《同角三角函数的基本关系式》课件.ppt

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1、广东省佛山市高明区技工学校广东省佛山市高明区技工学校 钟美珍钟美珍说课内容纲要说课内容纲要1、教材分析、教材分析2、学生分析、学生分析3、教学目标、教学目标4、教学重点和教学难点、教学重点和教学难点5、教学方法、教学方法6、学法、学法7、教学设计、教学设计8、课堂小结、课堂小结9、板书设计、板书设计一、教材分析一、教材分析 本节课内容是在学生学习任意角的三角函数的基础上，本节课内容是在学生学习任意角的三角函数的基础上，进一步了解同角而不同名的三角函数上提出来的，为下面进一步了解同角而不同名的三角函数上提出来的，为下面有关三角函数内容打下基础，因此这一节内容起到一个承有关三角函数内容打下基础，因

2、此这一节内容起到一个承上启下的作用。学习这一节内容，不仅可以帮助我们根据上启下的作用。学习这一节内容，不仅可以帮助我们根据一个角的某一个三角函数值，直接求出这个角的其它三角一个角的某一个三角函数值，直接求出这个角的其它三角函数值，而不必求这个角；同时还可以用来化简三角函数函数值，而不必求这个角；同时还可以用来化简三角函数式及证明其他一些三角恒等式等等。提高了学生利用知识式及证明其他一些三角恒等式等等。提高了学生利用知识解决实际问题的能力。解决实际问题的能力。本人担任的技校一年级的数学课，技校学生对数学还是有本人担任的技校一年级的数学课，技校学生对数学还是有一定的兴趣，在学习中，能够认真、积极配

3、合老师，但学习比一定的兴趣，在学习中，能够认真、积极配合老师，但学习比较被动，自主学习能力不强，有大部分同学对学习数学没有真较被动，自主学习能力不强，有大部分同学对学习数学没有真正掌握正确的学习方法，并且比较依赖于老师。于是，我设计正掌握正确的学习方法，并且比较依赖于老师。于是，我设计的教学过程要显浅而懂，同时要直观生动，并帮助学生充分利的教学过程要显浅而懂，同时要直观生动，并帮助学生充分利用六边形来记忆和灵活运用同角三角函数的基本关系式，其中用六边形来记忆和灵活运用同角三角函数的基本关系式，其中有些内容学生通过自己的思维都能做得出来的，老师尽量少讲，有些内容学生通过自己的思维都能做得出来的，

4、老师尽量少讲，交给学生自己去发现，从而获得知识，充分发挥学生的主体地交给学生自己去发现，从而获得知识，充分发挥学生的主体地位。位。二、学生分析二、学生分析 三、教学目标三、教学目标知识与技能目标知识与技能目标 让学生掌握公式的推导过程，熟记基本关系式的内容，明确基让学生掌握公式的推导过程，熟记基本关系式的内容，明确基本关系式在三个方面的应用：（本关系式在三个方面的应用：（1）知道一个角的一个三角函数值）知道一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值，（能求这个角的其他三角函数值，（2）化简三角函数式（）化简三角函数式（3）证明三）证明三角恒等式。角恒等式。过程与方法目标过程与方法目标 培

5、培养养学学生生由由特特殊殊结结论论-猜猜想想一一般般规规律律-进进行行严严格格证证明明的的科科学学思思维维方方式式；通通过过用用单单位位圆圆推推导导公公式式培培养养学学生生用用数数形形结结合合思思想想处处理理数数学学问问题题的的能能力力；通通过过求求值值、化化简简、证证明明培培养养学学生生逻逻辑辑推推理理能力；通过例题与练习提高学生动手能力和分析解决问题的能力。能力；通过例题与练习提高学生动手能力和分析解决问题的能力。情感与态度目标情感与态度目标 培养学生积极参与大胆探索的精神；让学生通过自主学习培养学生积极参与大胆探索的精神；让学生通过自主学习体验学习的成就感体验学习的成就感,培养学生学习数

6、学的兴趣和信心。培养学生学习数学的兴趣和信心。四、教学重难点四、教学重难点一、教学重点一、教学重点:同角三角函数基本关系式推导及应用。同角三角函数基本关系式推导及应用。知识技能线知识技能线情感态度线情感态度线过程方法线过程方法线观察分析观察分析特殊到一般特殊到一般灵活运用能力灵活运用能力及应用意识及应用意识创设情景创设情景引入课题引入课题公式推导公式推导 公式运用公式运用探究尝试探究尝试数形结合数形结合灵活运用灵活运用化归、方程思想化归、方程思想突突重重点点观察能力观察能力合作交流，归合作交流，归纳猜想能力纳猜想能力抓抓三三线线、四、教学重难点四、教学重难点二、教学难点二、教学难点:关系式在解

7、题中的灵活选取，及使用公关系式在解题中的灵活选取，及使用公式时由函数值正负号的选取而导致的角式时由函数值正负号的选取而导致的角的范围的讨论。的范围的讨论。抓抓两两点点、破破难难点点情感、思维的兴奋点情感、思维的兴奋点知识层层深入知识层层深入五、教学方法五、教学方法 （一）讲授法：（一）讲授法：教师能在较短的时间内通过口头语言，简教师能在较短的时间内通过口头语言，简洁地传授数学知识信息。洁地传授数学知识信息。（二）谈话法：（二）谈话法：就是教师根据学生已有的知识和经验，帮就是教师根据学生已有的知识和经验，帮助学生发现问题，让学生基于以往的经验，依靠他们的认知助学生发现问题，让学生基于以往的经验，

8、依靠他们的认知能力、形成对问题的解释、提出他们对问题的假设的方法。能力、形成对问题的解释、提出他们对问题的假设的方法。（三）任务驱动法：（三）任务驱动法：在讲授完新知识后，必须由学生做相在讲授完新知识后，必须由学生做相关的练习，并以完成此任务为目标，通过任务驱动法可以使关的练习，并以完成此任务为目标，通过任务驱动法可以使学生能自主学习，并培养他们的创新能力。学生能自主学习，并培养他们的创新能力。六、学六、学 法法 （一）知识迁移法：（一）知识迁移法：在本节内容中，它与前面的内容息在本节内容中，它与前面的内容息 息相关，并在原有的知识的基础上推导出来的，所以要学会息相关，并在原有的知识的基础上推

9、导出来的，所以要学会思维的迁移。思维的迁移。（二）探究法：（二）探究法：在老师的指引下，学生要学会探索同角三在老师的指引下，学生要学会探索同角三角函数的基本关系式。角函数的基本关系式。（三）自主学习法：（三）自主学习法：提出以完成任务为目标，要求学生独提出以完成任务为目标，要求学生独立练习来获得新知识，从而提高独立解决问题的能力。立练习来获得新知识，从而提高独立解决问题的能力。七、教学过程分析七、教学过程分析教学目标教学目标重点难点重点难点教学过程教学过程练练学学导导探探引引创设创设情境情境探究探究问题问题引导引导学生学生掌握掌握反思反思提炼提炼延延作业作业布置布置引引探探练练学学导导延延过程

10、分析过程分析过程分析过程分析创创设设情情景景引引入入课课题题 气气象象学学家家洛洛伦伦兹兹19631963年年提提出出一一种种观观点点：南南美美洲洲亚亚马马逊逊河河流流域域热热带带雨雨林林中中的的一一只只蝴蝴蝶蝶，偶偶尔尔扇扇动动几几下下翅翅膀膀，可可能能在在两两周周后后引引起起美美国国德德克克萨萨斯斯的的一一场场龙龙卷卷风风。这这就就是是理理论论界界闻闻名名的的“蝴蝴蝶蝶效效应应”，此此效效应应本本意意是是说说事事物物初初始始条条件件的的微微弱弱变变化化可可能能会会引引起起结结果果的的巨巨大大变变化化。蝴蝴蝶蝶扇扇翅翅膀膀成成为为龙龙卷卷风风的的导导火火索索。从从中中我我们们还还可可以以看看

11、出出，南南美美洲洲亚亚马马逊逊河河流流域域热热带带雨雨林林中中的的一一只只蝴蝴蝶蝶与与北北美美德德克克萨萨斯斯的的龙龙卷卷风风看看来来是是毫毫不不相相干干的的两两种种事事物物，却却会会有有这这样样的的联联系系，这这也也正正验验证证了了哲哲学学理理论论中中事事物物是是普普遍遍联联系系的的观观点点。既既然然感感觉觉毫毫不不相相干干的的事事物物都都是是相相互互联联系系的的，那那么么“同同一一个个角角”的的三三角角函函数数一一定定会会有有非非常常密密切切的的关关系系！到到底底是是什什么么关关系呢？这就是这节课的课题。系呢？这就是这节课的课题。一、推导同角三角函数的关系式一、推导同角三角函数的关系式 （

12、一）倒数关系：（一）倒数关系：请同学们观察上述六个三角函数的定义，请同学们观察上述六个三角函数的定义，哪些互为倒数关系？（学生在草稿纸上演算，教师巡视）哪些互为倒数关系？（学生在草稿纸上演算，教师巡视）因此倒数关系是：因此倒数关系是：引引探探练练学学导导延延过程分析过程分析过程分析过程分析对于三种关系的推导，我是这样处理的：倒数关系由学生自对于三种关系的推导，我是这样处理的：倒数关系由学生自己推导，商数关系引导学生推导，平方关系由老师帮助推导。己推导，商数关系引导学生推导，平方关系由老师帮助推导。（二）商数关系：（二）商数关系：首先要让学生明白涉及到商，应该与除法有首先要让学生明白涉及到商，应

13、该与除法有关，而作为分子、分母都是比值的除法，要想化简最后的结果，最关，而作为分子、分母都是比值的除法，要想化简最后的结果，最好是要找分母相同的比值。在上面六个比值中，分母相同的分别有好是要找分母相同的比值。在上面六个比值中，分母相同的分别有三组。然后要求学生在草稿纸上算。学生的结果估计是这样的：三组。然后要求学生在草稿纸上算。学生的结果估计是这样的：引引探探练练学学导导延延过程分析过程分析过程分析过程分析再提示学生思考除了以上三个之外，还可以将三条式子的分子与分母再提示学生思考除了以上三个之外，还可以将三条式子的分子与分母的位置调换，于是又多了三条式子：的位置调换，于是又多了三条式子：总结商

14、数关系一共有六条，告诉学生常用的的第一和第四条：总结商数关系一共有六条，告诉学生常用的的第一和第四条：化切为弦。化切为弦。（三）平方关系：（三）平方关系：这种关系学生不易找出来，教师提示：这种关系学生不易找出来，教师提示：x x2 2+y+y2 2=r=r2 2,而且还可以得到而且还可以得到r r2 2-y-y2 2=x=x2 2，r r2 2-x-x2 2=y=y2 2。因此它们还存。因此它们还存在平方关系，要求学生算出在平方关系，要求学生算出sin2+cos2=1,sin2+cos2=1,再将再将sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1作恒等变形，当作恒等变形，当coscos2 2

15、00时，等式两边同除以时，等式两边同除以coscos2 2，得，所以，得，所以tgtg2 2+1=sec+1=sec2 2,同理当同理当sinsin2 200时，等式两边同除以时，等式两边同除以sinsin2 2得到得到ctgctg2 2+1=csc+1=csc2 2。因此有：。因此有：引引探探练练学学导导延延过程分析过程分析过程分析过程分析平方关系：sin2+cos2=1 tg2+1=sec2 ctg2+1=csc2引引探探练练学学导导延延过程分析过程分析过程分析过程分析（四）（四）帮助学生更灵活地记忆上述三种关系式，帮助学生更灵活地记忆上述三种关系式，给出右图，让学给出右图，让学生思考怎样

16、利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系？（上弦中切下生思考怎样利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系？（上弦中切下割左正右余）割左正右余）1 1、在对角线上两个三角函数值乘积等于、在对角线上两个三角函数值乘积等于1 1，有倒数关系。，有倒数关系。2 2、六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的两、六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上的函数值的乘积。可演化出商数关系。个顶点上的函数值的乘积。可演化出商数关系。3 3、带有阴影的三个倒三角形中，上面两个三角函数值的平方和等于下、带有阴影的三个倒三角形中，上面两个三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。有平方关系。面顶点

17、上的三角函数值的平方。有平方关系。引引探探练练学学导导延延过程分析过程分析过程分析过程分析为了加深对关系式的认识，在公式给出后设置为了加深对关系式的认识，在公式给出后设置了三点注意了三点注意 ：1、同角的理解：、同角的理解：2、是是 的简写形式，与的简写形式，与 不同。不同。3、公式可以变形使用、公式可以变形使用 引引探探练练学学导导延延过程分析过程分析过程分析过程分析例题讲解提高能力例例1 1：（：（1 1）已知）已知 ，试求试求coscos和和tgtg的值。的值。例例2 2：（：（2 2）已知）已知 ，求求的其它三角函数值。的其它三角函数值。引导学生充分利用六边形中关系式的关系，寻找多引导

18、学生充分利用六边形中关系式的关系，寻找多种解题的思路，以下是几种角题的顺序：种解题的思路，以下是几种角题的顺序：（tgctgseccossincsctgctgseccossincsc）（tgctgcscsincossectgctgcscsincossec）（tgsecsincsccosctgtgsecsincsccosctg）说明：通过例题的讲解，使学生明白到运用平方关系式时涉及到开说明：通过例题的讲解，使学生明白到运用平方关系式时涉及到开方问题，就要方问题，就要考虑符号的正负考虑符号的正负。引引探探练练学学导导延延过程分析过程分析过程分析过程分析例题例题2、化简、化简 化简三角函数式，化简的

19、一般要求是：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1 1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2 2）尽量使分母不含三角函数式；）尽量使分母不含三角函数式；（3 3）根式内的三角函数式尽量开出来；）根式内的三角函数式尽量开出来；（4 4）能能求求得得数数值值的的应应计计算算出出来来，其其次次要要注注意意在在三三角角函函数数式式变变形形时，常常将式子中的时，常常将式子中的“1”“1”作巧妙的变形，作巧妙的变形，引引探探练练学学导导延延过程分析过程分析过程分析过程分析例题例题3、求证：、求证：（1）让让学学生生思思考考讨讨论论找找解解决决办办法法，由由

20、题题目目的的多多种种解解法总结三角恒等式证明的三种基本思路：法总结三角恒等式证明的三种基本思路：一边化一边；作差比较；两边化为同一式。一边化一边；作差比较；两边化为同一式。（2）设置目的；通过一题多解，培养学生的发散思）设置目的；通过一题多解，培养学生的发散思维，提高学生思维的深刻性、敏捷性。维，提高学生思维的深刻性、敏捷性。（3）小结：）小结：由繁到简；化弦法；盯住目标、逐步靠由繁到简；化弦法；盯住目标、逐步靠拢；注意拢；注意“1”的变形运用；的变形运用；引引探探练练学学导导延延过程分析过程分析过程分析过程分析课课堂堂练练习习1 1、已知、已知 ，试求，试求sinsin和和tgtg的值。的值

21、。2、化简下列三角函数式：、化简下列三角函数式：八、课堂小结八、课堂小结 在公式的推导中，教师是用创设问题的形式引导学生去发现关在公式的推导中，教师是用创设问题的形式引导学生去发现关系式，多让学生动手去计算，体现了系式，多让学生动手去计算，体现了教师为引导教师为引导,学生为主体学生为主体,体体验为红线验为红线,探索得材料探索得材料,研究获本质研究获本质,思维促发展思维促发展的教学思想。在记的教学思想。在记忆关系式时，我不要求学生死记硬背，而是充分利用六边形来灵活忆关系式时，我不要求学生死记硬背，而是充分利用六边形来灵活记忆。在解题的过程，我要求学生利用六边形来分析，进而寻找解记忆。在解题的过程

22、，我要求学生利用六边形来分析，进而寻找解题的思路，这样就把抽象的问题具体化，并可以找出多种的解题思题的思路，这样就把抽象的问题具体化，并可以找出多种的解题思路，这样做使学生不感到困难，而且使枯燥的内容生动化、直观化，路，这样做使学生不感到困难，而且使枯燥的内容生动化、直观化，培养学生解题的信心。通过两种不同的例题的对比，让学生能够明培养学生解题的信心。通过两种不同的例题的对比，让学生能够明白到关系式中的开方，是需要考虑正负号，而正负号是与角的角限白到关系式中的开方，是需要考虑正负号，而正负号是与角的角限有关，角的象限题目可以直接给出来，但有时是需要已知条件来推有关，角的象限题目可以直接给出来，但有时是需要已知条件来推出角可能所在的象限，通过分析，把本节课的教学难点解决了。最出角可能所在的象限，通过分析，把本节课的教学难点解决了。最后的练习可以检测学生对本节课内容掌握的情况，另外还可以发现后的练习可以检测学生对本节课内容掌握的情况，另外还可以发现学生在解题中存在的问题，教师加以评讲，这样就使学生的认识再学生在解题中存在的问题，教师加以评讲，这样就使学生的认识再上一个台阶。上一个台阶。九、板书设计九、板书设计3.2 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 1、倒数关系、倒数关系2、商数关系、商数关系3、平方关系、平方关系例例1例例2例例3练习题练习题