平面向量的概念、运算及平面向量基本定理.pdf

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1、.-0505平面向量的概念、运算及平面向量基本定理平面向量的概念、运算及平面向量基本定理突破点突破点(一一)平面向量的有关概念平面向量的有关概念知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量平面向量的有关概念平面向量的有关概念a ab b成立的充分条件是成立的充分条件是()|a a|b b|A Aa ab bB Ba ab bCCa a2 2b bD Da ab b且且|a a|b b|(2)(2)设设a a0 0为单位向量，下列命题中：若为单位向量，下列命题中：若a a为平面内的某个向量，则为平面内的某个向量，则a a

2、|a a|a a0 0；若；若a a与与a a0 0平平行，则行，则a a|a a|a a0 0；若；若a a与与a a0 0平行且平行且|a a|1 1，则，则a aa a0 0.假命题的个数是假命题的个数是()典例典例(1)(1)设设a a，b b都是非零向量，下列四个条件中，使都是非零向量，下列四个条件中，使A A0 0B B1 1CC2 2D D3 3 解析解析(1)(1)因为向量因为向量的方向与向量的方向与向量a a相同，向量相同，向量的方向与向量的方向与向量b b相同，且相同，且，所，所|a a|b b|a a|b b|a a2 2b bb ba a以向量以向量a a与向量与向量b

3、 b方向相同，方向相同，故可排除选项故可排除选项 A A，B B，D.D.当当a a2 2b b时，时，故故a a2 2b b是是|a a|2|2b b|b b|a a|a ab ba ab bb b成立的充分条件成立的充分条件|b b|(2)(2)向量是既有大小又有方向的量，向量是既有大小又有方向的量，a a与与|a a|a a0 0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a a与与a a0 0平行，则平行，则a a与与a a0 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a a|a a|a a0 0，

4、故也是假命，故也是假命题综上所述，假命题的个数是题综上所述，假命题的个数是3.3.答案答案(1)C(1)C(2)D(2)D 易错提醒易错提醒(1)(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)(2)大小与方向是向量的两个要素，大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；分别是向量的代数特征与几何特征；(3)(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上突破点突破点(二二)平面向量的线性运算平面向量的线性运算

5、1 1向量的线性运算：加法、减法、数乘向量的线性运算：加法、减法、数乘2 2平面向量共线定理：向量平面向量共线定理：向量b b与与a a(a a0)共线的充要条件是有且只有一个实数0)共线的充要条件是有且只有一个实数，使得，使得b baa.平面向量的线性运算平面向量的线性运算 例例 11(1)(1)在在ABCABC中，中，ABABc c，ACACb b.若点若点D D满足满足BDBD2 2DCDC，则，则ADAD()1 12 25 52 22 21 12 21 1A.A.b bc cB.B.c cb bC.C.b bc cD.D.b bc c3 33 33 33 33 33 33 33 31

6、12 2(2)(2)在在ABCABC中，中，N N是是ACAC边上一点且边上一点且ANANNCNC，P P是是BNBN上一点，若上一点，若APAPmmABABACAC，则，则2 29 9实数实数mm的值是的值是_2 22 2 解析解析(1)(1)由题可知由题可知BCBCACACABABb bc c，BDBD2 2DCDC，BDBDBCBC(b bc c)，则则ADAD3 33 32 22 21 1ABABBDBDc c(b bc c)b bc c，故选，故选 D.D.3 33 33 31 11 12 2(2)(2)如图，因为如图，因为ANANNCNC，所以，所以ANANACAC，所以，所以AP

7、APmmABABACAC2 23 39 92 22 21 1mmABABANAN.因为因为B B，P P，N N三点共线，所以三点共线，所以mm1 1，则，则mm.3 33 33 31 1 答案答案(1)D(1)D(2)(2)3 3 方法技巧方法技巧 1 1平面向量的线性运算技巧：平面向量的线性运算技巧：(1)(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)(2)含图形的情况：将它们转化到含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解三角形或平行四边形中，充分利用

8、相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解-可修编.-2 2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置(2)(2)利用平行四利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式(3)(3)比较，观察可知所求比较，观察可知所求平面向量共线定理的应用平面向量共线定理的应用 例例 22设两个非零向量设两个非零向量a a和和b b不共线不共线(1)(1)若若ABABa ab b，B

9、CBC2 2a a8 8b b，CDCD3(3(a ab b)求证：求证：A A，B B，D D三点共线三点共线(2)(2)试确定实数试确定实数k k，使，使kakab b和和a akbkb共线共线 解解(1)(1)证明：因为证明：因为ABABa ab b，BCBC2a2a8b8b，CDCD3(3(a ab b)，所以所以BDBDBCBCCDCD2a2a8b8b3(3(a ab b)5(5(a ab b)5 5ABAB，所以，所以ABAB，BDBD共线共线又又ABAB与与BDBD有公共点有公共点B B，所以，所以A A，B B，D D三点共线三点共线(2)(2)因为因为kakab b与与a a

10、kbkb共线，所以存在实数共线，所以存在实数，使，使kakab b(a akbkb)，k k，即即 解得解得k k1.即1.即k k1 1 或或1 1 时，时，kakab b与与a akbkb共线共线 1 1kk，方法技巧方法技巧 平面向量共线定理的三个应用平面向量共线定理的三个应用(1)(1)证明向量共线：对于非零向量证明向量共线：对于非零向量a a，b b，若存在实数，若存在实数，使，使a abb，则，则a a与与b b共线共线(2)(2)证明三点共线：若存在实数证明三点共线：若存在实数，使使ABAB ACAC，ABAB与与ACAC有公共点有公共点A A，则，则A A，B B，CC三点共线

11、三点共线(3)(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程件列方程(组组)求参数的值求参数的值 提醒提醒 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点突破点突破点(三三)平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量基本定理：平面向量基本定理：如果如果e e1 1，e e2 2是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量那么对于这一平面内的任意向量a a，有且只有一对实数有且只有一对实数 1 1，2 2，使，使a a 1 1e e1 1 2 2e e2 2.其中，

12、不共线的向量其中，不共线的向量e e1 1，e e2 2叫做表示这一平面内所有向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底的一组基底基底的概念基底的概念 例例 11如果如果e e1 1，e e2 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是一组基底的是()A Ae e1 1与与e e1 1e e2 2B Be e1 12 2e e2 2与与e e1 12 2e e2 2CCe e1 1e e2 2与与e e1 1e e2 2D De e1 13 3e e2 2与与 6 6e e2 22 2

13、e e1 1 1 1，解析解析 选项选项 A A 中，设中，设e e1 1e e2 2ee1 1，则，则 无解；选项无解；选项 B B 中，设中，设e e1 12 2e e2 2(e e1 12 2e e2 2)，则，则1 10 0 1 1 1 1，1 1，无解；选项无解；选项 CC 中，设中，设e e1 1e e2 2(e e1 1e e2 2)，则，则 无解；选项无解；选项 D D 中，中，e e1 13 3e e2 2(6(6e e2 2 2 2 2 22 2 1 1 2 2e e1 1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向

14、量的一组基底 答案答案 D D 易错提醒易错提醒 某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用 例例 22(2016(2016XXXXXXXX 二模二模)如图，在如图，在ABCABC中，设中，设ABABa a，ACACb b，APAP的的中点为中点为QQ，BQBQ的中点为的中点为R R，CRCR的中点恰为的中点恰为P P，则，则APAP()1 11 11 12 22 24 44 42 2A.A.a ab bB.B.a ab bC.C.a ab bD.D.a ab b2

15、 22 23 33 37 77 77 77 7 解析解析 如图，连接如图，连接BPBP，则，则APAPACACCPCPb bPRPR，APAPABABBPBPa aRPRPRBRB，得，得 2 2APAPa ab bRBRB，-可修编.-1 11 11 11 1 又又RBRBQBQB(ABABAQAQ)a aAPAP，2 22 22 22 2 1 11 1 将代入，得将代入，得 2 2APAPa ab b a aAPAP，2 22 2 2 24 4解得解得APAPa ab b.答案答案 CC7 77 7 方法技巧方法技巧 平面向量基本定理的实质及解题思路平面向量基本定理的实质及解题思路(1)(

16、1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)(2)用向量基用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决突破点突破点(四四)平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示1 1平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算：(1)(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模；向量加法、减法、

17、数乘的坐标运算及向量的模；(2)(2)向量坐标的求法向量坐标的求法2 2平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 例例 11已知已知A A(2,4)2,4)，B B(3(3，1)1)，CC(3 3，4)4)设设ABABa a，BCBCb b，CACAc c，且，且CMCM3 3c c，CNCN2 2b b，(1)(1)求求 3 3a ab b3 3c c；(2)(2)求满足求满足a ambmbncnc的实数的实数mm，n n；(3)(3)求求MM，N N的坐标及向量的坐标及向量MNMN的坐标的坐标 解解 由已知得由已知得a a(5(5，5)5)，b b(

18、6 6，3)3)，c c(1,8)(1,8)(1)3(1)3a ab b3 3c c3(53(5，5)5)(6 6，3)3)3(1,8)3(1,8)(15(156 63 3，15153 324)24)(6(6，42)42)6 6mmn n5 5，mm1 1，(2)(2)mbmbncnc(6 6mmn n，3 3mm8 8n n)，解得解得 3 3mm8 8n n5 5，n n1.1.即所即所 XXXX 数数mm的值为的值为1 1，n n的值为的值为1.1.(3)(3)设设OO为坐标原点，为坐标原点，CMCMOMOMOCOC3 3c c，OMOM3 3c cOCOC(3,24)(3,24)(3

19、3，4)4)(0,20)(0,20)，即即MM(0,20)(0,20)又又CNCNONONOCOC2 2b b，ONON2 2b bOCOC(12,6)(12,6)(3 3，4)4)(9,2)(9,2)，即即N N(9,2)(9,2)MNMN(9(9，18)18)方法技巧方法技巧 平面向量坐标运算的技巧平面向量坐标运算的技巧(1)(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标向量的坐标(2)(2)解题过程中，常利用向量相等则其

20、坐标相同这一原则，通过列方程解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组组)来进行求解来进行求解平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 例例 22已知已知a a(1,0)(1,0)，b b(2,1)(2,1)(1)(1)当当k k为何值时，为何值时，kakab b与与a a2 2b b共线；共线；(2)(2)若若ABAB2 2a a3 3b b，BCBCa ambmb，且，且A A，B B，CC三点共线，求三点共线，求mm的值的值 解解(1)(1)a a(1,0)(1,0)，b b(2,1)(2,1)，kakab bk k(1,0)(1,0)(2,1)(2,1)(k k

21、2 2，1)1)，-可修编.-a a2 2b b(1,0)(1,0)2(2,1)2(2,1)(5,2)(5,2)，kakab b与与a a2 2b b共线，共线，2(2(k k2)2)(1)51)50 0，k k.(2)(2)ABAB2 2a a3 3b b2(1,0)2(1,0)3(2,1)3(2,1)(8,3)(8,3)，BCBCa ambmb(1,0)(1,0)mm(2,1)(2,1)(2(2mm1 1，mm)3 3A A，B B，CC三点共线，三点共线，ABABBCBC，8 8mm3(23(2mm1)1)0 0，mm.2 2 方法技巧方法技巧 向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式向量共

22、线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)(1)若若a a(x x1 1，y y1 1)，b b(x x2 2，y y2 2)，则，则a ab bx x1 1y y2 2x x2 2y y1 10 0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“需要引入参数“”，”，从而减少了未知数的个数，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征(2)(2)当当x x2 2y y2 200 时，时，1 12 2x x1 1y y1 1a ab b，即两个向量的相应坐

23、标成比例，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误这种形式不易出现搭配错误(3)(3)公式公式x x1 1y y2 2x x2 2y y1 10 0 无条件无条件x x2 2y y2 200 的限制，的限制，x x2 2y y2 2便于记忆；公式便于记忆；公式有条件有条件x x2 2y y2 200 的限制，但不易出错所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式的限制，但不易出错所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式x x1 1y y1 1x x2 2y y2 2 检验高考能力检验高考能力 一、选择题一、选择题3 33 3|MDMD|1 1设设MM是是ABCABC所在

24、平面上的一点，所在平面上的一点，且且MBMBMAMAMCMC0 0，D D是是ACAC的中点，的中点，则则的的2 22 2|BMBM|值为值为()1 11 1A.A.B.B.CC1 1D D2 23 32 2解析：选解析：选 A AD D是是ACAC的中点，如图，延长的中点，如图，延长MDMD至至E E，使得，使得DEDEMDMD，四边，四边1 11 1形形MAECMAEC为平行四边形，为平行四边形，MDMDMEME(MAMAMCMC)，MAMAMCMC2 2MDMD.2 22 23 33 33 3MBMBMAMAMCMC0 0，MBMB(MAMAMCMC)3 3MDMD，BMBM2 22 2

25、2 2|MDMD|MDMD|1 13 3MDMD，故选，故选 A.A.|BMBM|3|3MDMD|3 32 2在在ABCABC中，中，BDBD3 3DCDC，若，若ADAD 1 1ABAB 2 2ACAC，则，则 1 1 2 2的值为的值为()1 13 31 11010A.A.B.B.C.C.D.D.161616162 29 93 33 31 13 3解析：选解析：选 B B由题意得，由题意得，ADADABABBDBDABABBCBCABAB(ACACABAB)ABABACAC，4 44 44 44 41 13 33 3 1 1，2 2，1 1 2 2.4 44 416163 3设设D D，E

26、 E，F F分别是分别是ABCABC的三边的三边BCBC，CACA，ABAB上的点，且上的点，且DCDC2 2BDBD，CECE2 2EAEA，AFAF2 2FBFB，则，则ADADBEBECFCF与与BCBC()A A反向平行反向平行B B同向平行同向平行CC互相垂直互相垂直D D既不平行也不垂直既不平行也不垂直1 11 1解析：选解析：选A A由题意得由题意得ADADABABBDBDABABBCBC，BEBEBABAAEAEBABAACAC，CFCF3 33 3-可修编.-CBCBBFBFCBCBBABA，因此，因此ADADBEBECFCFCBCB(BCBCACACABAB)CBCBBCB

27、CBCBC，故，故ADADBEBECFCF与与BCBC反向平行反向平行4 4已知点已知点OO为为ABCABC外接圆的圆心，且外接圆的圆心，且OAOAOBOBCOCO0 0，则，则ABCABC的内角的内角A A等于等于()A A3030B45B45C60C60D D9090解析：解析：选选 A A由由OAOAOBOBCOCO0 0，得得OAOAOBOBOCOC，由由OO为为ABCABC外接外接圆的圆心，圆的圆心，可得可得|OAOA|OBOB|OCOC|.|.设设OCOC与与ABAB交于点交于点D D，如图，如图，由由OAOAOBOBOCOC可知可知D D为为ABAB的中点，的中点，所以所以OCO

28、C2 2ODOD，D D为为OCOC的中点的中点 又由又由|OAOA|OBOB|可知可知ODODABAB，即即OCOCABAB，所以四边形所以四边形OACBOACB为菱形，为菱形，所以所以OACOAC为等边三角形，为等边三角形，即即CAOCAO60，故60，故A A30.30.1 13 31 13 32 23 31 13 35 5已知点已知点GG是是ABCABC的重心，的重心，过点过点GG作一条直线与作一条直线与ABAB，ACAC两边分别交于两边分别交于MM，N N两点，两点，且且AMAMxyxyx xABAB，ANANy yACAC，则，则的值为的值为()x xy y1 11 1A A3 3

29、B.B.CC2 2D.D.3 32 2解析：解析：选选 B B由已知得由已知得MM，GG，N N三点共线，三点共线，所以所以AGAG AMAM(1(1)ANANxxABAB(1(1)y yACAC.1 1 xx，3 32 21 11 1的重心，的重心，AGAG (ABABACAC)(ABABACAC)，3 32 23 3 1 1 点点GG是是ABCABCy y，1 1 ，3 3x x 1 11 1，3 3y y 1 13 3即即得得1 11 11 11 1x xy yxyxy1 11 1，即，即 3 3，通分得，通分得3 3，.3 3x x3 3y yx xy yxyxyx xy y3 36

30、6若点若点MM是是ABCABC所在平面内的一点，且满足所在平面内的一点，且满足5 5AMAMABAB3 3ACAC，则，则ABMABM与与ABCABC的面积的面积的比值为的比值为()1 12 23 34 4A.A.B.B.C.C.D.D.5 55 55 55 5解析：解析：选选 CC设设ABAB的中点为的中点为D D，如图，如图，连接连接MDMD，MCMC，由由 5 5AMAMABAB3 3ACAC，2 23 32 23 3得得 5 5AMAM2 2ADAD3 3ACAC，即，即AMAMADADACAC，即，即 1 1，故，故CC，MM，D D三三5 55 55 55 5点共线，又点共线，又A

31、MAMADADDMDM，联立，得，联立，得 5 5DMDM3 3DCDC，即在，即在ABMABM与与3 33 3ABCABC中，边中，边ABAB上的高的比值为上的高的比值为，所以，所以ABMABM与与ABCABC的面积的比值为的面积的比值为.5 55 5二、填空题二、填空题7 7在在ABCABC中，中，点点P P在在BCBC上，上，且且BPBP2 2PCPC，点点QQ是是ACAC的中点，的中点，若若PAPA(4,3)(4,3)，PQPQ(1,5)(1,5)，则则BCBC_._.解析：解析：AQAQPQPQPAPA(1,5)(1,5)(4,3)(4,3)(3,2)3,2)，ACAC2 2AQAQ

32、2(2(3,2)3,2)(6,4)6,4)PCPCPAPAACAC(4,3)(4,3)(6,4)6,4)(2,7)2,7)，BCBC3 3PCPC3(3(2,7)2,7)(6,21)6,21)答案：答案：(6,21)6,21)-可修编.-8 8已知向量已知向量ACAC，ADAD和和ABAB在正方形网格中的位置如图所示，若在正方形网格中的位置如图所示，若ACAC ABAB ADAD，则，则_._.解析：建立如图所示的平面直角坐标系解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAyxAy，则，则ACAC(2(2，2)2)，ABAB(1,2)(1,2)，ADAD(1,0)(1,0)，由题意，由题意 2 2 ，

33、1 1，可知可知(2(2，2)2)(1(1，2)2)(1,0)(1,0)，即，即 解得解得 所以所以3.3.答答 2 22 2，3 3，案：案：3 39 9P P a a|a a(1,1)1,1)mm(1,2)(1,2)，mmRR，QQ b b|b b(1(1，2)2)n n(2,3)(2,3)，n nRR是两个向量集合，则是两个向量集合，则P PQQ等于等于_ 1 1mm1 12 2n n，解析：解析：P P中，中，a a(1 1m,m,1 12 2mm)，QQ中，中，b b(1(12 2n n，2 23 3n n)则则 得得 1 12 2mm2 23 3n n.mm1212，此时此时a a

34、b b(1313，23)23)答案：答案：(1313，23)23)n n7.7.1010在梯形在梯形ABCDABCD中，已知中，已知ABABCDCD，ABAB2 2CDCD，MM，N N分别为分别为CDCD，BCBC的中点若的中点若ABAB AMAM ANAN，则，则 _._.1 11 1 解析：由解析：由ABAB AMAM ANAN，得得ABAB (ADADACAC)(ACACABAB)，则，则 1 1 ABAB2 22 22 2 2 2 1 1 1 13 3 ADADACAC0 0，得得 1 1 ABABADAD ADADADAD 0 0，得得 1 1 ABAB 2 22 22 22 2

35、2 2 2 22 2 4 44 4 2 2 1 13 3 1 10 0，4 44 4ADAD0.0.又因为又因为ABAB，ADAD不共线，不共线，所以由平面向量基本定理得所以由平面向量基本定理得 2 20 0，4 44 4所以所以 .答案：答案：5 55 5三、解答题三、解答题4 4 ，5 5解得解得 8 8 5 5.1 11 111.11.如图，以向量如图，以向量OAOAa a，OBOBb b为邻边作为邻边作OADBOADB，BMBMBCBC，CNCN3 33 3CDCD，用，用a a，b b表示表示OMOM，ONON，MNMN.1 11 11 1解：解：BABAOAOAOBOBa ab b

36、，BMBMBABAa ab b，6 66 66 61 11 11 1 1 11 1 1 15 5OMOMOBOBBMBMb b a ab b a ab b.又又ODODa ab b，ONONOCOCCDCDODOD3 32 26 6 6 66 6 6 66 6ODOD2 22 22 22 22 21 15 51 11 1ODODa ab b，MNMNONONOMOMa ab ba ab ba ab b.3 33 33 33 33 36 66 62 26 6-可修编.-1 15 52 22 21 11 1综上，综上，OMOMa ab b，ONONa ab b，MNMNa ab b.6 66 63

37、 33 32 26 612.12.给定两个长度为给定两个长度为 1 1 的平面向量的平面向量OAOA和和OBOB，它们的夹角为，它们的夹角为22.如图所示，点如图所示，点CC3 3在以在以OO为圆心的圆弧为圆心的圆弧ABAB上运动若上运动若OCOCx xOAOAy yOBOB，其中，其中x x，y yR R，求，求x xy y的的最大值最大值解：以解：以OO为坐标原点，为坐标原点，OAOA所在的直线为所在的直线为x x轴建立平面直角坐标系，如图所示，轴建立平面直角坐标系，如图所示，1 13 322则则A A(1(1，0)0)，B B，设，设AOCAOC0 0，则，则CC(cos(cos，sinsin)，2 22 23 31 1 coscos x xy y，2 2 由由OCOCx xOAOAy yOBOB，得，得 3 3sinsin y y，2 2 所以所以x xcoscos 3 3sinsin，y y3 32 23 3 55 22 sinsin，所以，所以x xy ycoscos 3sin3sin 2sin2sin ，又，又 0 0，则，则 ，.3 3 3 36 6 6 66 6 6 6 所以当所以当 ，即，即 时，时，x xy y取得最大值取得最大值 2.2.6 62 23 3-可修编.