隐函数偏微分法.pptx

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1、本节讨论本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当 C 0 时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共33页一、一个方程所确定的隐函数及其导一、一个方程所确定的隐函数及其导数数定理1.1.设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数第2页/共33页两边对 x 求导在的某邻域内则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共33

2、页若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数二阶导数:则还有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共33页例例1.验证方程验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:令连续,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求第5页/共33页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共33页两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x=0,注意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共33页定理定理2.若函数 的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单

3、值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共33页两边对 x 求偏导同样可得则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共33页例例2.设设解法1 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导第10页/共33页解法解法2 利用公利用公式式设则两边对 x 求偏导机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共33页例例3.设F(x,y)具有连续偏导数,解法1 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故第12页/共33页对方程两边求微分:解

4、法2 微分法.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共33页二、方程组所确定的隐函数组及其导二、方程组所确定的隐函数组及其导数数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共33页定理定理3.3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数且有偏导数公式:在点的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共33页定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P34-P35)机动 目录 上页

5、 下页 返回 结束 第16页/共33页有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组设方程组在点P 的某邻域内公式 目录 上页 下页 返回 结束 故得系数行列式第17页/共33页同样可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共33页例例4.设设解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习:求机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案:由题设故有第19页/共33页例例5.5.设函数设函数在点(u,v)的某一1)证明函数组(x,y)的某一邻域内2)求解:1)令对 x,y 的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数机动 目录 上页 下页 返

6、回 结束 第20页/共33页式两边对 x 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有由定理 3 可知结论 1)成立.2)求反函数的偏导数.第21页/共33页机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得第22页/共33页机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得第23页/共33页例例5的应用的应用:计算极坐标变换计算极坐标变换的反变换的导数.同样有所以由于机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共33页内容小结内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用

7、微分形式不变性;方法3.代公式思考与练习设求机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共33页提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共33页解法解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导利用全微分形式不变性同时求出各偏导数数.作业 P37 3,6，7,9,10(1);(3)，11第六节 目录 上页 下页 返回 结束 由d y,d z 的系数即可得第27页/共33页备用题备用题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得(2001考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解得因此第28页/共33页2.设设是由方程和所确定的函数,求解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得(99考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共33页解法解法2 微分微分法法.对各方程两边分别求微分:化简得消去机动 目录 上页 下页 返回 结束 可得第30页/共33页感谢您的观看！第33页/共33页