隐函数组存在性连续性与可微性是函数方程组求解问题.pptx

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1、一、隐函数组概念 设有一组方程 则称由(1)确定了隐函数组 之对应,能使其中 定义在 若存在 使得对于任给的 有惟一的第1页/共32页并有 关于隐函数组的一般情形(含有 m+n 个变量的 m 个方程所确定的 n 个隐函数)，在本章不作详 细讨论 第2页/共32页首先来看看,若由方程组(1)能确定两个可微的隐 函数 ,则函数 应满 足何种条件呢?不妨先设 都可微,由复合求导法,通过对(1)分别求关于 x 与关于 y 的偏导数,得到 第3页/共32页能由(2)与(3)惟一解出 的充要 条件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即 由此可见，只要 具有连续的一阶偏导数，且 其中 是满足(1)的某一

2、 初始点,则由保号性定理，使得在此邻域 内(4)式成立 根据以上分析,便有下述隐函数组定理.第4页/共32页 雅可比（Jacobi,C.G.J.1804-1851,德国 ）第5页/共32页定理 11.4(隐函数组定理)设方程组(1)中的函数 F 与 G 满足下列条件：(i)在以点 为内点的某区域 上连续；(ii)(初始条件);(iii)在 V 内存在连续的一阶偏导数；(iv)二、隐函数组定理 第6页/共32页即有 则有如下结论成立：且满足 必定存在邻域 其中 使得 第7页/共32页在 上连续.在 上存在一阶连续偏导 数,且有 本定理的详细证明从略(第二十三章有一般隐函 数定理及其证明),下面只

3、作一粗略的解释:第8页/共32页 由方程组(1)的第一式 确定隐 函数 将 代入方程组(1)的第二式,得 再由此方程确定隐函数 并代回至 这样就得到了一组隐函数 第9页/共32页通过详细计算,又可得出如下一些结果:第10页/共32页例1 设有方程组 试讨论在点 的近旁能确定怎样的隐函 数组？并计算各隐函数在点 处的导数.解 易知点 满足方程组(5).设 第11页/共32页它们在 上有连续的各阶偏导数.再考察 在点 关于所有变量的雅可比矩阵 由于第12页/共32页因此由隐函数组定理可知,在点 近旁可以惟一 地确定隐函数组:但不能肯定 y,z 可否作为 x 的两个隐函数.第13页/共32页运用定理

4、 11.4 的结论 ,可求得隐函数在点 处 的导数值:第14页/共32页*注 通过详细计算,还能求得 这说明 处取极大值,从而知道 在点 的任意小邻域内,对每一个 x 的值,会有 多个 y 的值与之对应.类似地,对每一个 x 的值,也会有多个 z 的值与之对应.所以方程组(5)在点 近旁不能惟一确定以 x 作为自变量的隐函数组.第15页/共32页例 2 设函数 具有连续的偏导数,是由方程组 所确定的隐函数组.试求 解 设 则有 第16页/共32页由此计算所需之雅可比行列式:于是求得 第17页/共32页注 计算隐函数组的偏导数(或导数)比较繁琐,要学懂前两例所演示的方法(利用雅可比矩阵和 雅可比

5、行列式),掌握其中的规律.这里特别需要 “精心细心耐心”.第18页/共32页三、反函数组与坐标变换 设有一函数组 它确定了一个映射(或变换):写成点函数形式,即为 并记 的 象集为 现在的问题是:函数组(6)满足 何种条件时,存在逆变换 即存在 第19页/共32页亦即存在一个函数组 使得满足 这样的函数组(7)称为函数组(6)的反函数组.它 的存在性问题可化为隐函数组的相应问题来处理.第20页/共32页为此,首先把方程组(6)改写为 然后将定理 18.4 应用于(8),即得下述定理.定理 11.5(反函数组定理)设(6)中函数在某区域 上具有连续的一阶偏导数,是 的内点,且 第21页/共32页

6、则在点 的某邻域 内,存在惟一 此外,反函数组(7)在 内存在连续的一阶 的一组反函数(7),使得 偏导数;若记 第22页/共32页则有 同理又有 第23页/共32页由(9)式进一步看到:此式表示:互为反函数组的(6)与(7),它们的雅 可比行列式互为倒数,这和以前熟知的反函数求 导公式相类似.于是可把一元函数的导数和函数组(6)的雅可比行列式看作对应物.第24页/共32页例3 平面上点的直角坐标 与极坐标 之 间的坐标变换为 试讨论它的逆变换.解 由于 因此除原点(r=0)外,在其余一切点处,T 存在 逆变换 第25页/共32页第26页/共32页例4 空间直角坐标 与球坐标 之间 的坐标变换

7、为(见图115)图 115由于 第27页/共32页因此在 (即除去 Oz 轴上的一切点)时,存在逆变换 例5 设有一微分方程(弦振动方程):其中 具有二阶连续偏导数.试问此方程在 坐标变换 之下,将变成何 种形式?第28页/共32页解 据题意,是要把方程(10)变换成以 u,v 作为自 变量的形式.现在按此目标计算如下:首先有 故 T 的逆变换存在,而且又有 依据一阶微分形式不变性,得到 并由此推知 第29页/共32页继续求以 u,v 为自变量的 与 的表达式:最后得到以 u,v 为自变量的 微分方程为 第30页/共32页1.验证:定理 11.4 的结论 可以写成 2.验证:由定理 11.5 的(9)式(课本中为(13)式)可以推得 复习思考题 第31页/共32页感谢您的观看！第32页/共32页