第三章 函数的极值及其求法 (2)优秀PPT.ppt

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1、第三章 函数的极值及其求法现在学习的是第1页，共23页一、函数极值的定义一、函数极值的定义现在学习的是第2页，共23页定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值使函数取得极值的点称为的点称为极值点极值点.现在学习的是第3页，共23页二、函数极值的求法二、函数极值的求法定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,现在学习的是第4页，共23页注注这个结论又称为这个结论又称为Fermat定理定理如果一个可导函数在所论区间上没有驻点如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号则此函数没有极值，此时导数不改变符号不

2、可导点也可能是极值点不可导点也可能是极值点可疑极值点：可疑极值点：驻点、不可导点驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。到解决。现在学习的是第5页，共23页定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)现在学习的是第6页，共23页求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)现在学习的是第7页，共23页例例1 1解

3、解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值现在学习的是第8页，共23页图形如下图形如下现在学习的是第9页，共23页定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证现在学习的是第10页，共23页例例2 2解解图形如下图形如下现在学习的是第11页，共23页注意注意:现在学习的是第12页，共23页例例3 3解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.现在学习的是第13页，共23页例例4证证（不易判明符号）（不易判明符号）而且是一个最大值点，而且是一个最大值点，现在学习的是第14页，共23页例例5 设设f(x)连续，且连续，且f(a)是是f(x)的极值，问的极值

4、，问f 2(a)是否是是否是 f 2(x)的极值的极值证证分两种情况讨论分两种情况讨论所以所以 f 2(a)是是 f 2(x)的极小值的极小值现在学习的是第15页，共23页设设f(a)是是f(x)的极小值，且的极小值，且又又f(x)在在 x=a 处连续，且处连续，且f 2(a)是是 f 2(x)的极大值的极大值同理可讨论同理可讨论f(a)是是f(x)的极大值的情况的极大值的情况现在学习的是第16页，共23页例例6假定假定f(x)在在x=x0处具有直到处具有直到n阶的连续导数，且阶的连续导数，且证明当证明当n为偶数时，为偶数时，f(x0)是是f(x)的极值的极值当当n为奇数时，为奇数时，f(x0

5、)不是不是f(x)的极值的极值证证由由Taylor公式，得公式，得现在学习的是第17页，共23页因此存在因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内的一个小邻域，使在该邻域内下面来考察两种情形下面来考察两种情形n为奇数，当为奇数，当x 渐增地经过渐增地经过x0时时变号变号不变号不变号变号变号不是极值不是极值现在学习的是第18页，共23页n为偶数，当为偶数，当x 渐增地经过渐增地经过x0时时不变号不变号不变号不变号不变号不变号是极值是极值且当且当时时是极小值是极小值当当时时是极大值是极大值现在学习的是第19页，共23页极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极极小值可能大于极大值小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)三、小结三、小结现在学习的是第20页，共23页思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？现在学习的是第21页，共23页思考题解答思考题解答不正确不正确例例现在学习的是第22页，共23页在在1和和1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立现在学习的是第23页，共23页