第七章 留数定理及其应用优秀PPT.ppt

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1、第七章 留数定理及其应用现在学习的是第1页，共86页7.1 留数定理 单值函数 f(z)在孤立奇点bk 邻域内的洛朗展开 中的 项的系数 称为 f(z)在 bk处的留数，记作 ，或 。留数 定义 现在学习的是第2页，共86页 设光滑的简单闭合曲线 C 是区域 G 的边界，若除了有限个孤立奇点 bk(k=1,2,n)外，函数 f(z)在 G 内单值解析，在 上连续，且 C 上没有奇点，则留数定理 定理现在学习的是第3页，共86页如图，围绕每个奇点 bk 作闭合曲线 g gk，使 g gk 均在 G 内，且互不交叠，由复连通区域的柯西定理知 证明将 f(z)在 bk 的邻域内展开为洛朗级数现在学习

2、的是第4页，共86页复连通区域的柯西定理洛朗展开系数公式因为 且C 内含有z=a 可知 留数定理现在学习的是第5页，共86页设 z=b 是 f(z)的 m 阶极点，则在 b 点的邻域内留数的求法全为正幂项，求导(m-1)后，低于(m-1)次的幂项没有了，高于(m-1)次的幂项在 ，只剩 了。两边同乘以(z b)m 得现在学习的是第6页，共86页常见情况：，P(z)、Q(z)在 b 点及其邻域内解 析，z=b 是 Q(z)的一阶零点。Q(b)=0，Q(b)0，P(b)0，则若 z=b 是一阶极点，则现在学习的是第7页，共86页小结：求留数的方法 根据定义将函数在奇点邻域展开，求展开系数 a1 求

3、积分 对 m 阶极点求导数 对一阶极点，求极限 对一阶极点，有现在学习的是第8页，共86页 例题例题解求 在奇点处的留数。是它的一阶极点现在学习的是第9页，共86页 例题例题解方法一：直接在 z=0 作展开求 在奇点处的留数。方法二：是一阶奇点现在学习的是第10页，共86页所以 是 的三阶极点。的倒数 的零点 例题例题解求 在奇点处的留数。现在学习的是第11页，共86页现在学习的是第12页，共86页现在学习的是第13页，共86页为一阶极点，为二阶极点先分析奇点的类型 例题例题解求 在奇点 处的留数。现在学习的是第14页，共86页可将 在 展开，为 在复平面内的唯一孤立奇点，不确定，为本性奇点。

4、例题例题解求 在孤立奇点的留数。现在学习的是第15页，共86页只关心负一次幂系数 因此，现在学习的是第16页，共86页 显然，A、B、C 正好是 f(z)在一阶极点 z=1，z=2，z=3 的留数，所以 例题例题解对有理函数 部分分式。所以现在学习的是第17页，共86页为 的一阶极点，为本性奇点，例题例题解求 在奇点的留数。现在学习的是第18页，共86页2）在 C 内只有 可能是 f(z)的奇点，作变换 则对于无穷远点，定义 C 为绕无穷远点正向一周的围道，1）在 C 内有奇点 bk，则补充讨论：在 t=0 点邻域内幂级数展开中 t1 项的系数在 t=0 点邻域内幂级数展开中 t1 项的系数在

5、 z=点邻域内幂级数展开中 z1 项的系数现在学习的是第19页，共86页此结果与有限远处奇点的留数不同之处为：1）形式上多了一个负号；2）z1 是 f(z)在点展开的正则部分（绝对收敛的负幂项），即 使点不是奇点，resf()也可以不为 0；反之，即使点是奇 点，甚至为一阶极点，resf()也可以为 0。留数的计算在积分计算中常用到！下面重点学习积分计算中留数定理的运用，涉及定积分和常见类型积分的计算。现在学习的是第20页，共86页R 在 上连续，保证了 R(z)在 上无奇点。7.2 有理三角函数的积分 计算方法 R 为 和 的有理函数，在 上连续，作变换 ，即 ，则现在学习的是第21页，共8

6、6页 例题例题解计算积分有一阶极点：只有 在 内现在学习的是第22页，共86页设 ，则 ，例题例题解计算积分被积函数为偶函数令则现在学习的是第23页，共86页在 内，函数 f(z)只有一个一阶极点中的被积函数为奇函数，现在学习的是第24页，共86页可见 z=0 是被积函数 在 内的唯一奇点，是 2n+1 阶极点，若求 2n 阶导数则很复杂，故将 f(z)在 中展开 例题例题解计算积分令现在学习的是第25页，共86页由二项式定理知当 k=n 时，为 项现在学习的是第26页，共86页 的奇点 均为一阶极点，只有 在 内 例题例题解计算积分令现在学习的是第27页，共86页现在学习的是第28页，共86

7、页 例题例题解计算积分令现在学习的是第29页，共86页 有一阶极点只有 在 内现在学习的是第30页，共86页 在上半平面补上以圆点为圆心 R 为半径的弧 CR，则-R,R+CR 形成闭合围道，应用留数定理计算闭合围道积分后令 R0。7.3 无穷积分 将实变函数 f(x)延拓为 f(z)补上适当的积分路径，形成闭合围道计算方法：现在学习的是第31页，共86页 例题例题解计算积分在上半平面只有一个二阶极点现在学习的是第32页，共86页因为由引理二（第三章）知所以现在学习的是第33页，共86页可见，无穷积分的被积函数 f(z)必须满足：1）在上半平面除有限个孤立奇点外，处处解析，实轴上无奇点；2）在

8、 内，当 时，一致的趋于 0。即 ，使当 时，现在学习的是第34页，共86页 例题例题解计算定积分在围道内只有一个一阶奇点作围道现在学习的是第35页，共86页（引理二）所以即现在学习的是第36页，共86页在上半平面内有两个一阶极点 和 例题例题解计算积分现在学习的是第37页，共86页现在学习的是第38页，共86页只要知道 ，那么分别比较实部和虚部即可。7.4 含三角函数的无穷积分当 时，和 行为复杂，故取被积函数为 计算方法：或 现在学习的是第39页，共86页 设 ，当 时，Q(z)一致的趋近于 0，则约当定理 定理其中 p 0，CR 是以原点为圆心，以 R 为半径的半圆弧。证明现在学习的是第

9、40页，共86页 时，可见由复变积分性质知：现在学习的是第41页，共86页当 f(x)为偶函数时，f(x)cospx 为偶函数，f(x)sinpx 为奇函数。bk 在 C 内约当引理保证了：当 f(x)为奇函数时，f(x)cospx 为奇函数，f(x)sinpx 为偶函数。现在学习的是第42页，共86页为偶函数 例题例题解计算积分在上半平面内有一阶极点 和由约当引理知现在学习的是第43页，共86页现在学习的是第44页，共86页非奇非偶 例题例题解计算积分在上半平面内有一个一阶极点 由约当引理知现在学习的是第45页，共86页所以现在学习的是第46页，共86页为奇函数 例题例题解计算积分在上半平面

10、内有一个一阶极点 由约当引理知方法一：现在学习的是第47页，共86页所以即现在学习的是第48页，共86页为奇函数方法二：所以现在学习的是第49页，共86页 主值积分 解析函数 f(x)在有界区域内某点 x0 无界，称 为 f(x)在 a,b 上的主值积分。7.5 实轴上有奇点的情形 围道作法同上，只是积分围道绕过实轴上的奇点。围道多了一段以实轴上的奇点为圆心，d d 为半径的半圆弧。计算方法：定义 现在学习的是第50页，共86页 例题例题解计算主值积分现在学习的是第51页，共86页由引理二知：大弧上的积分为零。又由引理一知：小弧上的积分值。现在学习的是第52页，共86页因此即现在学习的是第53

11、页，共86页 例题例题解计算积分围道 C 内 解析，故积分值为零。由约当引理知：大弧积分为零。当 时现在学习的是第54页，共86页又由引理一知：小弧上的积分值。可知即所以现在学习的是第55页，共86页 例题例题解计算积分围道 C 内 解析，故围道积分值为零。在实轴上有二阶极点 z=0，作如图围道现在学习的是第56页，共86页现在学习的是第57页，共86页又由约当引理知：大弧积分为零。当 时由引理一知：小弧上的积分值。现在学习的是第58页，共86页即现在学习的是第59页，共86页 例题例题解计算积分在实轴上有三阶极点 z=0现在学习的是第60页，共86页由约当引理知：大弧积分为零。当 时对于 I

12、1 作围道 C，如下图故现在学习的是第61页，共86页故对于 I2 作围道 C，如下图弧积分在下半平面，以保证能满足约当引理中 的由约当引理知：大弧积分为零。当 时现在学习的是第62页，共86页由以上分析可知类似地可以求出计算这类积分的关键：选择正确的复变积分的被积函数。现在学习的是第63页，共86页 相应的复变积分为 ，z=0 和 是被积函数的极点，沿正实轴作割线，并规定割线上岸 ，积分路径如上图，。7.6 多值函数的积分计算方法：s 为实数，Q(x)单值，在正实轴上没有奇点。现在学习的是第64页，共86页 例题例题解计算积分如图沿正实轴作割线，并规定割线上岸现在学习的是第65页，共86页围

13、道内仅有一个一阶极点当 时现在学习的是第66页，共86页现在学习的是第67页，共86页由此可推知一些积分，如 时下一章学习 G 函数时会直接用到这个结果实虚部分开现在学习的是第68页，共86页比较虚部可知现在学习的是第69页，共86页 例题例题解计算积分如图沿正实轴作割线，并规定割线上岸围道内仅有两个一阶极点现在学习的是第70页，共86页由引理一知：小弧上的积分为零。现在学习的是第71页，共86页 当 时由引理二知：大弧上的积分为零。现在学习的是第72页，共86页由以上计算可知：的定积分可通过计算 得到；而 的计算则要通过计算 得到。可得没有得到 是因为 的多值性表现在虚部上，实部互相抵消。现

14、在学习的是第73页，共86页因为此时 在割线上下岸的函数值 与 相互抵消，剩下 项正是所需。右边现在学习的是第74页，共86页左边现在学习的是第75页，共86页所以即现在学习的是第76页，共86页 例题例题解计算积分如图，从 0 到 沿实轴作割线，围道内仅有一个一阶极点其中方法一：现在学习的是第77页，共86页由复变积分性质知所以现在学习的是第78页，共86页方法二：如图沿正实轴作割线，并规定割线上岸现在学习的是第79页，共86页现在学习的是第80页，共86页 例题例题解计算积分如图从-1 到 1 作割线，并规定割线上岸支点为现在学习的是第81页，共86页当 时现在学习的是第82页，共86页又

15、由引理二知：大弧积分为零。由引理一知：小弧积分为 0。现在学习的是第83页，共86页现在学习的是第84页，共86页所以，有现在学习的是第85页，共86页积分类型积分类型变变 换换围围 道道相关定理相关定理有理三角函有理三角函数积分数积分单位圆周单位圆周无穷积分无穷积分-R,R+CR引理二引理二含三角函数含三角函数无穷积分无穷积分-R,R+CR引理二引理二约当引理约当引理实轴上有奇实轴上有奇点的积分点的积分-R,-d d+Cd d+d d,R+CR引理一引理一引理二引理二约当引理约当引理多值函数多值函数积分积分由割线作法决定由割线作法决定引理一引理一引理二引理二约当引理约当引理现在学习的是第86页，共86页