【教案】函数的单调性（第2课时）教学设计人教A版（2019）选择性必修第二册.docx

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1、第五章一元函数的导数及其应用531 函数的单调性教学设计第2课时 教学目标1理解可导函数的单调性与其导数的关系；2能够利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间；3能够利用函数的单调性解决有关问题 教学重难点教学重点：利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间教学难点：含参函数的单调性以及逆向求参问题 课前准备PPT课件 教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第8789页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题预设的答案：（1）本节课主要学习函数的单调性；（2）学生已经具有导数概念、导数几何意义、

2、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备函数的单调性是函数性质中的一个重要性质，学生在必修一中已经学习了函数单调性的内容，如利用函数图象、单调性定义来研究函数的单调性，在学习导数的基础上利用导数相关知识研究函数单调性是导数的一个重要应用，也为下一节学习函数的极值打下基础，因此，本节内容具有承上启下的作用在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架问题2：函数f (x)的单调性与导函数f (x)正负的关系如何？师生活动：学生思考后回答

3、预设的答案：定义在区间(a，b)内的函数yf (x)：f (x)的正负f (x)的单调性f (x)0单调递增f (x)0单调递减问题3：判断函数f (x)的单调性的步骤有哪些？师生活动：学生思考后回答，教师完善预设的答案：第1步：确定函数的定义域；第2步：求出导数f (x)的零点；第3步：用f (x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f (x)在各区间上的正负，由此得出函数yf (x)在定义域内的单调性设计意图：复习前一节课的知识，便于学生更好地学习和理解本节课的知识发展学生数学抽象、直观想象、数学建模的核心素养【探究新知】知识点1：三次函数的单调性二次函数是一类重要的函数，

4、而三次函数的导函数是二次函数，所以三次函数也是一类特殊的重要函数，三次函数的单调性如何呢？这里我们不妨以一具体的三次函数为例进行研究：求函数的单调区间师生活动：让学生按步骤求解教师完善预设的答案：函数的定义域为R对求导数，得令，解得或和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及的单调性如表所示200单调递增单调递减单调递增所以，在和上单调递增，在上单调递减，如图所示设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练利用导数研究函数单调性和单调区间的步骤发展学生数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养知识总结：三次函数的单调性情形可以有四类：以函数y=x3为代表的，在整个定义域内单调递增；以

5、函数y=-x3为代表的，在整个定义域内单调递减；以本例为代表的先增后减再增；相应地函数先减后增再减知识点2：对数函数与幂函数的增长快慢情况我们知道底数大于1的对数函数与指数大于0的幂函数在上都是单调递增的，那么它们的增长速度是否一样呢？下面来研究对数函数与幂函数在区间上增长快慢的情况对数函数的导数为，所以在区间上单调递增当越来越大时，越来越小，所以函数递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”，如图（1）幂函数的导数为，所以在区间上单调递增当越来越大时，越来越大，函数递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”，如图（2）结论：一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变

6、化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”【想一想】判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭” ()(2)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()师生活动：学生思考后回答，教师完善预设的答案：(1)切线的“陡峭”程度与|f (x)|的大小有关，故错误(2)函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致【巩固练习】例1设，两个函数的图象如图所示判断，的图象与，之间的对应关系师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善预设的答案：因为，所

7、以当时，；当时，；当时，所以，在上都是增函数在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”所以，的图象依次是图中的，设计意图：通过特例，体会函数增长快慢与导数之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养总结：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”例2 设g(x)ln xax2(a2)x，a0，试讨论函数g(x)的单调性师生活动：让学生先求函数的导数，然后思考能否通过解不等式得出函数的单调性教师完善预设的答案：先

8、对原函数求导得(x0)，下面需要对a分类讨论得函数g(x)的单调性(1)当a2时，等价于，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减；(2)当a2时，恒成立，函数g(x)在(0，)上单调递增；(3)当2a0时，等价于，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生体会含参函数的求导问题，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养方法总结：利用导数研究含参函数f (x)的单调区间的一般步骤：第1步：确定函数f (x)的定义域；第2步：求出导数f (x)的零点；第3步：分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定

9、义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；第4步：在不同的参数范围内，解不等式f (x)0和f (x)0，确定函数f (x)的单调区间练习：教科书P89练习1、2设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养【课堂总结】1板书设计：531 函数的单调性（第2课时）新知探究巩固练习知识点1：形如的函数的单调性例1知识点2：函数的变化快慢与导数的关系例22总结概括：三次函数的单调性；自然对数函数与幂函数y=x3的增长快慢情况；含参函数的单调性问题与分类讨论师生活动：学生总结，老师适当补充设计意图：通过总结，让学生进一步巩固

10、本节所学内容，提高概括能力3课堂作业：教科书P97习题532教科书P89练习3【目标检测设计】1若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )ABCD设计意图：进一步巩固函数的单调性与导数的符号关系，恒成立问题的求解模式2试求函数f (x)kxln x的单调区间设计意图：进一步巩固含参函数的单调性的求解方法以及分类讨论思想的应用3已知，函数（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围设计意图：进一步巩固导数的几何意义以及根据函数的单调性如何求参数范围的方法参考答案：1C ，函数在区间上单调递增，即，得当时，实数的取值范围是故选C2解：函数f (x)kxln x的定义域为(0，)，f (x)k当k0时，kx10，f (x)0，则f (x)在(0，)上单调递减当k0时，由f (x)0，得，解得0x；由f (x)0，得，解得x当k0时，f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为综上所述，当k0时，f (x)的单调递减区间为(0，)；当k0时，f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为3解：（1）因为，所以曲线在点处的切线斜率而直线的斜率为，则，得（2）由在上单调递减，得在上恒成立，即在上恒成立又时，所以，所以的取值范围是学科网（北京）股份有限公司