院校资料线性代数.pptx

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1、并且该方程组解的情况完全由它的増广矩阵决定。把方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的变换过程放在一起做对比 増广矩阵第1页/共102页（1）把方程组中第二个方程加上第一个方程的-2倍，把第三个方程加上第一个方程的-1倍，得第2页/共102页（2）交换上面方程组中第二与第三个方程的位置，得 第3页/共102页（3）把上面方程组中的第三个方程加上第二个方程的5倍，得第4页/共102页（4）再把上面方程组中的第三个方程两边同乘以-1/19，得第5页/共102页最后得到的方程组具有这样的特点：自上而下看，未知量的个数依次减少，成为阶梯形（上面用虚线标出阶梯形）方程组。方程组施行了如下三种基本变换：（

2、I）互换两个方程的位置；（II）用一个非零常数乘某一个方程；（III）把一个方程的常数倍加到另一个方程上去。这三种变换都是可逆的，所以变换前后的方程组是同解的，因而也称方程组的这三种基本变换为方程组的同解变换。经过上述消元过程，我们把线性方程组变成一个与它同解的阶梯形线性方程组，而对阶梯形方程组第6页/共102页求解非常容易，因为只需从最后一个方程开始逐步往上代入即可求得方程组的解：显然，此题的求解过程分两步进行：（1）按顺序消元，使方程组变为与之同解并且易于求解的阶梯形方程组；（2）回代求出方程组的解。我们称这种求解线性方程组的方法为高斯消元法。第7页/共102页在上面的运算过程中，实际上只

3、对方程组的系数和常数进行运算，未知量整个过程中，并未参与任何运算，因此每一步都把它们逐一写出是多余的，在计算过程中完全可以把它们隐去，只是这时要注意不要打乱系数的排列顺序。也就是说对方程组的变换完全可以转化为对其增广矩阵的行作相应的变换。把方程组的三种同解变换移植到矩阵上就得到矩阵的三种初等行变换。第8页/共102页（2）以非零数乘矩阵某一行的所有元素（第行乘以数，记作）；定义2.1 矩阵的初等行变换（1）交换矩阵某两行的对应元素（交换第两行对应元素，记作）；倍加到另一行对应的元素行的倍加到第行上去，记作）。（3）把矩阵的某一行元素的上去（第第9页/共102页将上述定义中的“行”改为“列”即为

4、矩阵的初等列变换的定义，其表示方法与行初等变换相仿，只要把换成即可。矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵的初等变换。1.矩阵的三种初等变换都可逆，且它们的逆变换均为与其同类型的初等变换。即的逆变换为的逆变换为的逆变换为的逆变换为的逆变换为的逆变换为第10页/共102页2.用初等变换将矩阵化为，记为（有时为了看清变化的形式，往往会在箭头记号上方加以，通常情况下。说明），但不能记为把矩阵经过若干次初等行变换化为，记为 把矩阵经过若干次初等列变换化为，记为 此时称A与B行等价。此时称A与B列等价。第11页/共102页例2.1的消元过程用矩阵初等行变换形式可简洁地表示为：第12页/共102页2.1.2

5、 矩阵的等价标准形定义2.2 如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵则称矩阵与矩阵等价，记作，等价关系满足下列性质：2 对称性：若，则 3 传递性：若，则1 反身性：第13页/共102页对矩阵施行如下一些初等变换矩阵A，B，C 等价第14页/共102页满足下列两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵。（1）零行（元素全为零的行）都在非零行的下边；（2）非零行的非零首元的下边全是零。矩阵的下方元素全是零，竖线后面第一个元素为非零元；每个台阶只有一行，台阶数即非零行的行数。有如下特点：在该矩阵内可画出一条阶梯线，使横线第15页/共102页对矩阵继续进行初等行变换 第16页/共102页除仍具有行阶梯形矩阵的特点外

6、，它比矩阵更简单，我们称非零行的非零首元是1，并且它所在的列的其它元素都是零的行阶梯形矩阵为行最简形矩阵。对矩阵继续做初等列变换，则矩阵可进一步被简化为第17页/共102页定义2.3若一矩阵可经若干次初等变换化为形如的矩阵，即则称 为该矩阵的等价标准形。第18页/共102页定理2.1 对于任意一个矩阵总可以经过若干次初等变换（行变换和列变换）把它化为等价标准形该标准形由三个数完全确定，其中就是行阶梯形矩阵中的非零行数。第19页/共102页例2.2 用初等变换化矩阵 为行最简形矩阵和标准形矩阵。解 （1）先从矩阵最左边的非零列开始，通过交换它的第1，3两行使矩阵（1，1）位置为非零元，然后利用矩

7、阵的初等行变换将它下方元素变成零，即 第20页/共102页（2）以上述矩阵 的（2，2）位置为准利用矩阵的初等行变换将它下方元素变成零，即 第21页/共102页（3）再以上述矩阵 的非零行的非零首元为准利用矩阵的初等行变换将其上方元素变成零，即 第22页/共102页则上述最后一个矩阵就是所求行最简形矩阵，即 对上述行最简形矩阵继续做初等列变换有：第23页/共102页于是所求矩阵 的标准形矩阵为：第24页/共102页例2.3 设 问矩阵与矩阵是否等价？解 先求矩阵与矩阵的标准形 第25页/共102页，利用等价矩阵的传递性可知：第26页/共102页2.2初等矩阵2.2.1 初等矩阵的概念 定义2.

8、4 由单位矩阵等矩阵。对应于三类初等行（列）变换，初等矩阵有三种：经过一次初等变换得到的矩阵称为初第27页/共102页（1）交换矩阵第两行（或交换第两列）。第28页/共102页（2）以数乘矩阵第行。第29页/共102页（3）把矩阵的第行的倍加到第行（或第 列的 倍加到第列上去）第30页/共102页1.初等矩阵的行列式都不等于零，因此初等矩阵都可逆；2.初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；初等矩阵具有以下性质：第31页/共102页3.初等矩阵的逆矩阵仍是同类初等矩阵第32页/共102页2.2.2 初等变换与初等矩阵关系 矩阵的初等变换是一种运算，而初等矩阵是一些矩阵，有着极其密切的关系，它们是用不同

9、的语言来描述两个矩阵之间的同一种关系。初等矩阵主要用于某些理论推导与证明，初等变换则侧重于对给出具体元素的矩阵进行运算。先看下面的矩阵乘法运算。第33页/共102页第34页/共102页第35页/共102页第36页/共102页第37页/共102页第38页/共102页第39页/共102页阶初等矩阵。定理2.2 设的左边乘上一个相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的右边乘上一个相应的第40页/共102页表示将矩阵的第行乘以非零数;表示将矩阵的第两行交换；表示将矩阵第行的倍加到第行上去；表示将矩阵的第两列交换；表示将矩阵的第列乘以数;倍加到第表示将

10、矩阵第列的列上去。左乘一个矩阵相当于做一次行变换右乘一个矩阵相当于做一次列变换第41页/共102页例2.4 设有初等矩阵求及其逆矩阵。第42页/共102页解 作初等行变换，左乘表示对 表示对左乘作初等行变换第43页/共102页第44页/共102页定理 2.3 可逆矩阵经过初等变换后仍为可逆矩阵。初等矩阵是可逆的，上式说明，当可逆时，是两个可逆矩阵的乘积，也是可逆矩阵。证 设矩阵是通过对施行一次初等行变换而得到的，则存在一个相应的初等矩阵或或或或使得第45页/共102页定理2.4 阶矩阵可逆的充分必要条件是它可以通过初等变换化为单位矩阵。证 由定理2.1以及矩阵的初等变换与初等矩阵的关系，阶初等

11、矩阵可知一定存在，使得其中 为 阶矩阵 的行最简形矩阵。若矩阵 可逆，则由定理2.3可知，上述行最简形矩阵 可逆，从而矩阵 必为单位矩阵，即 第46页/共102页通过一系列初等行变换化为单位矩阵 反之，若矩阵 通过一系列初等行变换化为单位矩阵 即存在 阶初等矩阵，使得 因为初等矩阵是可逆的，所以它们的乘积 也可逆，于是即 阶矩阵 可逆。推论 阶矩阵 可逆的充分必要条件是 有限个初等矩阵的乘积。可以表示为第47页/共102页2.2.3 求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵通常有两种方法：伴随矩阵法和初等变换法，求阶行列式，当个伴随矩阵要计算较大时计算量非常大，所以在实际应用中，伴随矩阵仅作为证明矩阵可逆

12、条件的铺垫，只有较简单的二阶矩阵用伴随矩阵求逆，其余的多采用初等变换法。第48页/共102页把 阶矩阵 与 阶矩阵 排在一起构成 阶矩阵，对此矩阵施行初等行变换，则当把矩阵 位矩阵 变为单 时，原来的单位矩阵 就变成了，即 类似地，对矩阵 施行初等列变换，则当把矩阵 变为单 位矩阵 时，原来的单位矩阵 就变成了，即 第49页/共102页这种求逆矩阵的方法和以前用伴随矩阵求逆矩阵的方法相比较，由于求伴随矩阵要计算个 所以当 阶行列式，较大时用初等变换法求逆矩阵计算量要小得多，因此在实际应用中，只有对较简单的二阶矩阵用伴随矩阵方法求逆，其余的多采用初等变换法求逆。另外，用初等变换法求逆矩阵时，不必

13、先考虑逆矩阵是否存在，只要注意在进行初等变换的过程中，如果与中有零行，就可断定矩阵 等价的矩阵不可逆。第50页/共102页例2.5 求矩阵 的逆 解 第51页/共102页第52页/共102页第53页/共102页同理，利用矩阵的初等行变换还可以解某些矩阵方程 如果矩阵（或）可逆，则方程有解,为直接求得此解，可以构造阶矩阵，对此矩阵施行初等行变换，则当把矩阵变为单位矩阵时，原来的矩阵就变成了即第54页/共102页类似地，利用矩阵的初等列变换还可以解某些矩阵方程如果矩阵可逆，则方程有解，为直接求得此解，构造阶矩阵，对此矩阵施行初等列变换，则当把矩阵变为单位矩阵时，原来的矩阵就变成了即第55页/共10

14、2页解 例2.62.6 机器人手臂的转动常用矩阵表示其中的元素为转动角的逆阵的三角函数值求下面转动矩阵第56页/共102页所以 第57页/共102页例2.7 某工厂检验室有甲、乙两种不同的化学原料，甲种原料分别含锌与镁10%与20%，乙种原料分别含锌与镁10%与30%，现在要用这两种原料分别配制、两种试剂，试剂需含锌、镁各2g、5g，试剂需含锌、镁各1g、2g、两种试剂分别需要甲、乙两种化学原料各多少g？问配制解一 设配制试剂需要甲、乙两种化学原料分别为；配制试剂需要甲、乙两种化学原料分别为，根据题意，得如下矩阵方程第58页/共102页设则，下面用初等变换求第59页/共102页即配制试剂分别需

15、要甲、乙两种化学原料各10g，配制试剂需要甲、乙两种化学原料各10g、0g第60页/共102页解2 此过程可通过初等行变换实现第61页/共102页使得 证 必要性.若，则存在 阶可逆矩阵 和 令 和，即得 充分性 若 存在 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵 使得 于是即 定理2.5 设 都是 矩阵，则 等价的充分必要条件阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵，使得 是存在第62页/共102页2.3矩阵的秩 2.3.1 矩阵的秩的概念定义2.5 在一个 矩阵 中，任取 行 列 位于这些行列交叉点处的 个元素按它们在 中位置次序组成的 阶行列式，称之为矩阵 的一个 阶子式。一个矩阵的 阶子式共有个。特别地，阶方阵只

16、有一个阶子式，即方阵的行列式第63页/共102页例如 在矩阵个三阶子式，而选定1,2,3行和1,2,4列的子式为 中，可选出第64页/共102页定义2.6 如果矩阵 中有一个 阶子式 ，且所有的 阶子式（如果存在的话）的值都等于0，则称 为矩阵的一个最高阶非零子式，其阶数 称为矩阵 的 秩，记作 或【注】（1）规定零矩阵的秩为零。（2）设 是 矩阵，若，则称 为行满秩矩阵；若，则称 列满秩矩阵。（3）若 阶矩阵 的秩，则称 为满秩矩阵；若，则称 为降秩矩阵。第65页/共102页（4）由于行列式行列互换后其值不变，而的每一个子式都是的某个子式的转置，因此的非零子式的最高阶数与即矩阵的转置不改变矩

17、阵的秩，的非零子式的最高阶数相同，第66页/共102页2.3.2 矩阵秩的计算1用矩阵秩的定义求矩阵秩例2.8 求矩阵 的秩 解 计算它的二阶子式，因为 继续计算它的三阶子式 由于该矩阵共有四个三阶子式均为零，找到一个二阶非零子式则秩大于等于2第67页/共102页例2.9 求矩阵的秩解所以是一个行阶梯形矩阵，它的非零行有2行，即知的所有3阶子式全为零，而以两个非零行的非零首元为对角线元素的2阶子式第68页/共102页2用初等变换求矩阵的秩（此为较常用的方法）能否利用矩阵的初等变换把一般的矩阵“变成”一个与之同秩的行阶梯形矩阵 第69页/共102页定理2.6 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若

18、则 推论推论 设是矩阵，是阶满秩矩阵，是阶满秩矩阵，则必有 第70页/共102页证 因为 是 阶满秩矩阵，所以矩阵 可逆 从而 可分解为有限个初等矩阵的乘积，于是 可视为对矩阵 施行有限次初等行变换，由定理2.6便知，同理可证第71页/共102页例2.10 求矩阵 的秩 解 利用初等行变换化矩阵 为行阶梯形矩阵：第72页/共102页因为 所以 第73页/共102页例2.11 设矩阵 问 何值时，有 解 对矩阵施行初等行变换，将其变成行阶梯形，有当时，当时，在任何时候都不可能有第74页/共102页2.4 线性方程组的求解2.4.1 线性方程组的基本概念含的线性方程组的一般形式为个方程个未知量第7

19、5页/共102页若记 则称矩阵 为系数矩阵,矩阵 为增广矩阵，称矩阵 为常数项矩阵。第76页/共102页写成矩阵乘积形式 当常数项矩阵 为零矩阵时，称方程组为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。若用常数 依次代替方程组中的 方程组中的 个方程均成为恒等式，则称 为方程组的一个解，并称列向量 为线性方程组的解向量，或称是方程 的解。第77页/共102页线性方程组有解，称该方程组为相容的，否则称为不相容的。如果线性方程组中的方程个数与未知量个数相同，并且其系数矩阵满秩，那么可有以下三种求解方法：（1）克拉默法则；（2）逆矩阵；（3）高斯消元法。第78页/共102页2.4.2 线性方程组解的判别

20、例2.12 用高斯消元法求解线性方程组：解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换第79页/共102页第80页/共102页则原方程组的同解方程组为：用“回代”的方法求出解：此方程组有无穷多组解。令 第81页/共102页例2.13 讨论方程组的解。解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换第82页/共102页原方程组的同解方程组为最后一个方程为矛盾方程，说明方程组无解，即原方程组是不相容的。第83页/共102页方程组的解的情况可以归结为：有惟一解，有无穷多解和无解三种情况 定理2.7 线性方程组相容的充分必要条件是它的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。定理2.8 若线性方程组是相容的，则当系数矩阵的秩 时，方

21、程组有无穷多组解；当系数矩阵的秩 方程组有惟一解。时，第84页/共102页推论 设齐次线性方程组的系数矩阵为 则当 时，方程组有惟一解，即零解；当 时，方程组有无穷多解，即有非零解。第85页/共102页例2.14 设线性方程组为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解。解 方程组可变形为第86页/共102页此方程组为齐次的，对该方程组的系数矩阵施行初等行变换第87页/共102页故当，且 时，方程组有惟一零解；第88页/共102页当 时，方程组有无穷多解，即 对应的方程组为：，取 为自由未知量，则方程组的解为：其中 可任意取值；第89页/共102页当时，方程组有无穷多解，对应的方程组为：第90页

22、/共102页取 为自由未知量，则方程组的解为：其中 可任意取值。第91页/共102页例2.15 已知一电路如图所示，求电流 的值 第92页/共102页解：利用基尔霍夫定律 对此方程组的增广矩阵施行初等行变换第93页/共102页第94页/共102页原方程组有惟一解：第95页/共102页例2.16（运输问题）设有两个仓库中分别存有某种17及11个单位量的商品，现将商品提供给三个商店去出售，其需要量分别是9、12及7个单位。若以表示从第 号仓库送到第 号商店的商品量，则在考虑第1号商店时，应有 等。试写出其他四个必须满足的等式，说明总的方程组是相容的，并求出所有解解 第96页/共102页因为仓库中有

23、商品量共个单位，提供给三个商店所列方程组是相容的，由增广矩阵总量是个单位，供需是平衡的，第97页/共102页取 为自由未知量，则方程组的解为第98页/共102页为任意常数 第99页/共102页【注】1、对于含参数的矩阵作初等变换时，若需要对某些因式作变换，应注意因式可以等于零，必须对因式等于零的情况另作讨论.2、求解一般线性方程组可分如以几步进行：n（1）写出方程组的增广矩阵。n（2）对方程组的增广矩阵施行初等行变换，将其化为行阶梯形，因为行阶梯形矩阵的非零行数即为矩阵的秩，所以由行阶梯形可判断系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等，也就是判断出方程组是否有解，如果没有解，停止；否则进行下一步。第100页/共102页（3）继续对增广矩阵施行初等行变换，将它化为行最简形，写出该行最简形矩阵所对应的方程组。（4）把第（3）步所得每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式，即得方程组的一般解。第101页/共102页感谢您的观看！第102页/共102页