组合与组合数组合数的性质学案.docx

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1、组合与组合数第1课时 组合与组合数、组合数的性质必备知识自主学习导思什么是组合？与排列有什么区别？.组合的定义从n个不同对象中取出m(n2m)个对象合成一组，叫做从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.组合对对象有何要求？提示：组合要求n个对象是不同的，被取出的m个对象也是不同的.组合是有放回抽取还是无放回抽取？提示：无放回抽取，即从n个不同的对象中进行m次不放回地取出.1 .组合数的概念、公式、性质2 . a , b , c , d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合.组合 数 定义从n个不同对象中取出m(msn)个对象的所有丕回组合的个数, 叫做从n个不同对象中取出m个对象的组合数表

2、不 法组合乘积式m A,n(nl)(n2)(n m + 1)n AM -m!【解析】可按a玲-d顺序写出,即所以所有组合为ab , ac , ad , be , bd , cd.类型三组合数公式及其简单应用（逻辑推理、数学运算）角度与组合数有关计算【典例】1.计算G第=.【思路导引】根据组合数公式进行计算.10乂9 x8x7【解析】原式二 Ch -再二 4x3x2xl -7x6x5 = 210-210 = 0.答案：02 .计算十d的结果为.【思路导引】求出n的值，再由组合数公式进行计算.5 - n0 ,【解析】1解得4W.又因为nGN* ,9 - n0 ,所以n = 4或n = 5.当 n

3、= 4 时，原式= C； +Ci =5.当n = 5时,原式=Cg +=16.答案：5或16角度2组合数性质的应用【典例】L计算或+ Ci +C，。的值为0A . C2020 B . C2020 C . C2021 - ID . C1 020 - 1【思路导引】先增加一项心，根据组合数的性质逐步运算，最后再 减去C；即可.【解析】选彳+C1 +Ci +- + CI020=己+宫02。=Cs +C5 + - + C2020=C2 020 + 2 020 - 1 = C2 021 - 1-2 ,假设X-】=0+3 ,那么X的值为 .【思路导引】根据组合数的性质找到关于X的整式方程求解.【解析】由c

4、步】=0+3得2x- l = x + 3或2xl + x + 3 = 8 ,解得x =4 或 x = 2.答案：2或4.求证：禺+ 2二案+2CM1+C.【思路导引】将等式的右侧进行整合后根据组合数的性质化简.【解析】由组合数的性质CM =C +C尸 可知,右边=6 +ch）+ （%】+C）= Cm + 1 + Cm+1l = Cm + 2 =左边，右边二左边，所以原式成立.1.巧用组合数公式解题Am涉及具体数字的可以直接用cr二瑞Amn (n - 1) (n - 2). (n - m + 1) ：进行计算.（2）涉及字母的可以用阶乘式cr二二7计算 m ! Ln - mJ !计算时应注意利用

5、组合数的性质CT二加5简化运算.2 .性质CT二Cm 的意义及作用1 . WdG-3 =G产(nN + ),那么 n = ()A . 5B . 7 (：.5或7口.5或6【解析】选C.由题意,2n- 3=n + 2或2n- 3 + n + 2 = 20,即n = 5或7.10x9x8x.x4 _ .2, Ix2x3x.x7 可表本为()A Aio B . Aio C . Cfo D . Cio，时、加 10x9x8x.x4 Aw Cw A7【解析】选D1x2x3x.x7二豆二丁 二以。3 .假设 3A -6A： =4CS；1，那么 n = ()A . 8 B . 7 C . 6 D . 5(n

6、 +1 n【解析】选D.由题意知,3n(n - l)(n - 2) - 6n(n - 1) = 4x 解得n = 5 n=籍去 4 .计算崎+唱=【解析】C99 + C北=Cioo = Cioo = 161 700.答案：161 700教师专用教师专用【补偿训练】1方程为二C皆4的解集为()A . 4B . 14C . 4 , 6D . 14 , 2【解析】选C.因为C=C率4 ,所以x = 2x-4或x + 2x4=14 ,所 以x=4或x=6.经检验知x=4或x = 6符合题意故方程C二或-4 的解集为4 , 6.2.Cg +己+髭+ B的值为.【解析】原式可变为cS +ci +髭+ 1、

7、由 c +c= a+i得c +C1 =d , cl +C1 =d 二 5 985.二 5 985.7 112课堂检测素养达标1 . A： -C?=()A . 9B . 12C . 15D . 3【解析】选A.由题意得储-Ci =4x3- =12-3 = 9.2 .假设= 6C* ,那么m等于()A . 9 B . 8 C . 7 D . 6所以 m(m - 1) (m - 2)= 6xm(m - l)(m - 2)(m -4x3x2xl【解析】选C.因为“ =6C* , /m - 3即 1 二 ,解得 m = 7.3 .不等式C?o 3 C?o2的解为.【解析】由题意知3n12，且nN* ,

8、曰10 !10 !由题忌得3！13 - n！ (n-2)! (12 - n) !，解得，所以 n = 3 , 4 , 5 , 6 , 7.答案：n = 3,4,5,6,7.计算焦+cl? + n的值为. 38 - n3n ,【解析】因为彳所以，因为nN+ ,所以n = 10,所以I3n21 + n ,n +n 1 3 2 c +8 o2 3 -ci?302*n 98231 !+ ；7 =466.30 ! 1 !答案：466.判断以下问题是排列问题还是组合问题：把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必 须分完，有多少种分配方法？从2 , 3 , 5 , 7 , 11这5个质数中

9、，每次取2个数分别作为分子和 分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？ 【解析】是组合问题.由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关.(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的.是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序.关闭Word文档返回原板块组合数的两个性质在计算组合数时有何作用?数公式阶乘式C, =m!(n m)!性质备注n,mN*且m,规定:提示：第一个性质中，假设m号，通常不直接计算C：，而改为计算* - m ,这样可以减少计算量；第二个性质

10、是根据需要将一个组合 数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数，在解题中要 注意灵活运用.1 .辨析记忆(对的打V ,错的打)从3 , 5 , 7 , 11中任取两个数相除属于组合问题.(X)提示：由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题.由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数. (x)提示：CT是从n个对象中取m个对象的情况的种数，故C： 一定是 正整数.区别组合与排列的关键是看问题对象是否与顺序有关.(V)提示：组合与排列不同之处是组合选出的对象没有顺序而排列有顺 序.2,下面几个问题中属于组合问题的是()由1 , 2 , 3 , 4构成的双元素集合；5个队进行单循环足

11、球比赛的分组情况；由1 , 2 , 3构成两位数的方法；由1 , 2 , 3组成无 重复数字的两位数的方法.A . B .C.D .【解析】选C.取出元素与顺序无关，取出元素与顺序有关.3 .假设,=28 ,那么n =()A . 9 B . 8 C . 7 D . 6nx (n - 1【解析】选土 =2=28 ,解得n = 8.4 C看=i Cig =【解析】僦二等=15, C =C8 =18.答案：1518关键能力合作学习类型一组合的有关概念(数学抽象)【典例】1.给出以下问题：从a , b , c , d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a , b , c ,

12、d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a , b , c , d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场?(4)a , b , c , d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中 是组合问题 是排列问题.【思路导引】根据组合的定义判断.【解析】(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题.单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合 问题.冠亚军是有顺序的，是排列问题.答案：(2)2 .判断以下各事件是排列问题还是组合问题.(1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少

13、次？(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？从1 , 2 , 3 ,，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数,这样的三位数共有多少个？从1 , 2 , 3 ,，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样 的集合有多少个？【思路导引】 结合给出的事件以及排列与组合的定义判断.【解析】每两人握手一次,无JII页序之分,是组合问题.每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序 区别的.是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序, 便会得到不同的三位数.是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺 序，其构成的集合都不变.排列、组合问题的判断方法区分排

14、列与组合的方法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有 无顺序.区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换 这个结果中任意两个对象的位置，看是否会产生新的变化，假设有新 变化，即说明有顺序，是排列问题；假设无新变化，即说明无顺序， 是组合问题.判断以下各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组 合数.10人规定相互通一次 ，共通多少次 ？10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次?10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？从10个人中选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？【解析】是组

15、合问题，因为甲与乙通了一次，也就是乙与甲通了一次，没有“时事的区别，组合数为% = 45.(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没 有顺序的区别,组合数为低。=45.是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得 冠军是不一样的，是有顺序区别的，排列数为A?o = 90.是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为品= 120.是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的科代表是有顺序区别的, 排列数为内。=720.教师专用判断以下问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来.假设集合口，2, 3, 4, 5, 6, 7,那么集合的子集中有3个对象的有多

16、少？(2)8人相互发一个电子邮件，共发了多少个邮件？在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少 种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?【解析】集合的对象具有无序性，因此含3个对象的子集个数与对 象的顺序无关，是组合问题，共有G个.(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共发了储个电子邮件.飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有 Ai种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题, 有ci种票价.类型二列举法解决组合问题(逻辑推理)【典例】A , B , C , D , E五个元素,写出每次取出3个元素的所有组 合.四步内容理解题意条件：A , B ,

17、 C , D , E五个兀素；每次取出3个兀素；结论：所有组合.思路探求列举法解答，注意按顺序列举.书写表达方法一：可按AB玲AC玲AD玲BC玲BDfCD顺序与出，即反思ABC DE ACD EADEV_/BCDEBDECDE所以所有ABC , ABD , ABE , ACD , ACE , ADE , BCD ,BCE , BDE , CDE.方法：回出树形图，如卜图.AAABB C/Tx111B B BCCDCCDnIII11111fCDEDEEDEEE由此可以写出所有的组合：ABC , ABD , ABE , ACD , ACE ,ADE , BCD , BCE , BDE , CDE.

18、注意书写的标准性：注意是否与顺序有关；注意按顺序列举，不重不漏.题后列举法适合总数比拟少的情形.1 .此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本 例所示的顺序后移法（如法一）或树形图法（如法二），直观地写出 组合做到不重复不遗漏.2 .由于组合与顺序无关.故利用？页序后移法时箭头向后逐步推进， 且写出的一个组合不可交换位置.如写出ab后，不必再交换位置为 ba ,因为它们是同一组合.画树形图时，应注意顶层及下枝的排 列思路，防止重复或遗漏.1 .回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读， 也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一 家饭馆叫天然居

19、，曾有一副有名的回文联：客上天然居，居然天 上客；人过大佛寺,寺佛大过人.在数学中也有这样一类顺读与倒 读都是同一个数的自然数，称之为回文数,如44,585 , 2662等； 那么用数字1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6可以组成4位回文数的个数为0A . 30B . 36 C . 360D . 1 296【解析】选B.分2种情况讨论：4位回文数“中数字全部相同，有1 111 , 2 222 , 3 333 , 4 444,5 555 ,6 666 ,共6种情况，即此时有6个4位回文数；(2)4位回文数中有2个不同的数字，有1 221 ,1 331 ,1 441 ,1 551 , 1661 ；2 112 , 2 332 , 2 442 , 2 552 , 2 662 ,；6 116 z ，6 556 ,共30种情况，即此时有30个4位回文数； 那么一共有6 + 30=36个4位回文数