初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-转化灵活的圆中角.pdf

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1、 1 初中数学竞赛辅导讲义-转化灵活的圆中角 角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化 根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来 熟悉以下基本图形、基本结论 注：根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角的顶点在圆外或圆内，我们可以定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的

2、关系?读者可自行作一番探讨【例题求解】【例 1】如图，直线 AB 与O 相交于 A，B 再点，点 O 在 AB 上，点 C 在O 上，且AOC40，点 E 是直线 AB 上一个动点(与点 O 不重合)，直线 EC 交O 于另一点 D，则使 DE=DO 的点正共有 个 思路点拨 在直线 AB 上使 DE=DO 的动点 E 与O 有怎样的位置关系?分点 E 在 AB 上(E 在O 内)、在 BA 或 AB 的延长线上(E 点在O 外)三种情况考虑，通过角度的计算，确定 E 点位置、存在的个数 注：弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法 【例 2】如图

3、，已知ABC 为等腰直角三形，D 为斜边 BC 的中点，经过点 A、D 的O与边 AB、AC、BC 分别相交于点 E、F、M，对于如下五个结论：FMC=45；AE+AFAB；BCBAEFED；2BM2=BFBA；四边形 AEMF 为矩形其中正确结论的个数是()A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 思路点拨 充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证 2 注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择【例 3】如图，已知四边形 ABCD 外接O 的半径为 5，对角线 AC 与 BD 的交点为

4、 E，且 AB2=AEAC，BD8，求ABD 的面积 思路点拨 由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得 A 为弧 BD 中点，这是解本例的关键 【例 4】如图，已知 AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，连结 AC，过点 C 作直线 CDAB 于 D(ADDB)，点 E 是 AB 上任意一点(点 D、B 除外)，直线 CE 交O 于点 F，连结AF 与直线 CD 交于点 G (1)求证：AC2=AGAF；(2)若点 E 是 AD(点 A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由 思路点拨 (1)作出圆中常用辅助线证明ACGAFC；（2）判断上

5、述结论在 E 点运动的情况下是否成立，依题意准确画出图形是关键 注：构造直径上 90的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件【例 5】如图，圆内接六边形 ABCDEF 满足 AB=CD=EF，且对角线 AD、BE、CF 相交于一点 Q，设 AD 与 CF 的交点为 P 求证：（1）ECACEDQD；(2)22CEACPECP 思路点拨 解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多对相似三角形(1)证明QDEACF；(2)易证DEQCPECP，通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明 3 注：有些几何问题虽然表面与圆无关

6、，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有：(1)利用圆的定义判定；(2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定 学历训练 1一条弦把圆分成 2：3 两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 2如图，AB 是O 的直径，C、D、E 都是O 上的一点，则1+2=3如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，F 是 CG 的中点，延长 AF 交O 于 E，CF=2，AF=3，则 EF 的长为 4 如图，已知ABC 内接于O，AB+AC=12，ADBC 于 D，AD3，设O 的半径为y，AB 的长为x，用x的代数式表示y，y=5如图，ABCD 是O

7、的内接四边形，延长 BC 到 E，已知BCD：ECD3：2，那么BOD 等于()A120 B136 C144 D150 6如图，O 中，弦 ADBC，DA=DC，AOC=160，则BOC 等于()A20 B30 C40 D50 7如图，BC 为半圆 O 的直径，A、D 为半圆 O 上两点，AB=3，BC=2，则D 的度数为()A60 B 120 C 135 D150 8如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，点 P 是弧 AC 上一点(点 P 不与 A、C 两点重合)，连结 PC、PD、PA、AD，点 E 在 AP 的延长线上，PD 与 AB 交于点 F给出下列四个结论：CH2=AHBH；AD

8、=AC；AD2=DFDP；EPC=APD，其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4 9如图，已知 B 正是ABC 的外接圆 O 的直径，CD 是ABC 的高 (1)求证：ACBC=BECD；4(2)已知 CD=6，AD=3，BD=8，求O 的直径 BE 的长 10如图，已知 AD 是ABC 外角EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D，延长 DA 交ABC 的外接圆于点 F，连结 FB，FC (1)求证：FB=FC；(2)求证：FB2=FAFD；(3)若 AB 是ABC 的外接圆的直径，EAC=120，BC=6cm，求 AD 的长 11如图，B、C 是线段 AD 的两个三等分点，P 是以

9、 BC 为直径的圆周上的任意一点(B、C点除外)，则 tanAPBtanCPD=12如图，在圆内接四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=60，AC=a，则四边形 ABCD的面积为 13如图，圆内接四边形 ABCD 中，A60，B90，AD=3，CD=2，则 BC=14如图，AB 是半圆的直径，D 是 AC 的中点，B=40，则A 等于()A60 B50 C80 D70 15如图，已知 ABCD 是一个以 AD 为直径的圆内接四边形，AB=5，PC=4，分别延长 AB和 DC，它们相交于 P，若APD=60，则O 的面积为()A25 B16 C15 D13 (2001 年绍兴市竞赛题)5 1

10、6如图，AD 是 RtABC 的斜边 BC 上的高，AB=AC，过 A、D 两点的圆与 AB、AC 分别相交于点 E、F，弦 EF 与 AD 相交于点 G，则图中与GDE 相似的三角形的个数为()A5 B4 C3 D2 17 如图，已知四边形 ABCD 外接圆O 的半径为 2，对角线 AC 与 BD 的交点为 E，AE=EC，AB=2AE，且 BD=32，求四边形 ABCD 的面积 18如图，已知 ABCD 为O 的内接四边形，E 是 BD 上的一点，且有BAE=DAC 求证：(1)ABEACD；(2)ABDC+ADB CACBD 19如图，已知 P 是O 直径 AB 延长线上的一点，直线 PCD 交O 于 C、D 两点，弦 DFAB 于点 H，CF 交 AB 于点 E (1)求证：PAPB=POPE；(2)若 DECF，P=15，O 的半径为 2，求弦 CF 的长 20如图，ABC 内接于O，BC=4，SABC=36，B 为锐角，且关于x的方程01cos42Bxx有两个相等的实数根，D 是劣弧 AC 上任一点(点 D 不与点 A、C 重合)，DE 平分ADC，交O 于点 E，交 AC 于点 F (1)求B 的度数；(2)求 CE 的长；(3)求证：DA、DC 的长是方程02DFDEyDEy的两个实数根 6 参考答案 7