第2讲　圆锥曲线.docx

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1、第2讲圆锥曲线限时训练(建议用时：45分钟)选题明细表知识点、方法题号圆锥曲线定义5圆锥曲线标准方程1,7圆锥曲线的儿何性质2,3, 4, 6, 8, 9, 10, 11一、选择题1.点M(5, 3)到抛物线y二ax2的准线的距离为6,则该抛物线的方程是(D )(A)y=12x2(B)y=-36x2(C) y 二 12x2 或k-36x2(D)y吃( 或 y=_*解析：当a0时,抛物线开口向上,准线方程为y二-；,则点M到准线的距离为3+白6,求得抛物线方程为y=x2.当a0, b0)的左顶点为A,右 a2 b2焦点为F(C, 0),若圆A: (x+a)2+y2=a?与直线bx-ay=0交于坐

2、标原点0 及另一点E,且存在以。为圆心的圆与线段EF相切,切点为EF的中点, 则双曲线的离心率为(B ) (A严(B)V2 (C)V3 (D)3板士二晦+ f bXay 二 , 一口/ 2a3 _2十八解析:联/ 279 =EZ-, ),l(x + Q)+y2 = a2, c2 c2因为OE=OF,所以卜的2 + (-等)2=g所以4a4=c4,解得e=V2.故选B.3 .已知直线尸kx (kWO)与椭圆C+y2=l (al)交于两点P, Q, F, A分别是椭圆C的右焦点和右顶点，若|FP| + |FQ| + |FA|Wa4lJa=( D )(A)4 (B)2 (0- (D) 33解析:设椭

3、圆的另一焦点为F，,连接F，P,F，Q,直线PQ过原点，所以坐标原点。为PQ中点,PQ,FF互相平分，所以四边形FPF Q为平行四边形，|FP| = |F，Q|,则 IFP | +1FQ | +1 FA | =3a-ca, c=-, 22b2=a2-c2=a2=l,所以 a2=-, a二数.故选 D. 4334 .如图,在底面半径和高均为遮的圆锥中,AB, CD是底面圆0的两条互 相垂直的直径,E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到它的准线距离等于(B )(A)| (B)l (02 (D)4解析:将抛物线放入平面直角坐标系中，如

4、图所示,|OE|=1, |0C| = |0D|=V2,所以 C(T,&),设抛物线方程为y2=2px (pWO),代入C点坐标，可得2=-2p,所以p=T,则该抛物线的焦点到它的准线距离等于1,故选B.5 . (2020 安徽省淮北一中月考)已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点F., F2,两曲线在第一象限的交点为P, APFFz是以PR为底边的等腰三角形，若|PF二8,椭圆和双曲线的离心率分别为则2+工的取值范围是(B ) ei e2(A) (4,+8)(B) (4, 7)(C) (2, 4)(D) (2V2, 4)解析:设椭圆的长半轴长为ab双曲线的实半轴长为a2,焦距为2c,则

5、|PF2|=2c,由椭圆和双曲线的定义可得孑二竽(O-ZC 解得a,又因为 IPF2I+IFF2DIPF, 即 4c8,解得 c2,即 2c0, b0)的右焦点,0 az bz为坐标原点，以0F为直径的圆与圆x?+y2=a2交于P, Q两点.若|PQ|二|0F|,则C的离心率为(A )(A)V2(B)V3(C)2 (D)V5解析:设PQ与x轴交于点A,如图,由对称性可知PQx轴，又因为 |PQ| 二 |OF|二 c,所以PAI除所以PA为以OF为直径的圆的半径,所以A为圆心，|(明|4所以pg)又P点在圆x?+y2号上,2 22所以即4 42所以e?02.Q2所以e=V2,故选A.二、填空题(

6、2020 临汾模拟)已知点P是焦点为F的抛物线C:y2=2px(p0)上 的一点，且IPF |=10,点Q是直线L：2x-y+3=0与l2:x+2y-6=0的交点, 若PQ1QF,则抛物线的方程为.解析:联立方程组匕：广小(% + 2y-6 = 0,解得即 Q9 3)，设 P(3 y),F(9 0), 2p2又|pf|二io,可得建二io,因为PQJ_QF,所以而谦二0,即(卷,3-丫) (2 -3)=0,即4-3 (3-y)=0,解得 y=6, 4代入可得款色10, p0,所以p=2或p=18,所以抛物线的方程为yMx或y2=36x.答案:y2=4x 或 y=36x(2020 山东省实验中学

7、高三月考)已知水平地面上有一半径为4 的球,球心为()，在平行光线的照射下,其投影的边缘轨迹为椭圆C, 如图,椭圆中心为0,球与地面的接触点为E, |0E3.若光线与地面所 成角为。，则sin。=，椭圆的离心率e=解析:连接00,，0E,如图,则NO OE=。，因为|(T E|=4, |OE|=3,所以 I。 |=J|OE|2+ |OE|2=V42 + 32=5,所以sin 0 嘴二*在照射过程中，椭圆的短半轴长b是球的半径R, C/ C/ O所以b=4,如图.椭圆的长轴长2a是| AC|,过A向BC作垂线,垂足是B,由题意得I AB|=2R=8, sinNACB=sin 0 , 5又 sin

8、 0 一产产,所以|ac|=1O,即 2a=10, a=5,AC 5所以椭圆的离心率为上旦上宇二：. a a 55答案3|227. (2019 全国HI卷)设F/2为椭圆C：5+tl的两个焦点,M为C上 36 20一点且在第一象限.若MFE为等腰三角形,则M的坐标为.解析：由已知可得/二36, b2=20,所以 c2=a2-b2=16,所以c=4,所以 |MFj = |FE|=2c=8.因为 | MFi| + | MF21 =2a=l2,所以 | MF2|=4.设点 M 的坐标为(xo, y0) (x00, y00),则SamfiFzWIFEI , yo=4yo,又 S/XMF抵三 X 4 X

9、同，所以 4yo=4V15,解得 y0=V15,所以空匚=i,解得x_3(x=-3舍去)， 3620所以M的坐标为位).答案：V15)三、解答题228. (2020 全国H卷)已知椭圆G：2+*l(ab0)的右焦点F与抛物 a2- b2线c2的焦点重合,C,的中心与C2的顶点重合.过F且与X轴垂直的直线交C于A,B两点，交C2于C,D两点，且|CD|W|AB|.(1)求G的离心率；若G的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求G与C2的标准方程.解：(1)由已知可设C2的方程为yMcx,其中c二校中.不妨设A, C在第一象限，由题设得A, B的纵坐标分别为纥-纥C, D的纵坐标分别为 a a2c

10、, -2c,故 |AB| ,|CD|=4c. a由 ICDlgABl得 4c片, 33a即 3x=2-2()2. a a解得J-2(舍去)或 aa 2所以G的离心率为小22(2)由(1)知 a=2c, b=V3c,故 G：3+=L4c2 3c2所以G的四个顶点坐标分别为(2c, 0), (-2c, 0), (0, V3 c),(0, -V5c), C2的准线为直线x二-c.由已知得3c+c+c+c=12,即c=2.所以C.的标准方程为自詈1, C2的标准方程为y2=8x.16 12(2019 全国I卷)已知点A, B关于坐标原点。对称，| AB |=4, OM 过点A, B且与直线x+2=0相

11、切.(1)若A在直线x+y=0上,求OM的半径；是否存在定点p,使得当a运动时，ImaHmpI为定值?并说明理由.解：(1)因为。M过点A, B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知点A在直线x+y=0上,且点A, B关于坐标原点0对称,所以M在 直线尸x上，故可设M(a, a).因为OM与直线x+2=0相切，所以GM的半径为尸|a+2|.由已知得IA01=2,又 MOJ_AO,故可得 2a2+4= (a+2)2,解得 a=0 或 a=4.故OM的半径r=2或r=6.存在定点P (1, 0),使得I MA |-| MP |为定值.理由如下：设M(x, y),由已知得OM的半径为r=|x+2|, |A0|=2.由于 M0_LA0,故可得x2+y2+4=(x+2)；化简得点M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点(1,0)为焦点，以直线x=7为准线的抛物线,则存在P(l,0),所以 |MP|=x+l.因为 | MA |-|MP| =r-| MP | =x+2-(x+l)=l, 所以存在满足条件的定点P.