柯西不等式与排序不等式 教学设计.docx

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1、课 题柯西不等式与排序不等式授课日期及时段教学目的1、会证明二维柯西不等式及三角不等式；2、会利用二维柯西不等式解决问题；3、会证明一般形式的柯西不等式，并能应用；4、了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体 会运用经典不等式的一般方法。教学内容一、【课前检测】1、a,b,c,deR,不等式(疽+02)(c2+h2)2Sc + M)2取等号的条件是()A ab + dc = O B ad+/?c = 0 C ad-bc = O D ac-hd = 02、设a2 a3,b h2/34、。，力是非零实数，。+。= 1, xpAG7?+,M=(arl4-/?x2)(/u-1

2、+av,), = x1x2, 5!J MN的大小关系为()A MN B M aNC M48、设GbqRL利用排序不等式证明：。3+/?+32工 + 乎 +仁工2a2b2c故命题成立。7、证明：由柯西不等式得( +1) + ( + 2)+ . . + ( +(!F !+ !1- 1 A nLV 7 v 7 v+ l n + 22n- 2n)11112 、4/.H H+AN + 1 +22n- 2n 3 + 1 71 1 1 14+ + +1 + 22/7-1 2n-9对任意正实数x, y恒成立，则正实数。的最小值为(A) 2(B) 4(C) 6(D) 8己知:a2 +b2 = i,x2 + y2

3、 = 1,则or +好的取值范围是：()A. 0, 2 B. -1, 1 C. -2, 2 D. 0, 1若 a0, Z?0,则L + -Y2Z? + l 的最小值是()l力人 2.)339A. -V2 B. - C. - D. 42223. 已知正数，Z?满足o + = 则J3a +l-3b的最大值是()3(A) V2(B) 2(O 2V2则F + )，2的最小值为().则x + 2y + 3z的最大值是已知 a.h.x.y e. R , /+屏=4, ax+by = 61A3 B 81C.9 D.-94. 已知x,y,z为正数，且满足x2+2y2+3z2=4,(07深圳市模拟)已知实数x、

4、y、z满足x + 2y + 3z = l,则x2 + y2 +z2的最小值为；5. 若x2+2/ （ac + bd）,其中等号当且仅当口4 =阮时成立。儿何意义：设a , P为平面上以原点0为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（ a,b ）, B（）,那么它们的数量积为a D = ac + bd , 而|a|=, p=jc2+d2 ,所以柯西不等式的几何意义就是：其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设a, “为平面上的两个向量，贝U|q|“|2|q0|,其中 等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3、定理

5、3：（三角形不等式）设知月，叼见，沔况为任意实数，则:成一位尸+（） 力尸+ J（、2 -易）+（力- 丫3） - J（M 沔尸+31 丹尸思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，3 = 1, 2,，）为任意n nnK KA实数，则：22（响）2,其中等号当且仅当色=业=.=国时成立（当=0时,约定但=0, f=l j=1/=!“2，=1, 2, , ）o柯西不等式有两个很好的变式：变式1设% cR,切0(，= 1,2,)，等号成立当且仅当 tr abi = Aat (l i a,cx + a2c2 + + ancn a.bn + a

6、2bn_. + + anb,等号当且仅当 =白2 = = %或4 =奶=如时成立。三、【重难点突破】考点一利用柯西不等式求最值例1已知x+4)，+ 3z = 2,求x2 + y2 + z2的最小值.【思路分析】由x + 4)，+ 3z = 2以及x2 + y2 + z2的形式，联系柯西不等式，可以构造(12 +42 +32)作为一 个因式而解决问题.【解】根据柯西不等式，有(x2 + y2 + z2)(12 + 42 + 32) (x4-4y + 3z)2 =4 ,所以x2 + y2 + z2 ,即 x2 + y2 + z2 2613当且仅当即x = -,y = -,z = -时，j + V

7、+ z?取最小值1 4 313131313【锦囊妙计】先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件，正确理解柯西 不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它.对于特定的不等式问题，用柯西不等式求解往往显 得简单明了.例2.求函数y = 3yx+yj2-3x的最大值.思路分析：利用不等式求极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻求不等式等号成立的 条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为心bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值.解：函数的定义域为1,4,且y0.贝！Iy = 3 x y/x- +V3 xxx+(J4_x)=J12x3 = 6 ,当且仅当的=时，等号

8、成立，即X =时函数取最大值6.4例3求函数y = 2sinx + 3Jl + cos2x的最大值.【思路分析】因为1+cos2x = 2cos2x,自然会联系到三角恒等式sin2x + cos2x = l,联想到柯西不等式 的结构特征，而这个式子恰好具有柯西不等式的结构特征，所以可以利用柯西不等式来解决.【解析】y = 2sin x + 3jl +cos2x= 2sinx+3v2cos2 x/(sin2 x+cos2 x)22+(3V2)2=V22.当且仅当书冬即tanx = ,函数有最大值妊.Vcos2 x 3V23【锦囊妙计】先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件

9、，需要不断的学 习与体会.【举一反三】1. (07东莞模拟)已知a,b,c都是正数，且 + 2Mc=l,则_L + _L + _L的最小值 a b c是.答案：6 + 4扼2.己知白,be R,且 a2 +br = 4 ,求证：| ocos9 + Z?sin8| 2.解：已知的恒等式与近乎显然的三角恒等式sin2 + cos2 = l正好具备柯西不等式的结构特征，于是可 利用柯西不等式解答.因为/ + 歹=4 ,所以|。cos。+ Dsin。|y(a2 +Z?2)(cos2 (q +角+ + q)2。【锦囊妙计】准确把握柯西不等式的结构特征，通过恰当变形，构造两组柯西数组是运用柯西不等式 的关

10、键所在.【举一反三】己知，b, c是不全相等的正数,证明：a2 +b2 + c2 ab + be + cd.解：欲证的不等式两边都是由仞c这三个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序，启 发我们可以用柯西不等式进行证明；如果同时考虑式子两边的结构，把“2看成。，则不等式左右两 边的结构一致，都是两个正数之积的和，可以用排序不等式证明.【证法一】根据柯西不等式，有(er +Z?2 +c2 )(b2 + c2 +“2)2 (ab + be + ca)2.因为a, b, c是不全相等的正数，所以等式-不成立，b c a所以(a2 +b2 +c2)2 (ab + bc + ca)2,a2 +b2

11、+c2 ab + bc + ca.【证法二】因为口 b, c是不全相等的正数，不失一般性，设abc,则由排序不等式知，顺序和不 小于乱序和，即。+b,b+cc ab+bc+ca.由于o, b, c不全相等，所以等号不成立.所以 a2 +/J +c2 cib + bc + ca.考点三均值不等式的运用例5求函数y = 4x + -(x0)的最小值.Q解：工0. 2工0,70 ,于是X-y = 4x + 兰=2x + 2x + 兰 2 3/2x*2x- = 6 街.jrx- V当且仅当2x = 2x = 4，即啊时，函数的最小值是6沂.锦囊妙计： 在运用a + b + cZ3底求最值时，要注意满足

12、“一正、二定、三相等”的条件，具体地 说，要注意c是正变数，三个正变数之积是常数，那么当且仅当这三个正变数相等时，它们的和 取得最小值，同时注意相等时的自变量的取值属于给定的范围内。本题常见的错误是：由均值不等式得，y = 3x + 4 = 2x + X + 4 33 2X.X-4 = 6 ,故最小值为6.事实上这种变形使方程2x = x = 无解, XX V XJT即等号不能成立，所以最小值不是6,为了保证等号成立，一般需要平均拆项.考点四排序不等式的运用（选做）例6设叩代，。是n个互不相同的正整数，求证:4、 1 111 22 32iv2 3n【思路分析】,角，为是n个互不相同的正整数，因

13、此它们可以从小到大地排序，观察问题4,由此可以联想到用排序不 n4,由此可以联想到用排序不 n中的式子，可以猜想到与印，对应的另一列数是】，2 3等式证明的思路.【解答】设缶打，如是,，。“的一个排列，且满足bb2 2,，bn n.又因故由排序不等式，得6+巽+宾+.+典泌+%+4+.+与2- 32 n2 22 32 n2C 1 C 11,111 lxl + 2x + 3x+ + 一 = 1+ + - + + .2232 n2 2 3 n【锦囊妙计】在证明不等式的过程中，往往将“n个互不相同的正整数”进行排序，这种排序并不失 一般性，是证明中常常使用的一个技巧.本题较难之处是如何想到构造新的排

14、列加 如 ，这需要 考生从正确的方向进行分析，根据分析的发展逐步想到，充分利用问题的条件，挖掘条件背后更深的 内容，为使用已有经典不等式创造条件.举一反三：4.设印6Z2,，为实数，Z?2,，勿是印,，q的任一排列，则乘积的值afy + a2b2 + anbn不会超过.解：本题主要检测排序不等式，只要领会式子响+。也+ %如是乱序和，那么由排序不等式可知, 它不会超过顺序和妒+妒+妒，即填妒+。；+ %2.四、【课堂练习】1、己知且满足 i + /? + c+d = 625,那么 4ci + 4b + 4c + 4d 的最大值是（）A 25B 5025D 62542、已知()a,b,c、I ,

15、且 a+b + c = 2 f 则 a2 +/?2 +c2 的取值范围是()A 捉B I，2C 倬2)D 停2)3、设玉,毛,工3，匕 2 0,%,。2，3， NO,而 +易 +*3 +- + x = 1，= ax +a2x +ayx + + anx 的最小值是.2 3Q4、设 2x+3)，+ 4z = 22,(x,y,z AO),则一 + + -的最小值是,此时 x=, y=, z=.x y z5、设e.是不同的自然数,求$ =千+号+芸的最小值。6、己知a,b,ceR*,利用柯西不等式证明： 一-2( + + 。+ b + ca + b b + c c + a)7、设eN,22,利用柯西不等式证明：- + 4-7 + 1 + 22/?-1 2n 2答案：1、B2、C 3、11 i i F11F H% 电 %4、捉 2,3.5、解：不妨设1x.-(29