦信号进行谱递推算法对白噪声中的两个正弦信号进行谱估计的结果。两个正弦信号对采样频率的归一化频率分估计的结果。两个正弦信号对采样频率的归一化频率分别为别为 和和 。数据窗采用矩形窗，长度取。数据窗采用矩形窗，长度取 。v v 图图5-3 参数模型法谱估计（参数模型法谱估计（N=512）v（a）两个正弦信号与白噪声

41、叠加的时域波形；）两个正弦信号与白噪声叠加的时域波形；v（b）Levinson-Durbin算法；（算法；（c）Burg算法算法v。现在学习的是第36页，共45页v由于由于Burg递推算法仍然受到递推算法仍然受到Levinson-Durbin递推算递推算法的约束，也就是说法的约束，也就是说AR模型系数除模型系数除v 外，其它系数均由外，其它系数均由Levinson关系式关系式v v递推求得。而递推求得。而Levinson关系式在方程组得系数矩阵关系式在方程组得系数矩阵（自相关矩阵）为（自相关矩阵）为Toeplize阵的条件下推出的，实阵的条件下推出的，实际上只有无始无终得平稳随机序列所对应的自

42、相关际上只有无始无终得平稳随机序列所对应的自相关矩阵才具有这种性质。因此，矩阵才具有这种性质。因此，Burg递推算法不能完递推算法不能完全克服全克服Levinson-Durbin递推算法的缺点，仍然存递推算法的缺点，仍然存在某些谱线分裂与谱峰偏移的现象。在某些谱线分裂与谱峰偏移的现象。现在学习的是第37页，共45页v为了克服为了克服Burg递推算法的上述缺点递推算法的上述缺点Clayton，Ulrych和和Nuttall与与1976年分年分别提出了按最小二乘方准则的正反向预别提出了按最小二乘方准则的正反向预测算法。这种方法对所有测算法。这种方法对所有 都按都按v最小求得，从而消除了消除了最小求

43、得，从而消除了消除了Burg递推递推算法中受到算法中受到Levinson关系式的约束。用关系式的约束。用这种方法得到的谱估计在谱线分裂与频这种方法得到的谱估计在谱线分裂与频率偏移都有较大的改善。率偏移都有较大的改善。v近年来还出现很多其它提高分辨率的方近年来还出现很多其它提高分辨率的方法，限于篇幅，这里不再一一讨论，有法，限于篇幅，这里不再一一讨论，有兴趣的读者请查看有关参考文献。兴趣的读者请查看有关参考文献。现在学习的是第38页，共45页v为了克服为了克服Burg递推算法的上述缺点递推算法的上述缺点Clayton，Ulrych和和Nuttall与与1976年分年分别提出了按最小二乘方准则的正

44、反向预别提出了按最小二乘方准则的正反向预测算法。这种方法对所有测算法。这种方法对所有 都按都按v最小求得，从而消除了消除了最小求得，从而消除了消除了Burg递推递推算法中受到算法中受到Levinson关系式的约束。用关系式的约束。用这种方法得到的谱估计在谱线分裂与频这种方法得到的谱估计在谱线分裂与频率偏移都有较大的改善。率偏移都有较大的改善。v近年来还出现很多其它提高分辨率的方近年来还出现很多其它提高分辨率的方法，限于篇幅，这里不再一一讨论，有法，限于篇幅，这里不再一一讨论，有兴趣的读者请查看有关参考文献。兴趣的读者请查看有关参考文献。现在学习的是第39页，共45页现在学习的是第40页，共45

45、页现在学习的是第41页，共45页第章维纳滤波器和卡尔曼滤波器第章维纳滤波器和卡尔曼滤波器v6.1 离散维纳滤波器的时域解离散维纳滤波器的时域解v6.2 离散维纳滤波器的域解离散维纳滤波器的域解v6.3 维纳预测器维纳预测器v6.4 卡尔曼（卡尔曼（Kalman）滤波器）滤波器现在学习的是第42页，共45页第章自适应滤波器第章自适应滤波器v7.1 LMS自适应滤波器的基本原理自适应滤波器的基本原理v7.2 Widrow-Hoff LMS算法算法v7.3 自适应滤波器的应用自适应滤波器的应用现在学习的是第43页，共45页第章小波变换第章小波变换v8.1 连续小波变换的基本概念和性质连续小波变换的基本概念和性质v8.2 常用的小波变换常用的小波变换v8.3 尺度因子离散化的小波变换及小波标架尺度因子离散化的小波变换及小波标架v8.4 离散小波变换的多分辨分析离散小波变换的多分辨分析v8.5 Mallat算法及实现算法及实现v8.6 小波变换总结小波变换总结现在学习的是第44页，共45页第章信号测试技术第章信号测试技术v9.1 测试技术概论测试技术概论v9.2 测量方法测量方法v9.3 信号的分类和可测性信号的分类和可测性v9.4 测试信号的转换与调理测试信号的转换与调理v9.5 现代测试系统现代测试系统现在学习的是第45页，共45页