等差数列与等比数列课件.ppt

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1、多 媒 体 辅 助 教 学 课 件江油中学 唐秋明制作 公式小结目的例题等差数列与等比数列基本公式等差数列an-an-1=d(常数)an=a1+(n-1)da,A,b等差,则A=等比数列an/an-1=q(常数)an=a1qn-1a,G,b等比,则G2=abSn=na1 (q=1)Sn=等差数列an,bn的性质:m+n=k+l,则am+an=ak+al;nk等差,则等差;kan+b等差;k1an+k2bn等差;a1+a2+.+an,an+1+an+2+.+a2n,a2n+1+a2n+2+.+a3n,.等差.an等差Sn=cn2+bn (c0).等比数列an,bn的性质:m+n=k+l(m,n,

2、k,lN),则aman=akal;nk等差,则kan等比;k1ank2bn等比;a1+a2+.+an,an+1+an+2+.+a2n,a2n+1+a2n+2+.+a3n,.等比.公比qn;an等比Sn=c(qn-1)(c0)an等比且an0,则lgan等差;等比;例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成等差数列,和是12,求此四个数.解法1:如图:a1,a2,a3,a4等比(a2)2=a1a3等差2a3=a2+a4已知:a1+a2+a3=19已知:a2+a3+a4=12a1+a2+a3=19(a2)2=a1a3a2+a3+a4=122a3=a2+a4a1=9a2=6a3=4a4

3、=2a1=25a2=-10a3=4a4=18或例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成等差数列,和是12,求此四个数.如图:a1,a2,a3,a4解法2:a-d,a,a+d等差等比a1,a-d,a已知和为12=a-d+a+a+d=12已知三数和为19=或四数为:9,6,4,2或25,-10,4,18.19 为了便于解方程，应该充分分析条件的特征,尽量减少未知数的个数,用最少的未知数表达出数列的有关项的数量关系，促使复杂的问题转化为较简单的问题，获得最佳的解决方法。归 纳 练习1练习11.已知等比数列an中,an0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=()(A)

4、5 (B)10 (C)15 (D)202.数列an是等差数列,且S10=100,S100=10,则S110=()(A)90(B)-90 (C)110 (D)-1103.ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三内角的公差为 ()(A)0 (B)150 (C)300 (D)450ADA1.已知等比数列an中,an0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=a2a4=(a3)2a4a6=(a5)2原式=(a3+a5)2=25=a3+a5=5(an0)提示:2.数列an是等差数列,且S10=100,S100=10,则S110=()(A)90(B)-90 (C)110 (D)-110

5、S10,S20-S10,S30-S20,.,S110-S100成等差数列,公差100d.解:(S20-S10)-S10=100d)S110-S100=S10+(11-1)100d=100+100(-11/5)=-120 S110=-120+S100=-110=10d=-11/5S110-S100=S10+(11-1)100d3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三内角的公差为()解:A+B+C=18002B=A+C,b2=ac B=600,A+C=1200由正弦定理得:(sin600)2=sinAsinC故 A=B=C,公差 d=0.例2:已知数列an为等差数列,公差d0,an的部分

6、项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+.+kn即得出新数列的公比:q=3 再由可解出kn,进而求出根据数列an是等差数列,通项可写作:an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,a5=a1+4d,a17=a1+16d,再根据a1,a5,a17成等比数列,又可得:(a5)2=a1a17,于是可解出d=(1/2)a1.将解出的d代入a1,a5,a17,分析:例2:已知数列an为等差数列,公差d0,an的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k10,k2=5,k3=17,求k1+k2+.+kn解:an为等比数列,设其首项为a1,则an=a1+(n-1)d故

7、(a1+4d)2=a1(a1+16d)(a1)2+8a1d+16d2=(a1)2+16a1d例2:已知数列an为等差数列,公差d0,an的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k10,k2=5,k3=17,求k1+k2+.+kn故又q=3,d=(1/2)a1归 纳1.本题是一个综合型的等差、等比数列问题，在解题过程中，分清那一步是用等差数列条件，那一步是用等比数列条件是正确解题的前提。2。仔细观察，找到两个数列序号间的联系，是使问题得解的关键。练习2练习21.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=_2.若数列1,2cos,22cos2,23cos3,.,前10

8、0项之和为0,则的值为 _ 1:1:1或4:1:(-2)2k(2/3)(kZ)1.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=_a,b,c等差2b=a+cb=(a+c)/2a.c.b等比c2=ab代 入,得:c2=a(a+c)/2解得:a=c或 a=-2c1:1:1或4:1:(-2)解:2.若数列1,2cos,22cos2,23cos3,.,前100项之和为0,则的值为 _解:经观察知,该数列是等比数列,首项为1,公比为2cos,它的前100项和:Cos=-1/2=2k(2/3),kZ.例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan

9、成立.(1)求p (2)证明an成等差数列分析:本题已知Sn,需求p及an,所以必须根据公式 求出 a1,an.因为条件中有a1a2,又可推测知:本题需同时求a1,a2,才可利用a1a2排除增根.故第一问的解答从计算a 1,a2开始:例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p (2)证明an成等差数列（1）令n=1，s1=pa1，因为S1=a1，故a1=pa1，a1=0或p=1若p=1，则由n=2时，S2=2a2，即a2+a2=2a2所以a1=a2，这与a1a2矛盾故p1所以a1=0，则由n=2，得a2=2pa2因为a10，a20，p=1

10、/2解:例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p (2)证明an成等差数列(2)根据已求得的p=1/2Sn=(1/2)nan,由等差数列定义,满足an-an-1=d(常数)的数列是等差数列所以第一步求通项,第二步“作差”.证明:n2时,an=Sn-Sn-1=(1/2)nan-(1/2)(n-1)an-1解得:(2-n)an=(1-n)an-1例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p (2)证明an成等差数列 由(1)可得a1=0a2-a1=a2练习3练习31.数列 则 是该数列的

11、第_项.2.数列an对任意自然数n都满足 且a3=2,a7=4,则a15=_1116教学目的1。系统掌握等差、等比数列定义与性质，灵活应用等差、等比数列的定义与性质。2。通过对问题的讨论，提高分析解决问题的能力。小 结对等差等比综合问题1。要正确分清题目究竟是等差还是等比，不能混淆。2。掌握设元的技巧；3。要掌握分析数列问题的基本思想方法：抓两头，凑中间。习题分析:6.三数成等比数列,若将第三数减去32,则成等差数列,若再将等差数列的第二个数减去4,又成等比数列,原来三个是:_.习题分析:7.数列an各项均为正数,前n项和为An,数列bn的前n项和为Bn,且满足Bn=-n(n-1),bn=log2an,求An.习题分析:8.已知等差数列an的首项a1=1,前n项和为145,求a2+a4+a8+.+习题分析:9.设Sn是等差数列an的前n项和,已知(1/3)S3与(1/4)S4的等比中项为(1/5)S5,而(1/3)S3与(1/4)S5的等差中项为1,求等差数列an的通项.