闭区间上连续函数性质74422.pptx

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1、13.1.3 3.1.3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质1 有界性定理2 最值定理3 零点存在定理4 介值定理5 一致连续性第1页/共35页21.1.有界性定理有界性定理在 a,b 上有界.反证法+致密性定理定理定理3.1.8证明：第2页/共35页3证例1.证明:若 令则给定当时,有又根据有界性定理,使取则在在内连续内连续,存在存在,则则必在必在内有界内有界.第3页/共35页42.2.最大值和最小值定理最大值和最小值定理定理定理3.1.9由上确界定义，证法：确界原理+致密性定理+迫敛性。证法一：由确界原理，f a,b 在a,b上有上确界M.只验证存在 x1，s.t.f a,b第4

2、页/共35页5证法二：由确界原理，f 在a,b上有上确界M.只需验证存在 x1，s.t.定理定理3.1.9第5页/共35页6注意注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.第6页/共35页7 且3.3.零点定理零点定理几何解释几何解释定理3.1.10第7页/共35页8零点定理:设 f 在闭区间a,b上连续,且至少存在一点使得证:(应用确界原理)记E E 非空有界数集.(因为且由确界原理,E E 有下确界.设(i)(i)先证因由连续函数的保号性:存在使所以即不妨设E第8页/共35页9(ii)再证E由确界的定义，得数列由f(x)的连续性，及连续函数的性质，有且第

3、9页/共35页10小结：用确界定理证题的三个步骤：（1）分析所要证明的点满足的所谓“临界性质”，由此构造一个点集；（2）由确界定理，确认点的存在性（关键一步）；（3）验证就是所要求的点。(iii)最后证若则则由局部保号性:存在使特别与矛盾,故有E第10页/共35页11例例2 2 证明方程证明方程一个根一个根.证证 显然显然又又故据零点定理故据零点定理,至少存在一点至少存在一点使使即即说明说明:内必有方程的根内必有方程的根;取取的中点的中点内必有方程的根内必有方程的根;可用此法求近似根可用此法求近似根.二分法二分法在区间在区间内至少有内至少有则则则则第11页/共35页12例3.证证：第12页/共

4、35页14定理定理3.1.11设设 且且则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 m m,一点一点证证 作辅助函数作辅助函数则则且且故由零点定理知故由零点定理知,至少有一点至少有一点使使即即使使至少有至少有4.4.介值定理介值定理第14页/共35页15推论推论1 1 在闭区间上连续的函数必取得介于最在闭区间上连续的函数必取得介于最大值大值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.推论推论2 2 闭区间上非常数的连续函数的值域为闭闭区间上非常数的连续函数的值域为闭区间区间.第15页/共35页16例例5.证明证明：思考题：某短跑运动员跑完100米用了10秒，证明其中必有10米的距离恰好

5、用1秒跑完.第16页/共35页17连续的连续的定义定义是一个局部概念一致连续在某个区间上“一起”连续整体化5.5.函数的一致连续性函数的一致连续性第17页/共35页18在在 I 上一致连续上一致连续.显然显然:定义定义1 1小于 ,不论两点 与 在 中处于什么位置,直观地说,在 上一致连续意味着：只要它们的距离就可使第18页/共35页19可以看出，一致连续要求函数变化不要“太陡”第19页/共35页20例例6 6证明：证明：都有都有第20页/共35页21例例7 7但不一致连续但不一致连续.因为因为取点取点则则 但但这说明这说明在在(0,1 上不一致连续上不一致连续.证证对任意对任意 d0d0第2

6、1页/共35页22例8.证明：证证：第22页/共35页23即：闭区间上的连续函数都是一致连续的.上连续上连续,则则上一致连续上一致连续.定理定理5（Cantor一致连续性定理）一致连续性定理）若函数若函数 f 在闭在闭区间区间证明方法：反证法证明方法：反证法 +致密性定理致密性定理证设为 yn 的任一子列第23页/共35页26在 a,b 上有界;在 a,b 上达到最大值与最小值;在 a,b 上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在在 a,b 上一致连续;小小 结结闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第26页/共35页27第27页/共35页28 化为指数函数或利用公式原式=1.

7、计算：第28页/共35页292.设设 f(x)定义在区间定义在区间上上,若若 f(x)在在连续连续,提示提示:证明证明 f(x)对一切对一切 x 都连续都连续.第29页/共35页303.证明证明：第30页/共35页314.证明：证明：且异号，第31页/共35页325.证明：黎曼函数证明：黎曼函数(p,q为正整数为正整数,为既约真分数为既约真分数)x=0,1,或或为区间为区间(0,1)的无理数的无理数在在(0,1)内任何无理点都连续内任何无理点都连续,任何有理点处都不连续任何有理点处都不连续.读题:(1)(2)(3)使的x有几个?使的x有几个?使的x有不会超过8个.使的函数值为:使的x不会超过:

8、(4)对于任意给定的使的x至多有几个?(有限个!)第32页/共35页335.证明：黎曼函数证明：黎曼函数(p,q为正整数为正整数,为既约真分数为既约真分数)x=0,1,或或为区间为区间(0,1)的无理数的无理数在在(0,1)内任何无理点都连续内任何无理点都连续,任何有理点处都不连续任何有理点处都不连续.证:先证先证在有理点不连续在有理点不连续.设为为(0,1)内的有理点内的有理点.以下证以下证设则则对对(无论无论如何小如何小),在在内总可以找到无理数内总可以找到无理数x,使得使得即即故故R(x)在点在点不连续不连续.第33页/共35页34证:再证函数再证函数在无理点连续在无理点连续.设为无理点为无理点,则则以下要证以下要证:即要证即要证:当当时有时有(i)当当x为无理数时为无理数时,显然有显然有(ii)当当x为有理数时为有理数时,能使能使的的q只有有限个只有有限个,从而使从而使的有理数的有理数 x 也只有限有个也只有限有个,不妨设为不妨设为这些点与这些点与的最小距离为的最小距离为:对于满足对于满足的有理点的有理点 x,有有故只要故只要x满足满足就有就有即即 R(x)在在连续连续.第34页/共35页35感谢您的观看！第35页/共35页