第8讲方向导数与梯度优秀PPT.ppt

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1、第8讲方向导数与梯度现在学习的是第1页，共22页回忆一元函数的单侧导数回忆一元函数的单侧导数:AC方向导数方向导数O现在学习的是第2页，共22页xOy.P0Pl.现在学习的是第3页，共22页方向导数与偏导数方向导数与偏导数现在学习的是第4页，共22页xOyz.P0Pl.现在学习的是第5页，共22页方向导数的定义方向导数的定义 设函数在内有定义.若点 沿射线 l 趋于时,极限l 方向的方向导数.记为存在,则称该极限值为函数在点处沿现在学习的是第6页，共22页直线 l 的方程:则故射线 l 的方程:现在学习的是第7页，共22页 利用直线方程可将方向导数的定义表示为利用直线方程可将方向导数的定义表示

2、为:现在学习的是第8页，共22页现在学习的是第9页，共22页现在学习的是第10页，共22页若函数在点处可微,则函数在点处沿任一方向的方向导数存在,且其中,各偏导数均为在点处的值.方向导数的计算公式定理定理现在学习的是第11页，共22页 例例解解现在学习的是第12页，共22页由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处的沿各方向的方向导数。此例说明:1.方向导数存在时,偏导数不一定存在.2.可微是方向导数存在的充分条件,而不是 必要条件.例例现在学习的是第13页，共22页 例例解解现在学习的是第14页，共22页现在学习的是第15页，共22页只与函数在点只与函数在点 X0 处的偏导数有关处的偏导数有关.1现在学习的是第16页，共22页问题：问题：该问题仅在不同时为零才有意义.在给定点沿什么方向增加得最快?可微函数现在学习的是第17页，共22页且且现在学习的是第18页，共22页定义定义设则称向量为函数在点处的梯度,记为或梯梯 度度现在学习的是第19页，共22页 梯度的方向与取得最大方向导数值的方向一致,而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值.现在学习的是第20页，共22页在中在中可统一表示为现在学习的是第21页，共22页从而从而 例例解解现在学习的是第22页，共22页