第7章 矩阵的特征值和特征向量优秀PPT.ppt
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1、第7章 矩阵的特征值和特征向量现在学习的是第1页,共30页特征值:的根 为矩阵A的特征值特征向量:满足的向量v为矩阵A的对于特征值 的特征向量称为矩阵A的特征多项式是高次的多项式,它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根来求矩阵的特征值。通常对某个特征值,可以用些针对性的方法来求其近似值。若要求所有的特征值,则可以对A做一系列的相似变换,“收敛”到对角阵或上(下)三角阵,从而求得所有特征值的近似。现在学习的是第2页,共30页7.1 幂法幂法 矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如:矩阵的谱半径。幂法就是一种求矩阵按模最大特征值的方法,它是最经典的方法。幂法要求A有完备的特征向量系。即A有
2、n个线性无关的特征向量。在实践中,常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征值和特征向量如下:特征值:特征向量:幂法可以求,基本思想很简单。现在学习的是第3页,共30页设线性无关,取初值,作迭代设:则有:现在学习的是第4页,共30页(1)若:则k足够大时,有可见几乎仅差一个常数所以:任意分量相除特征向量乘以任意数,仍是特征向量现在学习的是第5页,共30页(2)若:则k足够大时,有所以:所以:现在学习的是第6页,共30页这样,我们有算法:1、给出初值,计算序列2、若序列表现为,相邻两个向量各个分量比趋向于常数,则3、若序列表现为,奇偶序列各个分量比趋向于常数,则4、若序列
3、表现为其他,退出不管现在学习的是第7页,共30页求矩阵A的按模最大的特征值解解 取x(0)=(1,0)T,计算x(k)=Ax(k-1),结果如下例例kx1(k)x2(k)x1(k)/x1(k-1)x2(k)/x2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取0.41263,x1(0.017451,0.014190)T.现在学习的是第8页,共30页在幂法中,我们构造的序列可以看出因此,若序列收敛慢的话,可能造成计算的溢出或归0现在
4、学习的是第9页,共30页改进幂法的规范运算改进幂法的规范运算则,易知:所以,有:最大分量为1现在学习的是第10页,共30页即(1)若:现在学习的是第11页,共30页现在学习的是第12页,共30页时,有时,有收敛分别收敛反号的两个数现在学习的是第13页,共30页(2)若:分别收敛到两个数,且绝对值不同。现在学习的是第14页,共30页求:则:现在学习的是第15页,共30页这样,我们有算法:1、给出初值,计算序列2、若序列收敛,则3、若序列的奇偶序列分别收敛,且两个数绝对值相同,则4、若序列的奇偶序列分别收敛,且两个数绝对值不同,则现在学习的是第16页,共30页决定收敛的速度,特别决定收敛的速度,特
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