四年级奥数附小学奥数常用公式.pdf

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1、四年级奥数附小学奥数常用公式 2.比较 比较下面两个积的大小：A987654321123456789，B987654322123456788.分析 经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小 1，但 A 的第二个因数的个位数字比 B 的第二个因数的个位数字大 1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道 A 和 B 哪个大.但是无论是对 A 或是对 B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将 A 和 B 先进行恒等变形，再作判断.解：A987654321123456789 987654321（1234567881）987654321123456788987654321

2、.B987654322123456788 （9876543211）123456788 987654321123456788123456788.因为 987654321123456788，所以 AB.2.得多少分 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：用我得的分数减去 8 加上 10，再除以 7，最后乘以 4，得 56.小朋友，你知道于昆得多少分吗？分析 这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去 8，加上 10，再除以 7，乘以 4，结果是 56.求这个数是多少？把一个

3、数用来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：（8）107456.如何求出中的数呢？我们可以从结果 56 出发倒推回去.因为56 是乘以 4 后得到的，而乘以 4 之前是 56414.14 是除以 7 后得到的，除以 7 之前是 14798.98 是加 10 后得到的，加 10 以前是98-1088.88 是减 8 以后得到的，减 8 以前是 88896.这样倒推使问题得解.解（8）107456 （8）107564 答：于昆这次数学考试成绩是 96 分.2.等差数列 求等差数列 1，6，11，16的第 20 项.解：首项 a1=1，又因为 a2；大于 a1；，公差 d=6-1=5，所以运用公式

4、（1）可知：第 20 项 a20=a1=（20-1）5=1+195=96.2.应用题综合 在一次象棋比赛中,规定每个选手必须与其他选手恰好比赛一盘,胜者得 2 分,负者不得分,平局各得 1 分.现有五名工作人员分别统计了全部选手的得分总数,各为:131 分,132 分,133 分,134 分和 135 分 当然,至少有四个数是错的.经核实,确有一个人统计结果正确.那么,有_名选手参加比赛?解答：参赛选手有 12 名.参赛选手中每两人赛一盘,与若干个点、每两点连一条线段相当.可用数线段方法算出比赛的总盘数,每盘提供 2 分.不论赛多少盘,选手所得的总分应是偶数,所以,131 分,133 分和13

5、5 分必不对.1.排列 由数字 0，1，2，3，4 组成三位数，可以组成多少个无重复数字的三位偶数？解答：因为要求组成无重复数字的三位偶数，那么个位只能填 0，2，4。（1）若个位填 0，从剩下的 4 个非零数字中选一个填百位，再从剩下的 3 个数字中选任选一个来天填十位，有：143=12 个；（2）若个位填 2 或 4，从剩下的三个非零数字中选一个来填百位，再从剩下的 3 个数字中任选一个来填十位，有 233=18 个。因此，所有满足条件的三位数共有：12+18=30（个）2.容斥原理 芳草地小学四年级有 68 人学钢琴，48 人学画画，42 人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有

6、多少人？解答：48-42=6（人）1.统筹问题 小熊、小马、小牛、和小鹿各拿一只水桶同时到一个水龙头前接水，它们只能一个接一个地接水。小熊接一桶水要 5 分钟，小马要 3分钟，小牛要 7 分钟，小鹿要 2 分钟。（1）要使它们等候时间（等候时间包括接水时间）的总和最少，应该怎样安排它们的接水顺序？（2）它们等候时间的总和最少是多少分钟？解答：小鹿-小马-小熊-小牛 2+2+3+2+3+5+2+3+5+7=34（分）2.计算 1000+999-998-997+996+995-994-993+108+107-106-105+104+103-102-101 解答：1000+999-998-997+9

7、96+995-994-993+108+107-106-105+104+103-102-101 =1000+（999-998-997+996）+（995-994-993+992）+108+（107-106-105+104）+（103-102）-101 =1000+0+0+0+1-101 =900 1.行程问题 小明以每分钟 50 米的速度从学校步行回家，12 分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校 1000 米处追上小明，求小强骑自行车的速度。解答：小强追上小明时间：（1000-1250）50=8（分钟）小强速度为 10008=125（米/分）2.定义新运算 x、y表示两个数，规定新

8、运算*及#如下x*y=mx+ny，x#y=kxy，其中 m、n、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）#4=64，求（1#2）*3 的值 解答：因为 1*2=m1+n2=5 所以有 m+2n=5。又因为 m、n 均为自然数，所以解出：m=1，n=2 或 m=3，n=1 （1）当 m=1，n=2 时 （2*3）#4=（13+23）#4=8#4=k84=32k，有 32k=64，解出 k=2.（2）当 m=3，n=1 时 （2*3）#4=（32+13）#4=9#4=36k=64 解得 k 不为自然数，所以此情况舍去。所以 m=1，n=2，k=2 （1#2）*3=（212）*3=4*3=14+

9、23=10 1.行程问题 一辆汽车从甲地出发到 300 千米外的乙地去，前 120 千米的平均速度为 40 千米时，要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为 50千米时，剩下的路程应以什么速度行驶？解答：求速度首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程与总时间的关系，剩下的路程为：300-120=180(千米)，计划总时间为：30050=6(小时)，前 120 千米已用去 12040=3(小时)，所以剩下路程的速度为:（300-120）（6=-3）=60(千米/时)【小结】在行程问题中，从所求结果逆推是常用而且有效的方法 2.火车过桥 一列火车长 180 米，全车通过一座桥需要 40 秒钟，这

10、列火车每秒行 15 米，求这座桥的长度 解答：420 米 【小结】全车通过桥是指从火车车头上桥直到火车车尾离桥，即火车行驶的路程是桥的长度与火车的长度之和，已知火车的速度以及过桥时间，所以这列车 40 秒钟走过:4015=600(米)，桥的长度为：600-180=420(米)1.统筹规划 烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3 分钟，那么用一次可容下 2 块饼的锅来烙 9 块饼，至少需要多少分钟？解答：27 分钟 【小结】先将两块饼同时放人锅内一起烙，3 分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了 3 分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将

11、第一块放入烙另一面，再烙 3 分钟，锅内的两块饼均已烙熟这样烙 3 块饼，用去 9 分钟，所以烙 21 块饼，至少用 939=27(分钟)小学四年级奥数天天练：排列组合问题 只由数字 1 和 2 组成且数字和为 7 的自然数的个数是 个 1.排列、组合等问题 从 6 幅国画，4 幅油画，2 幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？解答：6424 种 6212 种 428 种 2412844 种 【小结】首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理。当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理。由此可知这是一道利用两个

12、原理的综合题。关键是正确把握原理。符合要求的选法可分三类：设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在 6 张国画中选 1 张，第二步再在 4 张油画中选 1 张。由乘法原理有 6424 种选法。第二类为：国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 6212 种选法。第三类为：油画、水彩画各一幅，由乘法原理有 428 种选法。这三类是各自独立发生互不相干进行的。因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 2412844 种。2.排列组合 从 1 到 100 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个?解答：从 1 到 100 的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数

13、一位数中，不含 4 的有 8 个，它们是 1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含 4 的可以这样考虑：十位上，不含 4 的有 l、2、3、5、6、7、8、9 这八种情况个位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有 89=72 个数不含 4 三位数只有 100 所以一共有 8+89+1=81 个不含 4 的自然数 1.奇偶性问题 你能不能将自然数 2 到 10 分别填入 33 的方格中，使得每个横行中的三个数之和都是奇数？【小结】不能如果能，我们把三个横行的和相加，其和就是三个奇数之和必为奇数

14、数，然而它也恰是九个数之和，即 2+3+4+10=54，根据任何一个奇数一定不等于任何一个偶数，所以不能做到 2.盈亏问题 A、B 两人买了相同张数的信纸 A 在每个信封里装 1 张信纸，最后用完所有的信封还剩 40 张信纸：B 在每个信封里装 3 张信纸，最后用完所有的信纸还剩 40 个信封他们都买了 张信纸 解答：每个信封先放一张纸，就多出 40 张纸.再将 40 个信封中的纸拿出来，就会有 80 张纸，此时再将这 80 张纸放入还有着一张纸的信封，每封放 2 张，由题意，恰好放完，所以这样的信封有 802=40 个。所以信纸有 80+40=120 张.【小结】这种类型的题目不能直接计算，

15、要将其中的一个条件转化，使之转化为基本的盈亏问题 1.行程问题 小明以每分钟 50 米的速度从学校步行回家，12 分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校 1000 米处追上小明，求小强骑自行车的速度。解答：小强追上小明时间：（1000-1250）50=8（分钟）小强速度为 10008=125（米/分）2.定义新运算 x、y表示两个数，规定新运算*及#如下x*y=mx+ny，x#y=kxy，其中 m、n、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）#4=64，求（1#2）*3 的值 解答：因为 1*2=m1+n2=5 所以有 m+2n=5。又因为 m、n 均为自然数，所以解出：m=1

16、，n=2 或 m=3，n=1 （1）当 m=1，n=2 时 （2*3）#4=（13+23）#4=8#4=k84=32k，有 32k=64，解出 k=2.（2）当 m=3，n=1 时 （2*3）#4=（32+13）#4=9#4=36k=64 解得 k 不为自然数，所以此情况舍去。所以 m=1，n=2，k=2 （1#2）*3=（212）*3=4*3=14+23=10 1.统筹问题 小熊、小马、小牛、和小鹿各拿一只水桶同时到一个水龙头前接水，它们只能一个接一个地接水。小熊接一桶水要 5 分钟，小马要 3分钟，小牛要 7 分钟，小鹿要 2 分钟。（1）要使它们等候时间（等候时间包括接水时间）的总和最少

17、，应该怎样安排它们的接水顺序？（2）它们等候时间的总和最少是多少分钟？解答：小鹿-小马-小熊-小牛 2+2+3+2+3+5+2+3+5+7=34（分）2.计算 1000+999-998-997+996+995-994-993+108+107-106-105+104+103-102-101 解答：1000+999-998-997+996+995-994-993+108+107-106-105+104+103-102-101 =1000+（999-998-997+996）+（995-994-993+992）+108+（107-106-105+104）+（103-102）-101 =1000+0+0

18、+0+1-101 =900 1.行程问题 一辆汽车从甲地出发到 300 千米外的乙地去，前 120 千米的平均速度为 40 千米时，要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为 50千米时，剩下的路程应以什么速度行驶？解答：求速度首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程与总时间的关系，剩下的路程为：300-120=180(千米)，计划总时间为：30050=6(小时)，前 120 千米已用去 12040=3(小时)，所以剩下路程的速度为:（300-120）（6=-3）=60(千米/时)【小结】在行程问题中，从所求结果逆推是常用而且有效的方法 2.火车过桥 一列火车长 180 米，全车通过一座桥需要

19、 40 秒钟，这列火车每秒行 15 米，求这座桥的长度 解答：420 米 【小结】全车通过桥是指从火车车头上桥直到火车车尾离桥，即火车行驶的路程是桥的长度与火车的长度之和，已知火车的速度以及过桥时间，所以这列车 40 秒钟走过:4015=600(米)，桥的长度为：600-180=420(米)1.面积 如下图（a），计算这个格点多边形的面积.分析 这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是 6、宽是 4 的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是

20、所要求的三角形面积.解：矩形面积是 64=24.直角三角形的面积是：6226.直角三角形的面积是：422=4，直角三角形的面积是：422=4.所求三角形的面积是：24-（644）=10（面积单位）.2.等差数列 求等差数列 1，6，11，16的第 20 项.解：首项 a1=1，又因为 a2；大于 a1；，公差 d=6-1=5，所以运用公式（1）可知：第 20 项 a20=a1=（20-1）5=1+195=96.3.排列 由数字 0，1，2，3，4 组成三位数，可以组成多少个不相等的三位数？解答：要求组成不相等的三位数，所以，数字可以重复使用。个位可填 0，1，2，3，4 中的任意一个，十位也一

21、样，百位不能填 0，要将三个数位填满才组成三位数，这是分步完成，所以用乘法原理，共有 个。4.排列 由数字 0，1，2，3，4 组成三位数，可以组成多少个无重复数字的三位偶数？解答：因为要求组成无重复数字的三位偶数，那么个位只能填 0，2，4。（1）若个位填 0，从剩下的 4 个非零数字中选一个填百位，再从剩下的 3 个数字中选任选一个来天填十位，有：143=12 个；（2）若个位填 2 或 4，从剩下的三个非零数字中选一个来填百位，再从剩下的 3 个数字中任选一个来填十位，有 233=18 个。因此，所有满足条件的三位数共有：12+18=30（个）1.奇偶性问题 你能不能将自然数 2 到 1

22、0 分别填入 33 的方格中，使得每个横行中的三个数之和都是奇数？【小结】不能如果能，我们把三个横行的和相加，其和就是三个奇数之和必为奇数数，然而它也恰是九个数之和，即 2+3+4+10=54，根据任何一个奇数一定不等于任何一个偶数，所以不能做到 2.盈亏问题 A、B 两人买了相同张数的信纸 A 在每个信封里装 1 张信纸，最后用完所有的信封还剩 40 张信纸：B 在每个信封里装 3 张信纸，最后用完所有的信纸还剩 40 个信封他们都买了 张信纸 解答：每个信封先放一张纸，就多出 40 张纸.再将 40 个信封中的纸拿出来，就会有 80 张纸，此时再将这 80 张纸放入还有着一张纸的信封，每封

23、放 2 张，由题意，恰好放完，所以这样的信封有 802=40 个。所以信纸有 80+40=120 张.【小结】这种类型的题目不能直接计算，要将其中的一个条件转化，使之转化为基本的盈亏问题 1.奇偶性 把 11 个苹果分给三个小朋友，要求每个小朋友分得偶数个苹果，怎样分？解答：由乘法原理 共可组成 344=48（个）不同的三位数；共可组成 332=18（个）没有重复数字的三位数 2.组合问题 从 5 幅国画，3 幅油画，2 幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？解答：5315 种 5210 种 326 种 1510631 种 【小结】首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅

24、不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理。当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理。由此可知这是一道利用两个原理的综合题。关键是正确把握原理。符合要求的选法可分三类：设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在 5 张国画中选 1 张，第二步再在 3 张油画中选 1 张。由乘法原理有 5315 种选法。第二类为：国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5210 种选法。第三类为：油画、水彩画各一幅，由乘法原理有 326 种选法。这三类是各自独立发生互不相干进行的。因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 1510631 种。1.排列组合原理 如下图，从

25、甲地到乙地有 4 条路可走，从乙地到丙地有 2 条路可走，从甲地到丙地有 3 条路可走。那么，从甲地到丙地共有多少种走法？解答：42+3=11（种）【小结】分析题意，从甲地到丙地，先看是用加法原理还是乘法原理，判断好方法，然后简单计算就可以了。从甲地到丙地共有两大类不同的走法，用加法原理。第一类，由甲地途经乙地到丙地。这时，要分两步走，第一步从甲地到乙地，有 4 种走法；第二步从乙地到丙地共 2 种走法，所以要用乘法原理，这时共有 42 种不同的走法。第二类，由甲地直接到丙地，由条件知，有 3 种不同的走法。由加法原理知，由甲地到丙地共有：42+3=11（种）不同的走法。答：从甲地到丙地有 1

26、1 种不同的走法。2.排列组合问题 国家举行足球赛，共 15 个队参加。比赛时，先分成两个组，第一组 8 个队，第二组 7 个队。各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）。然后再由各组的前两名共 4 个队进行单循环赛，决出冠亚军。问：共需比赛多少场？如果实行主客场制（即A、B 两个队比赛时，既要在 A 队所在的城市比赛一 场，也要在 B 队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？1.平均分 A,B,C,D,E 5 人在一次满分为 100 分的考试中,得分都是大于 91的整数.如果 A,B,C 的平均分是 95 分;B,C,D 的平均分是 94;A 是第一名;E 是第三名得 96

27、分,问 D 得了_分.解答：D 得了 97 分.分析 B、C、D 中谁是第二名.如果 B 是第二名,由 E 得 96 分,A,B得至少 97.A,B,C 三人平均 95 分 953-972=91,C 最多 91 分,与题目条件不符合.同样道理 C 也不是第二名.只能 D 是第二名.D 最少 97分,A 最少 100 分.2.应用题综合 在一次象棋比赛中,规定每个选手必须与其他选手恰好比赛一盘,胜者得 2 分,负者不得分,平局各得 1 分.现有五名工作人员分别统计了全部选手的得分总数,各为:131 分,132 分,133 分,134 分和 135 分 当然,至少有四个数是错的.经核实,确有一个人

28、统计结果正确.那么,有_名选手参加比赛?解答：参赛选手有 12 名.参赛选手中每两人赛一盘,与若干个点、每两点连一条线段相当.可用数线段方法算出比赛的总盘数,每盘提供 2 分.不论赛多少盘,选手所得的总分应是偶数,所以,131 分,133 分和135 分必不对.小学奥数常用公式 1、每份数份数总数 总数每份数份数 总数份数每份数 2、1 倍数倍数几倍数 几倍数1 倍数倍数 几倍数倍数1 倍数 3、速度时间路程 路程速度时间 路程时间速度 4、单价数量总价 总价单价数量 总价数量单价 5、工作效率工作时间工作总量 工作总量工作效率工作时间 工作总量工作时间工作效率 6、正方形 C 周长 S 面积

29、 a 边长 周长边长 4 C=4a 面积=边长边长 S=aa 7、正方体 V:体积 a:棱长 表面积=棱长棱长6 S 表=aa6 体积=棱长棱长棱长 V=aaa 8、长方形 C 周长 S 面积 a 边长 周长=(长+宽)2 C=2(a+b)面积=长宽 S=ab 9、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b:宽 h:高(1)表面积(长宽+长高+宽高)2 S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长宽高 V=abh 10、三角形 s 面积 a 底 h 高 面积=底高2 s=ah2 三角形高=面积 2底三角形底=面积 2高 11、平行四边形 s 面积 a 底 h 高 面积=底高 s=ah 12、梯形 s

30、面积 a 上底 b 下底 h 高面积=(上底+下底)高2 s=(a+b)h2 13、圆形 S 面积 C 周长 d=直径 r=半径(1)周长=直径=2半径 C=d=2r(2)面积=半径半径 14、圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长(1)侧面积=底面周长高(2)表面积=侧面积+底面积2(3)体积=底面积高（4）体积侧面积2半径 15、圆锥体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 体积=底面积高3 总数总份数平均数 16、和差问题的公式(和差)2大数(和差)2小数 17、和倍问题 和(倍数1)小数 小数倍数大数(或者 和小数大数)18、差倍问题 差(倍数1)小数

31、小数倍数大数(或 小数差大数)19、植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:如果在非封闭线路的两端都要植树,那:株数段数1全长株距1 全长株距(株数1)株距全长(株数1)如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那就这样:株数段数全长株距全长株距株数 株距全长株数 如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:株数段数1全长株距1 全长株距(株数1)株距全长(株数1)2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下：株数段数全长株距 全长株距株数 株距全长株数 20、盈亏问题(盈亏)两次分配量之差参加分配的份数(大盈小盈)两次分配量之差参加分配的份数(大亏小亏)两次分配量之差参加分配的

32、份数 21、相遇问题 相遇路程速度和相遇时间 相遇时间相遇路程速度和速度和相遇路程相遇时间 22、追及问题 追及距离速度差追及时间 追及时间追及距离速度差速度差追及距离追及时间 23、流水问题 顺流速度静水速度水流速度 逆流速度静水速度水流速度静水速度(顺流速度逆流速度)2 水流速度(顺流速度逆流速度)2 24、浓度问题 溶质的重量溶剂的重量溶液的重量 溶质的重量溶液的重量100%浓度溶液的重量浓度溶质的重量溶质的重量浓度溶液的重量 25、利润与折扣问题 利润售出价成本 利润率利润成本100%(售出价成本1)100%涨跌金额本金涨跌百分比折扣实际售价原售价100%(折扣1)利息本金利率时间税后利息本金利率时间(120%)